LAIT

2° prendre tous les facteurs premiers différents : 7, 3, 5, 7, 11. 3° et à leur plus fort exposant : ce qui donne 2? x 3? X 5 X 7 xX 11 = 13860.

DÉMONSTRATION. —Mon but est de chercher quel est le plus petit multiple de 42, 210, 396 c’est-à-dire lele nombre qui les contient tous. Mais pour les contenir tous, il devra contenir tous leurs éléments. Car un nombre ne saurait contenir un autre nombre, s’il ne contient pas les éléments, dont celui-ci se compose.Je suis donc conduit à prendre tous les facteurs différents ct à leur plus fort exposant. 20 D'un autre côié, puisqu’en enlevant un facteur quelconque au produit, j'enleverais un des éléments constitutifs de l’un des nombres et que dès lors le produit obtenu ne contiendrait plus ce nombre, j'ai bien trouvé, en suivant le procédé indiqué plus haut, le plus petit multiple commun des trois nombres 42, 210, 396. Donc le procédé est bon et l'opération doit être bonne.

te GB Du plus grand commun diviseur,

Du PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR.—Le plus grand commun diviseur de deux ou plusie:rs nombres est le nombre, qui est contenu tant de fois exactement dans chacun d'eux; et de plus c’est le plus grand des nombres contenus tant de fois exactement dans chacun d'eux.

PREMIER PROCÉDÉ. — MÉTHODE DES FACTEURS PREMIERS.—Pour trouver le plus grand commun diviseur par la 1° méthode, il faut décomposer chacun des nombres donnés en ses facteurs premiers. Cela fait, on prend tous les facteurs communs et à leur plus faible exposant. Le produit, qu’on obtient aïnsi, est le plus grand commun diviseur cherché.

Pour les nombres cités plus haut, savoir : 42, 210, 396 les facteurs communs étant ? et 3 et ces facteurs n'étant pris qu'uns fois comme facteurs dans 42 et dans 210 le plus grand commun diviseur est ? X 3 = 6. |

DÉMONSTRATION.—Mon : but est de chercher le plus grand commun diviseur entre 42, 210, 396, autrement dit le plus gra.e des nombres contenus tant de fois exactement dans 42,210, 396. Mais un nombre étant formé d'éléments, qui ne sont autre chose que ses facteurs premiers, il faut pour que 42, 210, 396 contiennent ce nombre, qu'ils en contiennent tous les éléments. Or les seuls éléments communs aux trois nombres donnés sont 2et3. Donc le plus grand commun diviseur cherché est bien 2 x 3 = GC

AUTRE PROCÉDÉ.—MÉTHODE DES DIVISIONS SUCOES- SIVES.—Pour trouver le plus grand commun diviseur par la méthode des divisions successives, la seule possible en certains cas ; il faut diviser le plus grand nombre par le plus petit. Si la division se fait sans reste, le plus petit nombre est le plus grand commun diviseur, Mais s’il y a un reste, on divise le plus petit nombre par le reste, le premier reste par le deuxième, le deuxième par le troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à une division, qui se fasse sans reste. Le dernier diviseur employé est le plus grand commun diviseur cherché.—Lorsque le dernier reste est 1, il faut en conclure que les nombres donnés sont premiers entre eux.

APPLICATION DU PROCÉDÉ A UN EXEMPLE—Etant donnés les deux nombres 30 et 252, si l’on veut employer la méthode des divisions successives, pour savoir quel est le plus grand commun diviseur de ces deux nombres, il faut disposer l'opération ainsi qu'on peut le voir dans l'exemple, en ayant soin de placer les différents quotients, non pas au-dessous, comme cela se fait habituellement, mais au-dessus des diviseurs, d’où ils proviennent. On divise d'abord 252 par 30, puis 30 par 12, et eufin 12 par 6. La dernière division so faisant sans reste, 6 est le plus grand commun diviseur entre 252 et 30.

DÉMONSTRATION.—-Mon but est de chercher quel est le plus grand commun diviseur entre 252 et 30, autrement dit le plus grand des nombres contenus tant do

fois exactement dans 252, et tant de fois exactement dans 30. Si 30 était contenu exactement dans 252, comme 30 se contient lui-mème et qu’il n’y a pas de nombre plus grand pouvant être contenu exactement en même temps dans 252 et dans 30, 30 serait bien le plus grand commun divisour cherché. Je divise donc 252 par 30. Il y a un reste; par conséquent 30 n’est pas le plus grand commun diviseur, le p. g. c. “ doit être nécessairement plus petit.

Mais quel est-il? quel doit-il être? Le plus grand commun diviseur entre 252 et 30, devant être contenu exactement dans ces deux nombres, sera contenu dans 30 x 8 multiple de 30; étant contenu d’autre part dans 252, il l’est aussi dans la différence entre 30 x 8 et 252, c'est-à-dire dans 12. Car la différence entre deux multiples d’un même nombre étant ce nombre lui-même repété tant de fois exactement, le plus grand commun diviseur entre 252 et 30 est contenu dans 12 leur différence. Je suis donc conduit à diviser 30 par 12, et, comme il y a un reste, 12 par 6 Cette dernière division se faisant sans reste, 6 est le plus grand commun diviseur cherché. Donc lo procédé est bon et l'opération doit être bonne.

PATONSS TRES