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4o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE XV.
le premier facteur devant être réduit à l'unité, lorsqu'on a
5— > I , et le second quand îl^3q.
Si les boulets sont sphériques, la formule donnée dans la P® Partie, Chapitre VII, § 2, fait connaître leurs déviations latérales.
En faisant, dans les formules précédentes, H=:)., on obtient la probabilité 1X2 d'atteindre le carré vertical dont le côté est 2).; ainsi
ou
Supposons, par exemple, que le carrelait o™, 5o de côté et soit placé à 600™ d'un canon de 3o, tirant à boulets massifs, et à la charge de 5^^ ; les Tables placées dans le Chapitre IX de la première Partie donnent, dans ce cas, q=^i,
La valeur de \ est o™, 25 ; mais il est clair que, si l'on veut tenir compte de tous les boulets qui peuvent atteindre le carré, il faut augmenter cette valeur d'une quantité égale à leur rayon, c'est-à-dire à o",o8. D'après cela, on doit prendre >. = o%33.
Cela posé, la première formule donne lia = o,o43 et la seconde II2 = o,o44î en sorte que le nombre des boulets qui atteindraient probablement le carré ne serait guère que de 4 pour 100.
On obtenait mieux que cela dans les tirs ordinaires des polygones, en tirant contre des cibles circulaires de o"*, 5o de diamètre, qui offraient cependant moins de chances d'être atteintes ; mais il ne faut pas oublier que les hypothèses qui servent de base à l'établissement des formules sont celles qui réduisent la probabilité à sa moindre valeur.
PROBABILITÉ DU TIR
§ 6. — Probabilité d'atteindre un cercle vertical.
Il est facile d'obtenir la probabilité d'atteindre un cercle vertical.
Le centre O de ce cercle {fig^ 43) étant supposé sur la trajectoire, et menant en ce point deux axes de coordonnées, l'un O^ horizontal, l'autre O^ vertical, soit M un point à coordonnées positives représentées par x et z-^ trois autres
Fig. 43.
iMi:.
3ff"
points M', M^', M^'' ont des coordonnées numériquement égales aux siennes.
La probabilité d'obtenir une déviation latérale égale à x est
-^e-"^ "^ dx
(Note II, placée à la fin du Tome I, § 4); celle d'avoir une déviation verticale égale à z est -^e'^^^^dz; dans ces deux
expressions, a conserve la même valeur, savoir — —y puisque
les déviations sont les mêmes dans les deux sens.
La probabilité du concours de ces deux déviations est donc
^e-^^'^^'-^^'^dœdy.
C'est, en d'autres termes, la probabiiité d'atteindre un des
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quatre rectangles élémentaires dxdz situés au sommet de celui qui est formé par les quatre points M, M', M", M"^
Désignant par r la distance OM et appelant a l'angle que fait OM avec l'axe des x^ il est clair que r^^^ ^2^ ^2 ^^ qy'^ l'élément superficiel dxdz on peut substituer rdoidr. Par suite, l'expression précédente devient
!^e-^''''rdoLdr.
L'intégration par rapport à a et entre les limites zéro et -
donne évidemment la probabilité d'atteindre la bande circulaire comprise entre les deux circonférences dont les rayons sont r et /' 4- dr. Cette probabilité est donc égale à
2a^e-''''''rdr. ^
La quantité e~^^^*r, nulle lorsque r =: o ou r = 00 , atteint
sa plus grande valeur quand r = — ~ ou r:=qi/ -y en
as/ 2 V 2
remplaçant a par Ainsi, la circonférence qui aurait un
rayon à peu près égal aux | de la déviation longitudinale moyenne serait celle qui offrirait le plus de chances d'être atteinte. C'est dans son voisinage que les boulets devraient être groupés en plus grand nombre; il n'y en aurait que très peu près du centre.
Cela posé, en intégrant l'expression précédente à partir de r = o, on doit avoir la probabilité U^ d'atteindre le cercle de rayon r: donc
ou
ce qui équivaut à
n,=zi — 10 "f .
I3— I — 10 Soit encore un canon de 3o tirant à boulets massifs^ et à
PROBABILITÉ DU TIR* ^U
la charge de 5*^^, contre une cible circulaire de o"*,5o de diamètre placée à la distance de 600"*. Dans ce cas, q = î^ et, pour tenir compte de tous les boulets qui peuvent atteindre le but, il faut ajouter leur rayon à celui de la cible et prendre, en conséquence, r = o,25 -h 0,08 = o,33. La formule donne 113=: 0,084. Le nombre des chances favorables serait donc compris entre 3 et 4 pour 100, et, comme on l'a déjà dit, l'expérience donne davantage.
L'atténuation de la probabilité est d'autant plus sensible
que le rapport - est plus petit.
On arrive à des résultats bien différents lorsque, supposant que les causes déviatrices agissent indifféremment et avec la même intensité dans tous les sens autour de la trajectoire
moyenne, on prend l'équation ordinaire jk^ = — e"**'-^' pour
celle de la courbe qui représente la probabilité des écarts.
Dans cette hypothèse, la probabilité d'obtenir un écart inférieur ou au plus égal à r est donnée par l'expression
Y désignant l'écart moyen.
C'est évidemment la probabilité d'atteindre un cercle d'un rayon égal à r, ayant son centre sur la trajectoire moyenne et dont le plan est normal à cette courbe. Lorsque le tir est surbaissé, il est bien clair que ce plan peut être considéré comme vertical.
Admettant qu'il en soit ainsi, la direction suivant laquelle se manifeste un écart numériquement égal à e peut faire avec le plan horizontal un angle quelconque. Soit a cet angle. La projection horizontale de cet écart est ecosa.
Comme il ne s'agit ici que de valeurs numériques, il est permis de regarder l'angle a comme aigu et positif.
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Mais, dans les hypothèses admises, il peut indifféremment prendre toutes les valeurs comprises entre zéro et -•
Divisant l'angle droit en n parties égales entre elles, infiniment petites et représentées par rfa, en sorte que ndaL=z-i
la somme des projections horizontales des /i écarts numériquement égaux à £, et dont les directions se confondent avec les divisions de l'angle droit, est
cosdci -h cos2dcx. -+- cosSdct -f-. . .-f- cos- Je.
Leur moyenne arithmétique est
(cos^a-+- cos2^a-i- cos3^a-i-. . .-h cos- ) - 2/ n
ou, en remplaçant n par ~ >
— Icosdoi -f- cos2d(x.-\- cosSdoL -h. . .+ cos - I dciy
ce qui revient à dire que la moyenne arithmétique des projections horizontales des écarts numériquement égaux à e est
cosaaa ou — •
De là il résulte que, si l'on regarde les déviations latérales comme les projections horizontales des écarts.
