DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

DUISIBILITÉ DES NOMBRES. — À [a division se ratebt les questions de divisibilité, qui sont trèt- Oftantes pour la simplification des fractions et la pn des problèmes.

Br les bien comprendre, il suffit de savoir quand iment un nombre est multiple d'un autre:nomand et comment un nombre est diviseur d’un Mmombre.

PULTIPLE D'UN NOMBRE.—On appelle multiple Minombre, tout nombre quien contient unautre plusieurs fois exactement.

Muluit, dividende, divisible par, sont synonymes de épi.

Miseur D'UN NOMBRE.—On appelle diviseur d’un r rc tout: nombre, qui est contenu dans un autre aôre unc ou plusieurs fois exactement.

Mteur, sous-multipie, sont synonymes de. diviseur.

Divisibilité par ©. dosé ] SIBILITÉ PAR 2.—"Tous les nombres terminés

Zcro où par un chiffre pair, sont multiples

Mn chiot, une diz:ire conticut 5 fois 2.

Un chiffre pair contient 2 une ou plusieurs f exactement,

Mais tout nombre terminé par un zéro ou par chiffre pair, peut se décomposer en un certain nom de dizaines +'un chiffre pair t ;a:vonséquont est multiple de 2. C. Q. F. D. |

Divisibilité par 5.

Divisimiciré PAR 5.—Tous les nombres termi par un zéro ou par un 5 sont multiples de 5.

Et en effet, une dizaine eontient 2 fois 5.

5 se contient lui-même.

Mais tout nombre terminé par un zéro ou par u peut se décomposer en un certain nombre de di

nes + 5 et par conséquent est un multiple de C. Q. F. D. |

Divisibilité par 9. | | DrvisiBiziTÉ PAR 9.—Un nombre est divisible 9, lorsque la somme de ses chiffres considérés dans lé valeur absolue est elle-mème un multiple de 9... Ex. : 5346. | Les chiffres 5 + 3 + 4 + 6, qui constituent nombre, additionnés ensemble donnent pour som! Mais @T étant divisible per 9, le nombre 5346 aussi.

Pour le démontrer, appuyons-nous sur les princ suivants :,

1° L'unité, suivie d’un ou plusieurs zéros, forme un nom qui est un multiple de 9 ur 1. Et, en a Sete = 9 de 15 99 + 1,etc. °- : ; su

Un chiffre significatif, suivi d’un ou plusieurs zéros, forme ombre qui est un multiple de 9, plus le chiffre significatif. 40 = 10 x 4A=(9+1)x4A=4 x 9404,

ci admis, le nombre proposé peut être décomposé

qu'il suit :

6 — CRTETTITIIITI III … 6

j 4 0 — m. de 9 + 4 8 0 0 = m, de 9 + 3

5 0 0 0 = m. de 9 + 6 5 34 6 = m, de 9 + 18

xs deux parties étant divisibles par 9, le nombre } est divisible par 9. C. Q. F. D.

euve par 9 de la multiplication.—La preuve par 9 & là multiplication repose sur ce principe que : tout OMibre est un multiple de 9 plus la somme de 08.

bla étant, supposons qu'on ait à multiplier 9407

4 À door facteurs de cette multiplication peuvent rédécomposés ainsi qu'il ‘suit :

j = m. de 9 + 2

(nm. X m.) + (m. X 2).

OÙ x 435 — (im X m)+(m X D +(3X m)+3%X2 On voit par là que le produit total est composé de Wire produits partiels, dont les trois premiers sont: multiples de 9 et dont le dernier est le y E

restes à 9 des doux facteurs. M «le ,

Donc, si l'opération.ost bien faite, le reste à 9 d produit total, doit ètre le même que eclui des rest à 9 dos factours, | |

Dumla pratique voici comment on dispose l'opi

ration :

Reste à 9 du produit Reste à 9 des restes des factéurs du multipliegrde.

Reste à 9 du prodait Reste à 9 générak du mulhiplicatunr,

Preive par 9'de là division: - Tin preûve par ! s'applique à Ja! division, qui peut être considérée comme ue multipliention rerversées Mais le divi dende est alors supposé le produit exact du diviseur multiplié par 16: quotieñit. Aussi, quand il y à un rest , faut-il avoir soin de le retrancher du dividende, avant dé faire la prouve par 9. |

Divisibilité par 3. |

DivisiBiLiTé par 3.—Un nombre est divisible par 3, lorsque la somme de ses éhiffres eonsidérés dans

leur valeur absolue est elle-même Hibas par3 9 est.un ruultiple de 3.

Mais. tout. nombre est un multiple de 9 plus la sorame:.de ses-chiffres ; si cette somme est elle-mêmo divivsible:par 3.le nombre tout entier est divisible par Beoosr Ce Qe Fi D. |

Divisibilité par 11: dé

vismmiziré Pam 11.—Un nombre est divisible 11 quand la différence des chiffres de rang pair , 6, etc.,) avec ceux de rang impair (1, 3,5, etc.,) ou 11, ou un nombre divisible par 11...

MBRES PREMIERS.—On appelle nombre premier ombre, qui n'est divisible que par lui-même et té,

On obtient les nombres premiers au moyen du MPe d'Erathosthènes, qui consiste à écrire la série nombres jusqu'à un nombre illimité, et à barrer Bord tous les multiples de 2, ensuite tous les daitiples de 3, et ainsi du reste.

Moici par ordre de grandeur, les nombres premiers à 100.

“Nousres PREMIERS ENTR'EUX.— Deux ou plusieurs 10 bres sont dits premiers entr'eux, quand ils n'ont lg/commun diviseur que l'unité.

Ex. : 25et 8.

5 n’est pas un nombre premier, 8 n’est pas un dôbre premier; mais ils sont premiers entre eux, e qu'ils n'ont de commun diviseur que l’unité.

Décomposition d'un. nombre .en ses facteurs premiers.

Ex: 7800,

Tous les nombres non premiers sont des multiples d'ün où plusieurs nombres ou factours premiers.

PRrocéDé.—Pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on épuise tous les cas de divisibilité qui se présentent, d’abord par-2, ensuite par 3, par 5, 7, 11, 18, ete, etc.

Et jusqu'à ce qu'on arrive à trouver 1 pour quotient. | 6

Pour cela on dispose le calcul ainsi qu'on peut le voir dans l'exemple, le diviseur à droite et le quotient sous le dividende, dont il provient.

Car, après chaque division, le quotient devient à son tour dividende.

APPLICATION BU PROCÉDÉ A L’EXEMPLE :— Soit 7600 à décom-

poser.

CAS:DE; DIVISIBHAITÉ PAR 2.—Ce nombre étant terminé. par

un zéro est divisible par 2: Je mets donc. 2 à la droite de.

7RO0 et je l'aïs la division en placænt fe quotient sous 1e ai dende ainsi qu'il suit :

La moitié de 7 est 3 pour 6 : Resté 1 mille qui vaut 10 déntaines et que j'ajouteà 8, ce qui fait (8, la moitié de .18e8t 9, la moitié de 0 est N.

Lo quotient est 3900. Ce nombre fant terminé (par jun! zéro, est divisible par 2. Je fais la division d'après le même nrocédé et j'obtiens 1950 pour quotient, ét enfin 975 en divisant une troisième fois par 2.

Cas DE mivisiinirÉ pan 10 dernier quotiént est 975, nombre qui n'est plus divisihle par ?, mais qui est divisible par 3, car la somme des chiffres est 21. Je fais la division et je dis : le tiers de 9 est 3, le tièrs de 7 est 2 pour 6, reste { qui vaut 0 unités, le tiers de 15 est 5.

CAS DE DIVISIBILITÉ PAR 5.—<Le quotient obtenu-est 325, nombre, qui n'est plus divisible par 3, mais qui est divisible, par 5- Je fais la division et je dis : le cinquiènie de trois n’est pas; le cinquième de 3? est 6 pour 30. Restent ? qui valent 20 unités, le cinquième de 25 est 5.

65 est encore divisible :par. 5, æt, la. division donne pour quotient 13,

CAS DE DIVISIBILITÉ par 13.—Le nombre 13 est divisible par ui-mêème. Reste : | pour quotient.

D'après cela on voit que :

Ce qui peut encorc s’ex primer ainsi :

Le petit chiffre placé ainsi au-drssus et à la âroïte d'un nombre premier, s'appelle exposant et que € corp én de Yis ce nombre ést pris comme facteur,

DémonsTmAaTION.—Tonte la démonstration. repose sur €e principe, que ::dans.une division, ;qui, se fait sans reste, le dividende étant égal au diviseur multi-

plié par le quoticnt, on peut remplacer successive-

ment chacun des dividendes par les deux nombres, dont ils sont les produits, savoir : 1800 par 2 x 3900, 3900 par 2 x 1950, 1950 par 2 x 975, ete., ete. On obtient ainsi :

Il en résulte que 2% x 3 x 5? x 13, sont bien réellement les facteurs du nombre 7800, et que le procédé employé pour les obtenir est bon.C. Q. F. D.

Du plus petit multiple.

Du PLUS PETIT MULTIPLE.— Le plus petit multiple de deux ou plusieurs nombres est le plus petit des nombres, qui les contient tous exactement.

Procéné.—Pour trouver le plus petit multiple do deux nombres donnés, il faut décomposer ces nombres en leurs facteurs premiers. Cela fait, on prend tous les factours premiers différents et à leur plus fort exposant. Le produit, qu’on obtient ainsi, est le plus petit multiple commun cherché.

APPLICATION DU FROCÉDÉ A L’'EXEMPLE.— Etant donnés les trois

nombres, 42, 210, 396, si on veut savoir, quel est le plus petit multiple commun de ces nombres, il faut :

1° les décomposer en leurs facteurs premiers.