MOTES

maxima et aux minima le retard atteint les valeurs

8^ 8 ' 8 ' 8 ' pour Young, les valeurs du retard sont au contraire

§ 8. Sixième calcul. — Les corps opaques et les fentes considérées par Fresnel étaient assez allongés pour qu'on pût les considérer comme illimités dans un sens. 0 en résulte que la considération des fuseaux du § 101 est applicable à ces cas , et qu'au lieu des intégrales doubles du §58, ils acceptent les intégrales simples en s du §101. Gela posé, pour un point tel que P, fig. 56 , PL III, on devra intégrer ces intégrales depuis s = MA = s^ jusqu'à s = MG i= f„ ou , ce qui revient au même, intégrer les intégrales tabulaires, depuis

/a (g 4- 6) jusqu'à

Comme la différence ( * ) des deux limitesest égaleà c, largeur de l'ouverture, celle des deux limites t^,, ^j ^^

on appelle cette quantité la valeur tabulaire de Pouperture. En négligeant le facteur constant i g> qui ne change pas la position des

maxima, on voit donc qu'il s'agit de calculer les maxima et minima (^e l'expression

1=1 I f/j^cos-cM-i- j 1 rfPsin-(^M

Fresnel pour y arriver cherchait d'abord les intensités pour un certain nombre de points voisins , puis quand la marche des intensités lui montrait qu'un minimum était voisin d'une valeur de v^, il cherchait

( * ) On raisonne ici pour un point P qui est en dehors de la profeetion de Vouverture.

par interpolation ce qu'il fallait, soit ajouter à cette valeur de p,, soit en retrancher pour atteindre le minimum.

On pourrait établir ces calculs pour des points P', P", P '",..., choisis et caractérisés par des coordonnées x',x'',x'" soumises à une loi de succession simple , telle que Téquidîstance. Il faudrait alors , puisqu'on a

une fois les points choisis , déterminer pour chacun d'eux la limite i^^ par les relations

i/,=:jc'

ce qui donnerait en général pour i>^ une valeur distincte des 55 valeurs tabulaires. Fresnel aimait mieux faire porter le choix sur les quantités t^, , ^ , . . . , car il les prenait égales à un nombre exact de dixièmes et trouvait dans la table deux des quatre intégrales qui entrent dans I ; il n'avait ainsi à calculer par sa première formule que les deux autres intégrales, puisqu'on général c, -h 7 = ^2 se trouvait distinct d'un nombre exact de dixièmes, et ce n'était que quand il avait trouvé les valeurs de i>^ caractéristiques des maxima qu'il cherchait par la relation

' Y aa

les a: correspondants, afin de les comparer à l'expérience (*). Soit avec Fresnel

on en déduit

de sorte que les x sont presque numériquement égaux aux v^, Cherchons les intensités pour les valeurs

Calcul pour v^ = 0^1 y et t'j = 0,2-1-1,9096 = 2,1096. Les tables donnent

I rfi^cos- 1'* = 0,1999, / rff sm-c^ = 0,0042,

(*) On abrégerait singulièrement les calculs si on choisissait 6 de telle sorte que y fût un nombre exact de dixièmes.

536 hini^.

pour avoir

/••j,iocj6 ^ /»a,iOi/> , . TT ,

on peut : i"* partir des valeurs tabulaires

j r/ocos-<'^ = 0,5819, / '/♦'8in-«'' = 0,3739,

et chercher par les premières formules de Fresnel (page 5-24) ce qu'il faut y ajouter; on trouve ainsi les deux quantités toutes deux positives, 0,007096, o,oo5668, de sorte que ces deux intégrales valent 0,589 ^^ o>3796, alors les quantités comprises entre les deux parenthèses de l'expression I sont 0,^3891, 0,3754; la somme de leurs carrés donne

/ 2, 1096 par les formules de Cau-

chy, si rapides au-dessus de m = 2. Nous nous bornons à le remarquer. En faisant le calcul des deux autres intensités, on trouve le tableau suivant :

p = Oj ou bien x = o,oo, 1 = 0,2981, = 0,1, =0,0915, =0,2765,

de sorte qu'il y a un minimum aux alentours de i' = o, i . Pour le trouver, soient trois points

7 = 0, (/, Ir", et une courbe du second degré de la forme jc*-\-dx-+- d'y = o.

Pour que cette courbe qui passe par le premier point passe par les deux autres, on a les deux équations de condition

Une tangente horizontale est donnée par

mais

dr ix.-^d j, , ' d

on en déduit pour l'abscisse du minimum ,

C^est précisément à l'aide d'une telle courbe auxiliaire que Fresnel détermine la valeur de c qui donnerait l'intensité minima ; en d'autres termes , il suppose que les trois valeurs de v et les trois correspondantes de 1 sont les unes abscisses , les autres ordonnées d'une courbe du second degré, et il obtient le p, du minimum par la précédente formule dans laquelle on doit faire

jf'= 0,1, f= — (0,2981—0,2765) = —0,0216, y'= 0,2981 — 0,2923 = o,oo58 ,

ce qui donne

On en conclut

Dans ses vérifications , Fresnel comptait la distance qui séparait ces franges du milieu de la projection de Técran. Or la demi -projection est

donc la quantité qui sera comparée à l'expérience vaut

Cette expérience est une des rares expériences où l'accord du calcul et de Tobservation n'a pas été satisfaisant. Les deux positions vraies et calculées ont différé de l'énorme quantité o™", 1 1 .

Tandis que Tillustre auteur de la Mécanique céleste avait le secours d'auxiliaires habiles et dévoués pour établir des confrontatiens entre les formules de la mécanique céleste et le cours des astres , son non moins illustre contemporain Fresnel assumait , sans doute seul, Timmense fardeau des calculs numériques dont la Note actuelle donnera, nous l'espérons, une idée exacte. Ainsi Texpérimentateur habile , Télonnant théoricien a su encore au besoin devenir un calculateur infatigable. Peu de savants assurément l'ont été aussi complètement que cet homme incomparable.

§ 9. Expériences de lord Brougham, — Jetons, pour terminer cette Note, un coup d'œil rapide sur Tune des expériences (ab una disce onmes ) faites dans ces derniers temps par lord Brougham et présentées par lui comme inconciliables avec la théorie des ondes.

L'œil étant placé derrière un écran, près de la limite de son ombre, de

538 noms.

manière à voir les troi^ franges .des écrans indéfinis, passez un second écran entre le premier et l'œil , en le faisant arriver tantôt du côté de . l'ombre et tantôt du côté de la partie éclairée. Dans le premier cas; ni l'ombre ni les franges n'éprouvent de changements; dans le second , au contraire, les trois franges sont remplacées par d'autres plus nombreuses (dans quelques expériences on peut en compter dix) et plus brillantes, qui s'installent finalement toutes dans l'ombre. Les rayons sont donc autrement traités par le second écran quand ces derniers les attaque par un côté, que quand il les attaque par le côté diamétralement opposé, preuve évidente , conclut le noble lord, que ces rayons, quoique naturels , n'ont pas la même organisation sur leurs différentes faces! La théorie des ondes assigne, sans effort, à ce contraste la cause suivante ;

Quand l'écran va de gauche à droite (^. 53, PL III) y les rayons élémentaires émanésde la moitié de l'onde épargnée par le premier écran, continuent d'arriver aux points/?, p', /?",..., comme si ce deuxième écran n'intervenait pas; dès lors l'éclairement dû à leur résultante y garde la valeur continuellement décroissante , établie § i03. S'avance-t-il , au contraire , de droite à gauche, il ne tarde pas à empêcher certains

rayons d'atteindre les points /?, p',p% Prenons-le, par exemple,

dans la position EE', assez voisine de l'ombre pour que cette élimination porte sur des rayons influents. Le premier point ne sera plus éclairé que par l'arc AN , le second que par l'arc AN', — On conçoit donc que, suivant que ces arcs épargna formeront à l'égard de /?,/?',.«•> un nombre impair ou un nombre pair de zones d'Huyghens, il y ait lumière ou obscurité, et que ces alternatives, analogues à celles qui produisent le phénomène de la fente étroite, donnent, c^mmedans ce cas, des franges vives et nombreuses; mais, s'il y a analogie générale des deux phénomènes , celui qui nous occupe est bien plus compliqué , parce qu'au lieu d'être la même pour tous , la portion de l'onde qui réussit à envoyer des rayons aux divers points , varie pour chacun. Cependant M. Quet , enhardi par les simplifications qu'il lui avait été donné d'introduire dans le reste de la diffraction, en a abordé résolument le calcul, et il a trouvé que la théorie rendait minutieusement compte de toute les particularités du phénomène des écrans multiples. Ajoutons qu'il a rencontré le même succès dans l'étude des autres phénomènes étudiés et décrits par lord Brougham.