DES

rORTÉES.

donae la

portée

X; ainsi

sîn2«

yi

-are

3V*cos*3t

Lorsque l'angle a se rapproche de zéro, les quantités H et cosa convergent vers Tunîtéj ainsi la limite vers laquelle converge la valeur de K est

Quand on pose r= 6V-, on a, en désignant parK© cette limite,

expression dans laquelle il faut attribuer à & la valeur qui correspond à la vitesse V.

La valeur de K, devenant infinie pour a = 90°, doit finir par devenir croissante en même temps que l'angle a.

L'angle auquel correspond la plus grande portée dépend naturellement de la relation qui existe entre K et a. En différentiant par rapport à a la formule des portées mise sous la forme

V2sin2az=:^X-H^KV^X«, on obtient

Comme la valeur de K est positive, les deux quantités

2COS2a — ^X* -7— et — r-

sont de même signe et s'annulent en même temps, en sorte

dK dX d% dd

que, pour a = 45°, les dérives -j- et -7- sont de signes con-

traires. Il en résulte que, (Jans le voisinage de 45**, -7- est positif ou négatif suivant que l'angle de plus grande portée est inférieur ou supérieur à 45".

Soient oLi Tangle de plus grande portée, X| cette der-

/dK\ , , , ' dK r ., , , dX

niere, I -7- I la valeur correspondante de -j-« La dérivée -^

doit être nulle quand a := ai ; donc

2 cossaiZ^j^-X? 1 -^- I

i = ^Xî(

doL Ji

/JVC

Oi/ voit que cos2ai est positif ou négatif suivant que -7- est

lui-même positif ou négatif. En d'autres termes, l'angle de plus grande portée est inférieur ou supérieur à 45** suivant que, pour cet angle ai, la dérivée de K par rapport à a est positive ou négative.

La dérivée -j- a le même signe pour l'angle de plus grande

portée et pour a = 45**; de sorte que si la fonction K n'a qu'un minimum, il ne peut exister entre 45** et l'angle de plus grande portée.

§ 4. — Observations snr les erreurs dont peuvent être affectées les valeurs de K données par l'expérience.

C'est en substituant, dans l'équation sin2a I

un système de valeurs correspondantes de a, V et X qu'on obtient chaque valeur de K. •

La quantité X est généralement susceptible d'être mesurée avec précision ; mais il règne toujours quelque incertitude sur les valeurs de a et de V. Il est donc utile de rechercher l'influence que les erreurs commises sur ces quantités exercent sur la détermination de K.

En différer! liant successivement, par rapport à V et par rapporta a, l'équation précédente, on a

, ^r 2 CCS 2 a ,

io*®û?vK est l'altération que subit lo'^K lorsque la valeur attribuée à la vitesse initiale est entachée d'une erreur représentée par la différentielle </V. Cette altération égale par conséquent

elle est indépendante de l'angle a lorsque la portée reste la même.

Une erreur de i"* sur la valeur de la vitesse est parfaitement admissible et certainement au-dessous de celles que l'on commet d'ordinaire. Dans ce cas rfV = i et l'erreur commise sur la valeur de lo^^K serait

10**^ -T- est la quantité dont la valeur de i o* *^ R est altérée

lorsque l'erreur commise sur l'angle a est rfa. Cette quantité est donc égale à

2 X io***cos2a

Elle se trouye indépendante de la vitesse initiale lorsque la portée X reste la même. Observant que ^ = 9,81 et que doL peut être remplacé par tangrfa, on obtient, pour l'altération produite sur Ja valeur de io*®K par une erreur de 1' sur l'angle a,

SgSooo ces 2 a X^

198 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.

On voit que les erreurs à craindre dans la détermination du coefficient K sont d'autant plus grandes que la vitesse initiale et Tangle de départ sont plus faibles. Les valeurs que Ton obtient alors ne peuvent donc être admises qu'avec réserve, à moins qu'elles ne soient déduites d'un' très grand nombre de coups.

§ 5. — Régularisation des valeurs de K données par l'expérience.

Dans les expériences rapportées dans la Section II, le coefficient K s'est montré, comme l'accélération correspondant à

la résistance de l'air, proportionnel au produit siny, les

lettres A, a^ p et y ayant la même signification que précédemment.

Admettant donc cette proportionnalité, il restera à vérifier si les résultats fournis par les expériences que l'on va examiner confirment cette hypothèse» C'est ainsi qu'on est conduit à rechercher la manière dont le produit

Aa^ siny

varie avec la vitesse de l'angle de départ.

On verra par ce qui va suivre qu'il est toujours j>ossible de régulariser les résultats des expériences en employant la formule

(A) . ^ —X H-I&cosa -h

Aa^siny ces a

les trois coefficients X, lil, G ne dépendant que de la vitesse initiale. Le coefficient G est nécessairement positif; c'est en effet la limite vers laquelle converge le produit

io»«K/>

cosa,

Aa^ siny lorsque a se rapproche indéfiniment de 90**.

De l'équation (A) on tire

d lo'^Kp ( ^ O \ .

Si la quantité i)l> est négative, la valeur de K est constamment croissante; elle Test encore si la quantité iPo, supposée positive, est numériquement inférieure à G.

Mais, si la quantité iPo, tout en étant positive, est supérieure

à G, le coefficient K décroît tant que cos^a est plus grand

que -rp> atteint son maximum quand cos-a= -r- et devient

ensuite croissant.

Il est clair que, dans le voisinage du minimum, les variations du coefficient K sont très lentes, et qu'en ae dépassant pas certaines limites on peut le regarder comme constant.

Soit aj£ l'angle auquel correspond le minimum de K,

D'après le § 3, l'angle de plus grande portée est compris entre 45" et a^. Si donc a^ est égal à 45°, ce qui a lieu quand i)l>=2G, l'angle de plus grande portée est lui-même égal à 45^

Lorsqu'une suite d'expériences a donné les valeurs K^, Kg, ..., K;j du coefficient K correspondant aux angles a^, a2, ..., a„, on a les 71 équations

1 0*0 Kl/? ^ ^ G

Aa^sin^ cosaj

lo^^Ksp ' ^ G

Aa^siny cosaj

io»*K;zZ? , G

, ^ ' =: X 4- ifl) C0Sa«4

Aa^sm^ cosa/i

La méthode des moindres carrés (Tome I, Note II) se

présente naturellement ici. On fait alors la somme de ces équations, telles qu'elles sont écrites; on procède à une seconde somme après avoir muki plié la première équation par cosdti, la deuxième par cosa2, ... ; enfin on multiplie encore

la première équation par » la deuxième par

ces ai • * cosaj

et Ton fait de nouveaala somme. On obtient ainsi, pour déterminer el>, 1)1), G, trois équations qui, suivant la notation en usage, peuvent être écrites ainsi :

cosarz:al,2 cosa-H iftjScos'a -+- nC,

> — , . ^ = nX 4- -illjS cosa -H G >

^Aa'^siHY ^-cosa

> \^^ . ^ —^ —xy — — h niib -H a \ —V •

^Aa^siHY CCS a ^ cosa ^ cos^a

Soient £<, e^, ..., £,i les erreurs dont sont entachées les n équations ci-dessus-, le calcul précédent revient à admettre que

£l -t- £2 -H- • •-+- -« =;0 ou 2£=:0,

£1 cosa H- îjcosaj -t-. . . -l-£,jC0sa;iz= o ou 2£COSa==o,

ou

CCS ai cosaj cosa« ^ ces a

c'est-à-dire que la somme des produits des erreurs par les coefficients de X, ilb, G est égale à zéro.

Il est assez remarquable que si, au lieu de multiplier les erreurs par les coefficients des inconnues, on les divisait par ces coefficients, on retomberait exactement sur les mêmes équations.

Le plus souvent les valeurs de K sont données chacune par une seule séance de tir ; d'autres fois elles sont des moyennes fournies par le résultat de plusieurs séances de tir où le canon avait la même Inclinaison. Le nombre de coups étant à peu près le même dans chaque séance, on a égard à cette circon-

stance en multipliant chaque équation par le nombre de séances dont elle est le résultat.

Quant au nombre de coups dont se composait chaque séance, il était généralement, à Gâvre, de 1 5 lorsque le calibre ne dépassait pas 24*^™, pour les calibres supérieurs, on Ta réduit à 10 ou 12.

Il est à observer cependant (§4) que les valeurs de K obtenues sous les faibles inclinaisons laissent toujours quelques doutes, par suite de la difficulté qu'offre la détermination des angles. Il convient donc de ne s'en servir qu'avec réserve.

On verra dans le paragraphe suivant que les coefficients ift) et G sont toujours de signes contraires et que leurs valeurs numériques sont à peu près les mêmes ; toutefois celle de lib est très légèrement supérieure. Cette circonstance a porté à faire essai de la formule plus simple

(B) , . • =— M(.i — COSa)H

Aa^ siny cosa

ou

, ^ . = N sec a — M sin verse a ( M.

^a^ sm Y ^ '

La valeur de a^ est alors donnée par l'équation

Quant aux coefficients M et N, on a, pour les obtenir, les n équations

^ =— M(i — cosaj) 4-

Aa^ sin Y cosaj

^ = — M(i — cosaj) +

Aa- sin Y cosa2

— " =— M(i — cosa;j) +•

^a^ sin Y cosa,^

(') On sait que

sin verse a :

En se conformant à la méthode des moindres carrés, il faut d'abord faire la somme de ces n équations, après avoir multiplié chacune d'elles par le coefficient de N, ce qui donne

Aa^ siny CCS a \^ ces a J ^ cos-

Cela revient à supposer

ces a

Il faudrait ensuite multiplier chacune des équations par le coefficient de M et faire de nouveau la somme, ce qui reviendrait à supposer

2£(i — cosa) = o,

c'est-à-dire

Se — Ss cosa =: o.

Mais il est assez naturel de considérer la somme des erreurs comme sensiblement nulle, et l'on est conduit à la relation beaucoup plus simple

Vio^Q ^^ :=M(Ai-SC0Sa)-|-NV-^, ^ Aa- siiiy ^cosa

qui revient à

Les valeurs de K employées dans les calculs qui vont suivre ont généralement subi une correction par suite de laquelle elles sont ramenées au cas où l'atmosphère est calme (Chap. II, § 2).

Les applications des formules précédentes aux diverses bouches à feu qui ont été successivement expérimentées à Gâvre sont exposées dans les paragraphes suivants. On a dressé, pour chaque série d'expériences exécutées sous diverses inclinaisons avec les mêmes charges et les mêmes projectiles, un Tableau comparatif qui met en évidence les

FaRXULK DES PORTÉES. 2o3

altérations, d'ailleurs généralement assez légères, que les formules employées font subir aux résultats fournis par les épreuves.

§ 6. — Résultats des expérienees. Gan&n de 34""" (Gâvre, 1880).

Diamètre de l'âme entre les cloisons, 34o*"™ ; profondeur des rayures, i"''",5; inclinaison finale des rayures, B = 4°? diamètre du cercle équivalent à la section de l'âme et des rayures, o'",3424.

Obus ogivaux {fig- 20).

flr = 337»°n^, / =2 911»^% 6, y = 397°''", 6, J— 553«»'",3,