PREMIÈRE SECTION

§ 1. — Considérations générales.

On connaît les inconvénients des projectiles sphériques ; leurs rotations irrégulières produisent de fortes déviations qui, dès que la distance devient un peu grande, rendent le tir fort incertain.

Des boulets oblongs et terminés par des surfaces de révolution offriraient de grands avantages, si Ton parvenait à maintenir leur axe dans la direction du mouvement. La faculté de varier leur forme et, en même temps, d'augmenter leur masse, sans être obligé de leur donner des dimensions latérales plus considérables, permettrait de diminuer les effets de la résistance de Pair.

C'est en vue de réaliser, sinon complètement, du moins en grande partie, un pareil état de choses, qu'on a adopté des dispositions telles que le projectile, en sortant delà bouche à feu, tourne autour de son axe. L'expérience a fait reconnaître l'efficacité dé ce procédé.

Les circonstances principales du mouvement sont, du reste, les conséquence des propriétés dont jouit un corps de révolution doué d'une rotation autour de son axe. C'est pourquoi, bien que ces propriétés soient connues, on croit devoir le rappeler succinctement.

§ 2. — Propriétés d'un corps de révolution animé d*un mouvement de rotation autour de son axe.

Comme il ne s'agit ici que de mouvements rotatoires, il est permis de supposer que le centre de gravité reste fixe.

On peut substituer au corps son ellipsoïde central, qui est aussi un corps de révolution.

Soient O le centre de gravité, OA l'axe {fi g- i).

Fig. I.

Lorsque, à la rotation autour de l'axe, il vient s'en joindre une autre accidentelle, elles se composent en une seule autour d'une certaine droite OB. Soit MN le plan tangent à la surface de l'ellipsoïde au point B, où elle est percée par la droite OB. D'après le théorème de Poinsot, le corps tourne autour du point O, de telle sorte que l'ellipsoïde reste toujours tangent au plan MN. L'axe OA décrit donc un cône autour de la perpendiculaire OC abaissée du point O sur le plan MN.

Si la rotation accidentelle est faible relativement à celle qui s'opère autour de OA, l'angle du cône est très aigu et l'axe s'écarte peu de la direction primitive.

La question devient plus compliquée quand le mouvement est modifié par une cause permanente ; mais il suffira d'examiner le cas où une force P, constante en grandeur et en direction, se trouve appliquée en un point de l'axe.

Soient Q la vitesse angulaire constante que le mobile possède autour de son axe ; A le moment d'inertie relativement à ce dernier. La valeur du couple capable de produire la rotation est AQ; la somme des forces vives est AQ^.

Que Ton conçoive au centre de gravité O [fig* 2) trois

Fig. 2.

axes de coordonnées rectangulaires O^, Oj>', O5, le troisième O^ parallèle à la direction de la force P, et soient, au bout du temps t :

Ozi la position de l'axe mobile;

ON la projection de Ozi sur le plan xy;

Oxi une droite située dans le plan xy et perpendiculaire

à ON;* Oj^i une autre droite perpendiculaire kOzi et située dans le

plan zOzi.

Il est clair que les droites OjKi et O^i forment un angle

droit; leur plan est perpendiculaire à TaxeO^i du mobile : c'est le plan de Téquateur.

Oxi est la trace du plan de l'équateur sur le plan a;y.

Soit enfin M le point d'application de la force P, laquelle est dirigée suivant la droite MN parallèle kOz.

Posant

angle50^i = 6,

angle NO J7 = i}^,

chacun des angles zOJ'^ , :;, ON est égal à ^ 9.

L'équateur du corps est circulaire; soit B le moment d'inertie relatif à l'un quelconque de ces diamètres.

Pendant chaque instant dt la force P engendre une rotation infiniment petite autour de la trace de l'équateur. Cette trace varie continuellement; mais, tous ces mouvements élémentaires se composant entre eux, il en résulte qu'au bout du temps t le' corps possède une certaine rotation autour d'un axe de l'équateur, lequel, d'ailleurs, reste inconnu.

Cette rotation peut être décomposée en deux autres, l'une autour de la trace actuelle O^,, l'autre autour du diamètre OjKi perpendiculaire à cette trace.

En vertu de la première, l'axe Ozi du mobile tourne pendant l'instant dt autour de la droite O^i, à laquelle il est perpendiculaire, et l'angle 6 devient 6 -f- rfô. La vitesse angu-

laire est donc représentée par -y^; et, puisque B est le moment d'inertie relatif à Oxi, la valeur du. couple capable de produire le mouvement est B -7-: la somme des forces vives est

dt'

La seconde rotation fait varier l'angle ^, qui devient ^ -}- d^. L'axe 0^1 tournant autour de la droite Oj'i, à laquelle il est perpendiculaire, décrit pendant l'instant dt un angle infiniment petit dont le plan a sur le plan œy une inclinaison égale

Si- 9. La projection de ce petit angle sur le plan jc/ n'est

autre que dif et il est aisé de voir qu'il est égal à sinô eld^. Par conséquent, la rotation autour de OjKi a pour vitesse

angulaire sinô -7^- Le couple capable de produire cette rotation est égal à Bsinô -^; la somme des forces vives est B.„..(f)'.

On voit qu'au bout du temps t le corps peut être considéré comme soumis à l'action de trois couples

Au, B^^,lBsin6j,

ayant respectivement pour axes les trois droites rectangulaires O^,, Ox^ et OjKm lesquelles sont des axes principaux. La somme des forces vives est alors

Avant l'action de la force P, elle était égale à AQ^^ les vi-

tesses -7- et , étaient nulles. L accroissement dt dt

doit être égal au travail de la force P.

Désignant par / la distance OM et par a la valeur primitive

de l'angle 6; supposant, en outre, Tangle a aigu, si la force P

agit dans le sens ^O, il est bien clair que son travail ne peut

être positif qu'autant que surpasse a ; il est alors exprimé

par

P/(cosa — cos6).

Quand, au contraire, la force P agit dans le sens O^, il

faut que 8 devienne inférieur à a et le travail est représenté

par

P/(cos6 — cosa) ou — P/(cosa — cos6).

lO SECONDE PARTIE. — PREMIÈRE SECTION.

On peul donc, dans les deux cas, adopter la même expression, pourvu qu'on convienne de regarder la force P comme positive quand elle agit dans le sens zO, et comme négative quand elle est dirigée en sens opposé.

Cela posé, on a Téquation

Si Tangle a était obtus, on remplacerait la force P par une autre qui lui serait égale et parallèle, mais de sens opposé, et appliquée sur le prolongement de MO, de l'autre côté du point O et à une distance de ce point égale à /. On retomberait alors dans le cas de Tgîngle aigu.

Les trois couples AQ, B — et BsinO-7- peuvent être décomposés en d'autres dont les axes seraient les trois droites Oœ, Oy et O^.

Les couples Au et B sinO-^? dont les axes sontO^Si et OjKm

fournissent seuls des composants ayant pour axe la droite O:;- La somme de ces composants est

Aûcos6-hBsin*e-^.

at

Telle est donc la valeur du couple qui a O^ pour axe, et

elle doit rester la même pendant toute la durée du mouvement,

puisque la seule force du système est parallèle k Oz, Or cette

valeur était AÛcosa au moment où la force a commencé à

agir; donc

Au cosô -h Bsin^O-y- = Au cosa at

ou

(2) B sin^e-^ =z Aû(cosa — cos6).

L'angle ^ ne restant pas constant, le plan zOzi tourne au-

tour de O^. C'est à ce mouvement qu'on a donné le nom de précession.

La position de O^r est tout à fait arbitraire ; on peiit la faire coïncider avec celle qu'occupait ON au moment où la force P a commencé à agir. L'angle i^ désigne alors la quantité dont la droite s'est écartée de la direction primitive.

--r est la vitesse angulaire du mouvement de précession.

Dans le cas où 6 surpasse a et où, par conséquent, cos9 est inférieur à cosa, l'équation (2) montre que la vitesse angulaire a le même signe et, par conséquent, le même sens que la vitesse Au cosa. La force P agit alors dans le sens zO.

Le contraire arrive évidemment quand 6 est moindre que a, c'est-à-dire quand la force P est dirigée dans le sens O z.

Ainsi le mouvement de précession et la rotation primitive ont le même sens ou des sens opposés, suivant que l'action de la force P tend à augmenter ou à diminuer l'angle a supposé aigu.

L'élimination de -~ entre les équations (i) et (2) conduit à

(3) \dt)

( =(cosa— cos6)[2PB/sin26 — A2û2(cosa— cos6)].

Supposant, pour fixer les idées, que la force P agisse dans le sens 5O, alors le premier facteur du second membre n'est jamais négatif; il faut donc qu'il en soit de même de l'autre,

2PB7sin2e — A2û2(cosa — cosô).

Quand = a, ce facteur est égal à 2PB/sin2a; il deviendrait négatif si l'on supposait 9 = 71; ; il y a donc entre a et tî une certaine valeur p qui l'annule et que l'angle ne peut jamais dépasser. La valeur de p est fournie par l'équation

2PB/ sin2|3 — A^QS (cosa — cosp) — o.

Après avoir atteint cette limite, l'angle 6 doit nécessairement décroître-, le rapport -r-j positif jusqu'alors, devient

négatif en passant par zéro, et reste tel jusqu'à ce qu'il s'annule de nouveau, quand 9, décroissant toujours, reprend sa valeur primitive a. Après quoi, tout recommence.

L'axe du corps fait ainsi une suite d'oscillations isochrones dans le plan zOz^j pendant que ce plan tourne autour de la droite O^. Ce mouvement oscillatoire a reçu le nom de nutation.

Lorsque la force P agit dans le sens Oz^ elle est considérée comme négative; l'angle 9 ne pouvant être supéri^eur à a, le premier facteur du second membre n'est jamais positif; l'autre doit être dans le même cas. H y a donc entre a et zéro une valeur qui s'annule et qu'on peut encore désigner par p. L'angle décroît jusqu'à ce qu'il ait atteint cette limite, puis croît. L'axe éprouve donc encore un mouvement oscillatoire.

Toutes les courbes décrites par les divers points de J'axe O^ sont semblables, et l'on prend une idée très nette de leurs formes en considérant leurs projections sur le plan xy.

Considérons, par exemple, le point M, dontN est la projection, et soit ON = p, il est clair que p == / sin9 ; et, comme 9 ne varie qu'entre a et p, la courbe que décrit le point N est comprise entre deux circonférences de cercle ayant le point O pour centre. Le rayon de Tune est /sina, celui de l'autre *est /sinj3. La courbe se compose d'une suite de festons tous égaux entre eux. Quand elle atteint la première circonférence, elle lui e'st normale; en rencontrant la seconde, elle lui devient tangente ; c'est ce dont il est facile de s'assurer. En effet rfp = /cos9 rfO ; par conséquent,

do , ^d^

et l'on obtient le rapport -,- en divisant l'équation (3) par l'équation (2), après avoir élevé les deux membres de» cette

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. l3

dernière au carré. Ce calcul conduit à

fdpy ^ sin^e cos^e[2PB7sin^e~A'Q^(cosa — cos.e)] \d^) """ A2i22(cosa — cos6)

La dérivée --jr devient infinie quand 6 = a, tandis qu'elle se

réduit à zéro si = p, attendu qu'alors le second facteur du numérateur est nul.

Quand la force P agit dans le sens -sO, la circonférence dont le rayon est /sinj3 se trouve extérieure à l'autre; le contraire arrive quand elle est dirigée dans le sens O^;.

Que l'on imagine une sphère de rayon / ayant pour centre le point O. Le point N trace sur cette surface une suite de festons tous égaux et compris entre deux cercles dont les plans sont parallèles au plan xj et qui ont respectivement pour rayons'/sina et /sinp. Chaque feston intercepte sur le premier de ces cercles un arc qui mesure sa largeur; son sommet est sur l'autre cercle.

Cette analyse s'appliquerait sans modifications au cas où le corps, soumis seulement à l'action de la pesanteur et tournant autour de son axe, serait mobile autour d'un point de cet axe autre que le centre de gravité. La force P serait alors le poids du corps et l'axe O^ serait vertical. Le moment d'inertie B serait relatif à une droite perpendiculaire à Taxe et passant par le point fixe.

Ce cas est précisément celui que présente une toupie tournant autour de son axe, de manière que la pointe occupe toujours la même position.

§ 3. — Suite. — Cas où la vitesse de rotation est très grande.

P désignant comme ci-dessus la valeur de qui s'écarte le plus de oLy on a

îîPB/sin^S

(I) __£ ::,zCOSa — C0S6.

l4 SECONDE PâETIE. — PREMIÈRE SECTION.

Lorsque ii devient très grand, le premier membre étant peu difierent de zéro, il faut qu'il en soit de même du second, ce qui exige que P soit peu difierent de a. On peut donc alors poser

u étant une quantité très petite, toujours positive ou toujours négative suivant le sens de la force P. Pour fixer les idées, on la supposera positive, auquel cas la force est dirigée dans le sens zO, On a

ces a — cosO z=. ces a — cosacosc/ -i-sinasinc/. sin*6 ^^ sin'a cos*£/ -h 2 sina ces a sinw cos£/ -h ces* a sin*a.

A cause de la petitesse de w, il est permis de remplacer cosM par I, et sinw par u et les égalités précédentes deviennent, en négligeant les puissances de u supérieures à la première,

cosa — cosô =: u sina, sin*6:zz sin^a -\- iu sina ces a.

Introduisant ces valeurs dans l'équation (3) du paragraphe précédent, on trouve, en remarquant que l'on a identiquement

~di "" ^' fdu\r f/sina

\dt j B-(sin*a -I- 2a sinacosa)

X [2PB/(sin*a-h 2M sinacosa) — A*û*w sina].

Le terme 'lu sina cosa est négligeable devant sin^a à cause de la petitesse de u. Mais, par suite de la grandeur de Q, il n'en est pas de même du terme A^û^a sina. En efiet, W| désignant la plus grande valeur de w, l'équation (i) peut s'écrire

2PB/(sin*a4- 2£/|Sina cosa) = A*Û*Wi sina,

NOTIONS PRÉLIMINAIBES. l5

OU, en négligeant encore awi sinacosa devant sin^a, 2 PB / sin2 oL — A^Q^ Ui sin a.

Sous cette forme elle montre que le terme A^û^^ a sin a est du même ordre de grandeur que le terme indépendant de u, La valeur de u est donc déterminée par Téquation diffère ntielle

dont rintégration donne, en remarquant que l'on doit avoir w = o pour ^ = o,

:îPB/sina . ^KQt

u = 7-S — » Slll^ fr- •

AH22 iB

La variable w, nulle quand ^ = o, croît d'abord avec t\ elle

îîPB/sina , ttB . „

atteint son maximum — ttt^ — lorsque ^= -r— ; puis elle

l'A 1 • 11 'ÎTtB

décroît et redevient nulle pour t =^ -^-—] t continuant a

croître, elle repasse périodiquement par les mêmes valeurs. Ainsi, la nutation est un mouvement oscillatoire dont

l'amplitude est — r-r^-; — ; la durée d'une oscillation complète (aller et retour) est -t-t-'

L'amplitude est proportionnelle au moment de la force P relativement au point fixe O, tandis que la durée d'une oscillation ne dépend que de la vitesse de rotation Çl et de la forme du corps; elle est indépendante de la valeur de la force ainsi que de l'angle a.

La vitesse de précession s'obtient à l'aide de la formule (2) du paragraphe précédent, laquelle devient, lorqu'on y remplace cosa — eosO et sin^ô par leurs valeurs approximatives u sin a et sin^ a -f- 2 w sin a cos a,

d'^ Au w si n a

dt B sin^ a + 2 a sin a cos a

l6 SECONDE PARTIE. — PREMIÈRE SECTION.

et en négligeant, comme on Fa déjà fait, le terme 2 u sina cosx devant sin^a,

dt ~ BT sina ~~ Ka 2B *

Cette vitesse, nulle pour ^ = o, croit d'abord avec ^et atteint

ttB son maximum lorsque t = - — > puis elle décroît et redevient

nulle quand t= -^—r', elle repasse ensuite périodiquement

par les mêmes valeurs. Les périodes que présentent les mouvements de nutation et de précession sont exactement les mêmes.

Intégrant Téquation qui donne -^ j et observant que tj> = o

quan

d ^ = o, on trouve

P/ PB/ . \Qf .

L'expression de ^ se compose de deux termes, l'un proportionnel au temps, et l'autre tantôt positif, et tantôt négatif, mais dont la valeur numérique est constamment très faible, puisqu'il contient Q'^ en dénominateur. En faisant abstraction de ce dernier, l'équation devient

c'est celle du moyen mouvement de précession dont la vitesse

P / angulaire constante est ^— • Il est à remarquer qu'elle est

égale à la moitié de la vitesse maximum; on voit, de pluSy qu'elle est indépendante de l'angle a.

Chacun des festons tracés par le point N sur la sphère dont le centre est en O'et le rayon /est décrit dans un temps

-^— ^ pendant lequel le plan zOzi tourne d un angle ^ -'

NOTIONS PRÉLiaiINAIRES. I7

La largeur du feston mesurée sur le cercle dont le rayon est

/sina et dont le plan est parallèle au plan xy est donc égale

2'irPB/ à /sina .^ » D'autre part, l'amplitude ou la hauteur du

feston s'obtient en multipliant par /l'amplitude de la nuta-

n j / 1 ^ ,2 PB /sina r\ • • • i

tion; elle est donc égale a l — -rr^ — • ^^ voit amsi que le

rapport de la hauteur du feston à sa largeur est constante et

égale à - •

Le mouvement du corps continuerait indéfiniment de la même manière s'il n'intervenait aucune force étrangère; mais c'est ce qui n'arrive jamais. C'est ainsi que, lorsqu'une toupie tourne autour de son axe, la résistance de l'air diminue d'autant plus vite l'amplitude des oscillations du mouvement de nutation que ce mouvement est lui-même plus rapide. La hauteur des festons diminuant alors, il faut qu'il en soit de même de leur largeur, puisqu'il existe un rapport constant entre ces deux grandeurs. Or la largeur des festons étant proportionnelle à sina, il faut qu'il en résulte une diminution dans la valeur de sina, et par suite dans celle de l'angle a. C'est ainsi que l'axe de la toupie se rapproche sans cesse de la verticale jusqu'à ce que la résistance de l'air et les frottements qui s'exercent autour de la pointe aient considérablement diminué la valeur de Q.

§ 4. — Projectiles.

D'après les dispositions généralement adoptées, le corps du boulet est cylindrique et la partie antérieure a une forme ogivale.

Les projectiles ogivaux qu'emploie la marine forment deux catégories.

Les uns, portant le nom d'o6w5, sont en fonte ordinaire et ont une chambre remplie de poudre.

D'autres sont destinés à agir contre des murailles cuirassées IL . 2

l8 SECONDE PÀBTIE. — PREMIÈBE SECTION.

et ont reçu le nom de projectiles de rupture. Ils sont en acier ou en fonte dure, quelquefois massifs, souvent disposés de manière à recevoir une charge intérieure.

On fait encore usage de boulets de rupture cylindrique terminés à Tavant par une calotte sphérique très aplatie. Ceuxlà sont toujours massifs.

Le mouvement de rotation est imprimé au moyen de parties saillantes appelées tenons^ et placées sur la portion cylindrique. Ces tenons s'engagent dans des rayures ménagées sur la surface de Tâme et inclinées sur Taxe.

Les parties, comprises entre les rayures sont appelées cloisons.

Dans ces derniers temps, par suite de l'adoption du chargement par la culasse, on a été conduit à remplacer les tenons par des ceintures en plomb ou en cuivre. Ces ceintures sont entaillées par les cloisons, et les parties restées intactes s'engagent dans les rayures et jouent absolument le même rôle que les tenons.

Dans la marine, la partie supérieure du projectile tourne de droite à gauche.

Les mouvements irréguliers ne peuvent être évités qu'autant que l'axe du mobile coïncide avec l'axe de l'âme. Lorsque cette condition est remplie, on dit que le projectile est centré. Le maintien du centrage exige que le boulet soit en quelque sorte forcé dans la bouche à feu.

L'emploi d'un métal un peu mou pour la confection des tenons permet d'ailleurs de réaliser le forcement sans que les rayures aient à en souffrir.

§ 5. — Tenons et rayures. — Résistance des canons.

La recherche de la meilleure manière de disposer les tenons sur le projectile est la première qui se présente.

On suppose que l'axe du boulet se trouve exactement placé sur l'axe de l'âme.

Soient G le centre de gravité du corps {fig^ 3 ),

OG l'axe; le mouvement de translation s'effectue dans le

sens OG; AB est une parallèle à l'axe sur laquelle doit se trouver le

contact d'un tenon et de la rayure correspondante ; A le point de contact; la figure suppose ce point en arrière

du centre de gravité ; O le pied d'une perpendiculaire abaissée du point A sur l'axe.

En A le tenon éprouve à la fois une pression et un frottement qui se composent en une seule force F. La pression est dirigée suivant la normale commune au tenon et à la rayure ; le sens du frottement est l'opposé de celui du mouvement du point A.

La force F est décomposable en trois autres : la première X dirigée suivant BA, la deuxième Y suivant AO, la troisième Z suivant une perpendiculaire au plan de deux droites AO et AB.

La composante X a un sens contraire à celui de la translation; son transport au centre de gravité G {Jig* 4) s'effectue par l'addition d'un couple situé dans le plan de deux droites OG et AB, et ayant un moment égal à' OA.X. La force ainsi transportée retarde le mouvement de translation. Quant au couple, il tend à produire une rotation autour d'une droite

perpendiculaire à l'axe, et c'est un genre de mouvement qu'il

faut éviter.

Fig. 4.

La composante Y {^fig- 5), provenant d'une pression exercée sur le tenon, agit dans le sens AO. Pour la trans-

Fig. 5.

porter au point G, il faut un second couple situé encore dans le plan des deux droites OG et AB et dont le moment est égal à OG.Y. Son effet s'ajoute à celui du premier. La force Y tend à déplacer le mobile latéralement; c'est encore un effet qu'il faut éviter.

Le transport de la troisième force Z {fig. 6) du point A au point O exige un troisième couple situé dans un plan perpendiculaire à l'axe, et dont le moment est OA.Z; il produit une rotation autour de l'axe, et c'est précisément le mouvement qu'on veut obtenir. '

Mais il faut encore porter la force Z du point O au centre

de gravité, et un quatrième couple devient nécessaire; son plan passe par l'axe et est perpendiculaire au plan des deux droites OG et AB; son moment est égal à OG.Z. Il ne peut

Fig. 6.

avoir pour effet que de produire une rotation autour d'une perpendiculaire à l'axe. Quant à la force Z, elle tend à déplacer le mobile latéralement.

Il y a donc deux forces perturbatrices Y et Z, et trois couples perturbateurs OA.X, OG.Y et OG.Z. Il faut tâcher de neutraliser leurs effets.

Ordinairement, plusieurs tenons également espacés sont placés sur le contour d'une section perpendiculaire à l'axe; à chacun d'eux correspond une rayure particulière. Il est bien clair que, s'ils supportaient exactement les mêmes efforts, l'équilibre subsisterait entre les diverses forces qui tendent à déplacer le mobile latéralement, aussi bien qu'entre les couples perturbateurs ; mais il ne faut pas compter sur une pareille répartition des pressions; de plus, des forces ne peuvent se faire équilibre par l'intermédiaire d'un corps qu'en exerçant sur lui des actions auxquelles il ne résiste pas toujours: il convient donc de rechercher si, par des dispositions particulières, il ne serait pas possible d'en amoindrir ou d'en faire disparaître quelques-unes.

Les couples perturbateurs OG.Y et OG.Z cessent d'exister lorsque la distance OG devient nulle, c'est-à-dire lorsque les centres des tenons sont placés sur le contour de la section

22 SECONDE PARTIE. — PREMlfeBE SECTION.

circulaire qui passe par le centre de gravité, disposition qui avait été tout d'abord adoptée par la marine.

On peut encore faire disparaître la force Y; il suffît évidemment pour cela que la normale suivant laquelle la rayure presse le tenon, soit perpendiculaire à AO. Cette condition sera, d'ailleurs, remplie si le flanc directeur de la rayure, c'està-dire le flanc qui agit sur le tenon, est normal à la surface cylindrique de l'âme, disposition qui a, en outre, l'avantage de réduire la pression à sa moindre valeur, et qui est, par suite, favorable à la conservation de la bouche à feu.

Ace dernier point de vue, il convient d'écarter 'tout ce qui peut apporter quelque retard aux premiers déplacements du projectile; c'est alors surtout que la tension des gaz peut acquérir une intensité considérable et devenir dangereuse. Les rayures hélicoïdales oflrent cet inconvénient que l'obstacle qu'elles opposent se fait sentir dès les premiers instants; il est clair qu'il n'en est plus de même lorsque Ton adopte des rayures dont l'inclinaison, nulle à l'origine, croît progressivement jusqu'à la tranche du canon. La rotation du mobile à la sortie de l'âme est, d'ailleurs, la même si l'inclinaison finale est égale à celle des hélices, et les conditions du tir ne sont pas changées.

Il faut seulement faire choix d'une forme simple et facile à construire, et l'on satisfait à cette condition en prenant la courbe qui, dans le développement du cylindre, devient une parabole du second degré.

Soient L la longueur comprise entre l'origine des rayures et la tranche du canon, % l'inclinaison finale des rayures sur les génératrices de l'âme.

En supposant les abscisses x parallèles aux génératrices et les ordonnées y dans la direction perpendiculaire ; prenant, d'ailleurs, l'origine des rayures pour celle des coordonnées, il est facile de voir que l'équation de la parabole est

tano;0 Les rayures paraboliques sont adoptées dans la marine.

§ 6. — Résistance que les rayures opposent an mouvement du projectile. — Pression sur les rayures.

Si l'on connaissait à chaque instant la pression des gaz de la poudre, on pourrait, comme on va le voir, déterminer la pression que les tenons exercent sur les rayures et la résistance que ces derniers opposent au mouvement du projectile.

On suppose :

1** Que l'action de la poudre sur le projectile s'exerce parallèlement à l'axe du canon;

2® Que le projectile tourne autour de son axe qui coïncide lui-même avec celui du canon ;

3® Que les parois forçantes des rayures sont engendrées par le mouvement d'un rayon de l'âme qui s'appuie sur une certaine courbe directrice tracée sur la surface cylindrique du canon.-

Soient

N le nombre des rayures ;

A le diamètre de l'âme ;

U la vitesse du projectile dans le mouvement de translation

après le temps t ; (0 la vitesse angulaire après le temps t\ X l'espace parcouru pendant le temps ^; 6 l'angle de la tangente à la directrice avec l'axe, au poids de

l'âme correspondant a l'espace x] p le rayon de gyration du projectile.

Celui-ci est soumis à l'action de diverses forces qui sont:

I® La pression des gaz de la poudre II;

2° La pression totale des rayures sur les tenons NP (P la pression que chaque tenon exerce sur sa rayure). Cette dernière force est normale à la rayure, par suite, perpendiculaire au rayon de la bouche à feu et à la tangente à la directrice ; elle fait avec l'axe l'angle 90° — ê et se décompose eu deux forces, l'une perpendiculaire à l'axe de la pièce NP cosê, l'autre parallèle à cet axe, NP sine;

24 SECONDE PARTIE. — PREMIÈRE SECTIOxX.

3** Le frottement sur chaque rayure résultant de la pression P est égal à /P, / désignant le coefficient de frottement; sa composante normale à Taxe est y*P sine, sa composante parallèle à Taxe/P cosê.

Les équations du mouvement sont donc, M désignant la masse du projectile,

(i) M^= n — NP(sing4-/cosg),

(2) Mp^'^ = j xNP(cosg-/sing).

On a, de plus, entre les déplacements dans les mouvements de translation et de rotation, la relation

— ti) cote z=U,

d'où

(3) di^^^f-^dV-^-^d^ ^ ' A\cot6 cos^ê

de plus

Remplaçant dans l'équation (3) c/w par sa valeur tirée de Téquation (2), rfU par sa valeur tirée de l'équation (i) et dt par sa valeur tirée de l'équation (4), il vient

kff ^ MU^ d^\ /5) ]>^Tp. A^ V singeosg^^y

-^(sinê H-/cos6) H- cotg(cos6 — /sine)

La résistance au mouvement de translation est RzizNP(sin6+/cosg),

c'est-à-dire

smb cosc

4p* cosê — /"sine ^ A* smb-hycosb

Dans le cas où la courbe directrice des rayures est une hélice, l'angle 6 est constant; il y a un rapport constant entre la vitesse de rotation et la vitesse de translation du projectile, et aussi, par conséquent, entre la pression exercée par la poudre sur le boulet et la pression des rayures sur les tenons.

On a alors, h étant le pas de l'hélice des rayures,

d'où

(^) NP= ■ 4.P'V^Â5^ÏMW?-

AA(/i —/Ail) H-47tp^(A7t-H/A)

4irp^(A7t-f-./7i)

Lorsque la courbe directrice des rayures est* une parabole du degré n ayant son sommet à la position initiale du culot du projectile, on a, pour l'équation de cette courbe développée, y désignant l'ordonnée de l'un quelconque de ses points,

dx p

dy nûo"'~^

p idx ip

cotb == ■ ■ = — ;

Kdy iiAx"--^^

et, par suite,

4p* nk.x"-^ '' ip A^ ipf nKx'^~^

îiKx"-^

Soient L la distaiice de la tranche du canon à l'origine des rayures, 6 la valeur que prend l'inclinaison 6 à la tranche de

la bouche, en sorte que ê = 6 quand ^ == L, on a 2/7 m nAL'*"* cot0,

,^^ . =(-) cote, -) cote-/ ^ ,

** ' ' ' ' - ^ cote

cote

Cette dernière formule peut s'écrire

cote-

Quand on prend /i= i, la rayure est hélicoïdale et l'on a

cote — -r-^.,

Air'

et Ton retombe sur la formule (8).

Quand la rayure n'est pas hélicoïdale, on s'accorde généralement à prendre /^ = 2 ; mais il est facile de voir qu'en augmentant la valeur de n on réduirait encore la résistance au début du mouvement, ce qui faciliterait les premiers déplacements du projectile.

En effet, le numérateur de l'expression de R renferme en

Y I • Dans Içs premiers instants du mouvement, Y étant une très petite fraction, le numérateur décroît évidemment lorsque n augmente et peut être rendu

aussi petit qu'on le veut. Quant au dénominateur, il se compose d'un terme constant et d'autres termes qui deviennent

négligeables lorsque — étant très petit, la valeur de n est

suffisamment grande.

De cet accroissement de n résulterait d'autre part une augmentation de la valeur de R dans les derniers instants du

mouvement. En effets =- étant alors très peu différent de l'unité, l'augmentation de n n'aurait qu'une faible influencé sur ^\ et de ( Y" 1 -Le dénominateur serait

donc à peu près invariable ; quant au numérateur, l'un de ses termes serait aussi sensiblement constant, tandis que le second serait proportionnel à n — i .

Lorqu'on fait n= i dans la formule (9), on obtient

I^ + f MU'

j +/cote

On trouve d'ailleurs facilement, pour la pression totale sur les rayures,

Kp{p — k.xf) H- 4p2^ (Aa- +y»

§ 7. — Relation entre la vitesse de translation et la vitesse de rotation.

Soient

a le diamètre du cylindre ;

V la vitesse initiale de translation^;

Û la vitesse angulaire initiale de rotation ;

l'inclinaison finale des rayures.

Un point placé à la surface du cylindre possède à la fois les deux vitesses V et — ? la première parallèle, la seconde perpendiculaire aux génératrices ; le rapport de la seconde à la première est égal à tangO. Donc

2Vtange

Ainsi, quand l'inclinaison des rayures demeure la même, et c'est ce qui arrive dans les bouches à feu semblables, la vitesse angulaire est en raison inverse du calibre et proportionnelle à la vitesse de translation.

Si les projectiles sont semblables et ont la même vitesse de translation, leurs points homologues ont alors des vitesses de rotation égales et, par conséquent, possèdent la même vitesse absolue.

§ 8. — Notations relatives aux boulets ogivaux.

Dans tout ce qui va suivre, on désignera par

p le poids du projectile ; a le diamètre de sa partie cylindrique ; y la longueur de l'ogive ; J le rayon de l'arc ogival; / la longueur totale entre la pointe et l'arrière ; g la distance du centre de gravité à la pointe; Y l'angle formé par l'axe avec la tangente à l'extrémité de l'arc ogival.

Lorsque l'ogive est tangente au cylindre, on a

sinY= 4i

mais cette tangence n'existe pas toujours.

Si, dans ce dernier cas, on conçoit un plan mené par le

centre de l'arc ogival perpendiculaîrement à Taxe du projectile et si l'on désigne par y< la distance de la pointe de l'ogive à ce plan, il est clair que l'angle y est donné par la formule

siny =11

__ yi

Désignant par i l'angle que forme la génératrice du cylindre avec la tangente à l'origine de l'arc ogival, on a aussi

Le plus souvent on donne simplement pour chaque projectile les longueurs a, y et J; on obtient alors les angles y et i de la manière suivante :

Dans \dijig, r, SA est la corde de l'arc ogival, C le centre

de cet arc, SB =^j la hauteur de l'ogive. On a.

11 est clair que et que

AB=- et CA-z=J.

tan g ASB :

cos

3o SECONDE PARTIE. — PREMIÈRE SECTION.

D'ailleurs, l'angle CSB, différence entre les précédents, est le complément de l'angle y.

L'angle y étant connu, on obtient l'angle i par les formules

y'i — JsinY, Lorsque les projectiles sont semblables, les divers rapports

conservent la même valeur ; il en est de même de l'angle y.

Les canons lisses étaient toujours désignés par le poids du boulet massif exprimé en livres ou demi-kilogrammes. Dans la nouvelle artillerie, le même canon pouvant recevoir des projectiles de poids très différents, l'usage s'est introduit de désigner les boulets à feu par le diamètre de l'âme exprimé en centimètres. C'est ce que l'on fera dans tout ce qui va suivre.

§ 9. — Forme générale de la trajectoire.

Le centre de gravité d'un projectile lancé par un canon rayé ne reste pas dans le plan de tir; il s'éloigne à droite ou à gauche de ce dernier, suivant que la partie supérieure du mobile tourne de droite à gauche ou de gauche à droite. On donne le nom de dérivation à la distance qui sépare le point de chute du plan de tir.

Ce fait résulte du concours de trois causes, savoir : la pesanteur, la résistance de l'air et la rotation du projectile autour de son axe.

Soit, pour abréger, R la force qui représente la résistance de l'air.

On peut toujours supposer qu'en sortant de la bouche à feu, l'axe du projectile et la tangente à la trajectoire que dé-

crit le centre de gravité coïncident ; c'est du moins le résultat que Ton cherche à obtenir. Mais cette coïncidence ne se maintient pas, la pesanteur modifiant sans cesse l'inclinaison de la tangente. Bientôt cette dernière fait un angle sensible avec l'axe. Si alors la force R passait toujours au centre de gravité, elle resterait dans le plan de tir, la symétrie existant à droite et à gauche de ce plan; la trajectoire serait plane et iln y aurait pas de dérivation. Pour que les faits observés se produisent, il faut donc que la force R ne passe pas par le centre de gravité; elle reste cependant dans le plan passant par l'axe et la tangente, car il y a symétrie relativement à ce plan.

Soit L une droite passant au centre de gravité et parallèle à la force R.

Le projectile étant doué d'un mouvement de rotation autour de son axe, la force R fait tourner cet axe autour de la droite L. C'est ce qui résulte, en effet, de la théorie développée dans les § 2 et 3. Les deux rotations, l'une du mobile autour de son axe, l'autre de cet axe autour de la droite L, sont de même sens ou de sens différents, suivant que la force R agit en avant ou en arrière du centre de gravité.

Dans le système d'artillerie adopté par la marine, la partie supérieure du projectile tourne de droite à gauche. L'observation montre que la pointe de l'ogive s'éloigne du plan de tir en se portant vers la gauche : les deux rotations ont donc le même sens ; ainsi la force R rencontre l'axe en avant du centre de gravité.

De plus, le projectile s'éloignant sans cesse à gauche du plan de tir, et ce fait ne pouvant être dû qu'à l'action de la force R, Taxe du projectile doit faire avec cette dernière un angle plus grand qu'avec la tangente.

L'axe continuant à tourner autour de la droite L, il doit arriver un moment où la pointe de l'ogive se dirige vers le plan de tir; mais la direction de la droite L varie continuellement pendant la durée du mouvement, et jusqu'à présent cet

effet ne s'est manifesté que sous des inclinaisons qui dépassent toutes celles auxquelles on peut avoir recours dans la pratique.

Le mouvement de précession est toujours accompagné d'un mouvement oscillatoire par suite duquel l'axe du mobile tantôt s'éloigne et tantôt se rapproche de la ligne autour de laquelle il tourne, et la courbe que décrit la pointe se compose d'une suite de festons qui, d'ailleurs, ne présentent pas la même égalité que dans le cas particulier examiné dans le§2.

Par suite de la grandeur de la vitesse de rotation du boulet, ces oscillations sont d'ailleurs extrêmement rapides; et comme la résistance de l'air tend constamment à diminuer leur amplitude, elles peuvent tendre à diminuer l'angle formé par l'axe du mobile et la tangente à la trajectoire (§3).

Il est à remarquer que, si la force R qui représente la résistance de l'air passait constamment au centre de gravité, auquel cas il n'y aurait pas de dérivation, l'axe du projectile resterait toujours parallèle à sa direction primitive ; tandis que, par suite de l'action de la pesanteur, la direction de la tangente à la trajectoire s'abaisserait de plus en plus. Ces deux lignes, qui coïncident à l'origine,, feraient un angle déplus en plus grand, et la résistance que le projectile éprouverait de la part de l'air pourrait devenir supérieure à celle que subirait un boulet sphérique de même poids. Les canons rayés perdraient alors tous leurs avantages.

La dérivation est toujours fort petite relativement à la portée 5 par suite, bien que la trajectoire soit à double courbure, il est permis de la traiter d'abord comme une courbe plane, sauf à tenir compte ensuite de la dérivation.