CHAPITRE XV
PROBABILITÉ DU TIR
§ 1. *- Considérations générales.
Il serait important d'avoir une solution, sinon exacte, du moins approximative, de la question suivante :
Dans un tir bien dirigé, quelles sont les chances d'at- . teindre un but dont les dimensions et la position sont données?
Ces chances sont ce qu'on appelle la probabilité du tir.
L'hypothèse d'une complète indépendance entre les déviations verticales et les déviations longitudinales des projectiles est évidemment celle qui assigne la moindre valeur à cette probabilité, et peut être ne verra-t-on aucun inconvénient à l'admettre; en effet, dans la pratique où l'on ne s'assujettit pas à toutes les précautions observées dans les expériences, le nombre des chances favorables est toujours amoindri.
On sait que, dans le tir des canons rayés, les causes qui déterminent les deux genres de déviations sont fort différentes, du moins aux grandes distances. L'hypothèse doit alors se rapprocher beaucoup de la vérité.
Elle a, dans les circonstances actuelles, l'avantage de simplifier les calculs.
§ 2. — Loi de probabilité admise par Laplace. Formules.
L'équation de la courbe de probabilité des écarts, admise par Laplace, est
PROBABILITÉ DU TIR. /jOI
et Ton a vu dans la Note II placée à la fin du Toihe I que la probabililé II d'obtenir, dans une épreuve, un écart inférieur ou au plus égal à \ est donnée par Pexpression
D'ailleurs le carré moyen des écarts F et l'écart moyen y sont liés à c\ par les formules
ry/2 YV^'^
En remplaçant a par l'une ou l'autre de ces deux valeurs, on est conduit aux formules suivantes :
rTï
(A) ^=-F ^''"dt,
sJtz Jq
Les Tables placées dans la Note citée donnent, dans chaque cas particulier, la valeur des intégrales.
La seconde formule est généralement employée, de préférence à la première, par la raison qu'il est plus simple de . calculer l'écart moyen que le carré moyen des écarts.
§ 3. — Substitution d'une ligne droite à la courbe de probabilité.
Il est intéressant d'examiner si, au moins dans certains cas, la courbe réellement inconnue qui représente la répartition des écarts ne pourrait pas être remj^acée par une simple ligne droite BC {fig.^i)^ hypoténuse d'un triangle rectangle BOC dont la base OB serait égale à l'écart extrême.
L'aire A de ce triangle représente alors le nombre total des 11. 26
écarts, et l'abscisse OG du centre de gravité g est l'écart
OB moyen y. Comme OG = —^ > il faut que l'écart extrême
soit triple de l'écart moyen.
C'est, en effet, ce qui arrive généralement dans les expériences d'Artillerie, du moins quand elles sont suffisamment prolongées.
Prenant l'abscisse OP = \ et menant l'ordonnée PM, on forme un trapèze OPMC dont l'aire représente le nombre des écarts qui ne surpassent pas \. On obtient donc la probabilité n d'avoir, à une épreuve, un écart numériquement inférieur ou au plus égal à \ en divisant l'aire du trapèze par celle du triangle. De là, on conclut facilement, en se rappelant que OB = Sy,
Quand ). = 3y, la probabilité devient i et se change en certitude. Il faut d'ailleurs se garder d'attribuer à X des valeurs supérieures à 3 y.
Il est naturel de comparer cette formule à la formule (A.) du §2.
PROBABILITE DU TIH.
VÀLEOR
de
▼ALBOB DOIfRiX PAR LA FORMULE
o,i58 o,3io 0,574 0,767 0,889 0,962 . 0.983 ,
La plus forte différence ne s'élève qu'à 3^, et souvent on ne prétend pas à une plus forte approximation.
Quand le rapport - est très petit, de manière que son
2X carré puisse être négligé, la première formule donne II = —
et la seconde II = ,7- •
Le triangle offre une image facile à saisir; les calculs auxquels il conduit sont simples et ne demandent le secours d'aucune Table; ce n'est d'ailleurs qu'à ce point de vue qu'il présente quelque avantage; pour les recherches plus compliquées, il serait inadmissible.
§ 4. — Probabilité d'atteindre im reotangle horizontal. Supposons que Ton prenne l'équation
pour celle de la courbe de probabilité des écarts.
Alors la probabilité II' d'obtenir à une épreuve une dévia-
4o4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE XV. ,
tion latérale inférieure ou au plus égale à ). se déduit immédiatement dç la formule (A) du § 2. Il suffît d'y mettre, au lieu de Y, la déviation latérale moyenne q. Ainsi
(i) n'z=^ / e-^'dt.
De même, si 11^' désigne la probabilité d'obtenir, à une épreuve, une déviation longitudinale inférieure ou tout au plus égale à A,
(2) n'^^^ / e-''dc,
Q représentant la déviation longitudinale moyennes
Les formules qui font connaître les valeurs de ^ et de Q
pour les boulets ogivaux, se trouvent dans les Chapitres V et
VI de la IIP Section, et dans les Chapitres X et XI de la
III^ Section.
Lc^rsqu'on remplace la courbe de probabilité par une ligne
droite, on a
Mais il ne faut se servir de ces équations qu'autant que
les rapports ^> -^-^ ne surpassent pas l'unité. Si X > S^r, il
faut prendre 11'= i; de même, 11'^= i si A>3Q. Dans les deux cas la probabilité se change en certitude.
On vérifiera ces diverses formules en cherchant dans une suite de tirs la proportion du nombre des coups dont les déviations ne surpassent pas une certaine fraction ou un multiple de la déviation moyenne.
Par exemple, de l'examen d'environ 5oo coups, tirés avec des canons rayés de lô*^"*, avec des projectiles à tenons, sous
PROBABILITÉ DO TIR. 4
de grandes inclinaisons, il est résulté le Tableau suivant :
