AA" — B» I

aV— A"

-jr = tangO = = 9 -F = tangE = . — -— ;

on trouve, pour les angles de réflexion O, E,

3oo CHAPITRE VI.

La réflexion intérieure, telle que nous venons de la considérer dans une section principale, n'offre qu'une épreuve expérimentale incomplète des lois qui régissent le rayon extraordinaire , car nous verrons que ce rayon se trouve dans les condition» où la réflexion est impuissante pour le dédoubler et en extraire un rayon ordinaire. Le phénomène ne deviendrait complet que si le plan de réflexion propre à la face de sortie était incliné sur le plan de polarisation du rayon incident d*un angle autre que o ou 90 degrés. Alors, si Ton voulait traiter la question d'une manière complète, et trouver, outre les directions, les intensités, elle ne manquerait pas d'une certaine complication, puisqu'il faudrait tenir compte de la rotation que subissent les plans de polarisation dans l'acte de la réflexion

§ 175. — Calcul des angles limites de droite et de gauche.

Revenons sur l'inégalité signalée (page 271} qu'ont, pour le rayon extraordinaire, les angles de réflexion totale prir* à droite et à gauche de la normale. Ces angles sont visiblement les valeurs R, R' de r'qui répondent aux deux incidences / = -t- 90°, / = — go*. Laissons encore ici de côté le cas général et ne considérons le phénomène que dans une section principale, nous aurons

tangR =

Aû6V— A— I A

tancR'=^ — •- ;

^ A€iô\/-A — 1 AV

s'il s'agit de la section principale d'une face naturelle, on a

? = o , 10884 > A afc = — 1 ,00436, v/— A— 1 = V^TTIëlg, A

et enfin •

§ 176. — Singuliers cas d'indivision.

Revenons sur le dernier des problèmes posés (§169) et bornons-nous toujours à la section principale, hors de laquelle d'ailleurs le phénomène dont il s'agit ne saurait avoir lieu. Soit .r=:«tangr un rayon vecteur mené à Tintérieur du milieu; il

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 3oi

coupe le cercle au point

, ar' = — ^ sin r, z' r= -^ b cosr, .

et l'ellipse au point

— tancr

rT. = , ^ ,

V — A lang' /• — 2 B tang r-r- K"

en opérant, comme au § 175, on trouve pour la tangente au cercle menée au point j:' z'

j: sin r -h z cos r -h A = o ,

et pour la tangente. à Tellipse en jt, z, tang r

A''"hBtangr/ i . \

^"^ Àïangr4-B \ ^ si '^ /'

Le point d'intersection de ces deux tangentes se trouve aisément; son z a pour numérateur

6(Atangr+ B) -f- sin r y^— A tangV r- aB tang r — A'^ j

pour que les deux, rayons se confondent, il faut que les deux tangentes se rencontrent sur la surface du milieu, ou, autrement, que ce z soit nul. La valeur de r qui amène ce résultat s^obtient en égalant à zéro le polynôme. numérateur précédent.

Pour ne pas s'égarer dans les applications numériques de ce problème , on saura que cette superposition de rayons n'a lieu que pour des faces dont l'inclinaison sur l'axe ne dépasse pas un certain angle. Imaginons en effet la courbe formée par les intersections des tangentes dont les points de contact soût sur un même rayon vecteur [fig, 91); cette courbe dont Péquation est très-compliquée se compose de deux branches, telles que ARS, AiR|S|^ comprises entre deux parallèles à l'axe, -vers lesquelles elles convergent asymptotiquement. Les faces, telles que OX, qui couperont celte courbe, pourront seules amener cette singulière indivision. Les faces naturelles sont beaucoup trop inclinées sur Taxe, pour produire cette rencontre. Mais si Ton prend L = 80®, ou , ce qui revient au même, si la face est à 10 degrés de Taxe, supposi-

3o2 GHAPITftB Vi.

tioD qui donne

on trouve par tâtonnement, d'une part que les valeurs voisines r = -79o32', r = -79«33',

rendent le polynôme, la première positif et la dernière négatif, et

que , d'une autre part, le même changement de signe est encore

produit par les deux valeurs

de sorte que

expriment, à moins d'une demi-minuie, les directions intérieures de deux rayons superposés qui , quoique ne che.rainant pas suivant Taxe et quoique sortant obliquement, cependant ne se diviseraient pas à la sortie. Ce curieux phénomène , réalisé par les deux rayons incidents qui répondent aux deux points d'intersection S, S', étend à d'autres faces le phénomène signalé. (§ il$tf ) , avec ces particularités, que là la non -division réclamait l'incidence nor/nale et était unique, tandis qu'ici elle k'éclame certaines incidences obliques, faciles à déduire de l'angle r et variables avec la face^ et de plus se trouve double. Bref, pour ces faces privilégiées il y a trois incidences qui ne bifurquent pas : i*' dans le quadrant ZOX, celles dont nous venons d'établir l'existence; 2*^ dans le quadrant ZOX, celle qui répond au point de contact A, et qui donnerait inténeuremènt r = 4- 80**. Ce dernier angle, ainsi que le plus grand des deux précédents, surpassant beaucoup l'angle limite , on ne pourrait réaliser pour eux le phénomène qu'à la condition de juxtaposer au milieu, des prismes d'un angle convenable. Quant à la valeur /• = — i9**3i'3o", on trouve sans peine qu'elle répond dans l'air, à une incidence extérieure égale à 33** 32' 5o'^

De part et d'autre de chacun des trois rayons vecteurs singuliers, les deux rayons coréfrac^és ont une position relative inverse. Ainsi, dans l'exemple précédent, depuis rz::!:'\- 80" jusqu'à r =z — 19® 3 1', c'est le rayon ordinaire qui est le plus réfracté ; entre les deux rayons vecteurs singuliers, c'est ie rayon extraordinaire. Au delà , le rayon ordinaire redevient plus rapproché de la normale. En effet, ce passage amène un changement de signe du polynôme, et fait,

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. . io[\

par suite, tomber le point de rencontre des deux tangentes conjuguées tantôt en dessus, tantôt en dessous de Taxe des X. On en déduit sans peine, pour les pioint» de contact des deux tangentes issues d'un même point de Taxe des X, les inversions précitées; or ces inversions sont manifestement incompatibles avec les idées de répulsion et d'attraction constante, et le point de vue des rayons vecteurs singuliers se trouve justifier le douteémisau§ 160.

§ 177. — Calcul des deux, extérieurs d'un même intérieur.

Ordinairement les rayons qui s*accompagnent intérieurement sont séparés hors du cristal. Quoique général vis-à-vis les trois cas qui précèdent , ce cas est simple vis-à-vis les conditions les plus générales de la double réfraction ; il convient donc d'en donner le calcul. Il suflit pour cela (nous nous bornons à la section principale) de résoudre par rapport à i les équations du § 175; or nous avons obtenu

. . —(Atangr-HB)

sm le = , -,

V— A tang^ r — 2 B tangr — A"

le rayon ordinaire donnera, de son côté,

. . sinr

sm /o = —7— •

Veut-on que ces deux rayons extérieurs se confondent, on a i0 := iey. ce qui rend bien Téquation du précédent paragraphe. Si Ton dispose sur les deux faces parallèles d'un spath deux plaques percées chacune d'un trou fin ,' et si Ton fait arriver sur l'un de ces» trous, à l'aide d'une lentille, le sommet d'un cône convergent de rayons incidents, et que le cône soit assez ouvert , deux de ses rayons réussiront à sortir par le second trou. En opérant dans 1» chambre obscure, on mesnrera sans peine leur angle; il ne sera pas difficile de connaître l'angle intérieur commun, et on aura ainsi les éléments de ce genre de vérifications que nous avons proposé pour la loi d'Huyghens (page 280). Vérification curieuse, puisque, nonobstant le parallélisme des deux faces, elle portera sur un écart angulaire.

Comme preuve que les rayons, ainsi superposés intérieurement, constituent un cas réellement plus simple que celui si usuel de»

3o4 CHAPITRE trt.

rayons superposés extérieurement (*) , nous dirons par anticipation qu'il existe en biaxicy sur les vitesses de ces rayons, un théorème d'après lequel la différence entre les carrés de leurs réciproques serait proportionnelle au produit des sinus des angles qui séparent cette direction commune de celle de deux droites fondamentales, dites axes optiques. Comme, chez les uniaxes, cette relation peut se déduire immédiatement d^une propriété géométrique commune à l'ellipse et à Tellipsoîde de révolution , nous allons ~ rétablir à ce point de vue.

§ 178. — Loi des vitesses des rayons.

Soit T^ -f- ; — = I un ellipsoïde de révolution autour

de l'axe des X, dont l'axe soit b et le rayon équalorîal a. Un rayon vecteur quelconque x = mz , y = nz le rencontre en deux points dont les coordonnées sont

rayon vecteur est

sjm^ -h /?' + I

pour y introduire et l'angle azimutal ç compris entre le plan ZX et le méridien du rayon vecteur , et la distance angulaire T de ce rayon à l'axe, on a ,

cosT = — =

{*)' Il faut dire^ à demi superposés, car ils ne le sont qued*uh côté de la lame.

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. i^oS

d'où

^ i4-taiig»y ,__ ' . (i4-Ung^(p) (i+tang»T) * .

tantr' T ' i " i '

^(i+tang'y)4--faDg'T(irMang«ç)

et enfin