CHAPITRE IV
§ i*^. — Considérations générales.
Dans les expériences exécutées antérieurement à 1870 sur les canons rayés et dont il a été fendu compte dans la deuxième Section, la valeur du coefficient K de la formule des portées
sinaa i
s'est montrée, comme on a pu le voir, sensiblement indépendante de l'angle de départ a. Elle a paru ne dépendre que de la nature du projectile et de sa vitesse initiale V.
Il n'en a pas été de même dans les expériences ultérieures, dont on va exposer les résultats*. Il en résulte que, si l'on veut conserver pour les portées la même formule, il faut nécessairement y considérer K comme une fonction de l'angle a.
Quelquefois la valeur de K se montre croissante avec a ; d'autre fois elle décroît à mesure que a augmente ; mais alors même, après avoir atteint un certain minimum, elle doit se montrer croissante. C'est ce qui sera prouvé dans les paragraphes suivants.
§ 2. — Comparaison de la trajectoire réelle et de la parabole d'égale portée.
Il est assez naturel d'établir une comparaison entre la trajectoire que parcourt le projectile dans l'air et celle que décrirait un projectile qui, lancé dans le vide sous la même
inclinaison a, aurait la même portée X. Pour abréger, on appellera cette dernière parabole d'égale portée. On va voir qu'elle est constamment au-dessous de la première. Soient
y l'ordonnée de la trajectoire réelle,
y^ celle de la parabole d'égale portée,
V| la vitesse initiale du projectile qui la décrit.
Il est clair que la valeur de V| est inférieure à celle de V, la portée étant moindre dans l'air que dans le vide. On a d'ailleurs
•^ ^ 2Vîcos*a
La fonction
a pour dérivées successives
Or, quand on suppose 1% résistance de l'air dirigée suivant la tangente à la courbe, on a
\dt) (i"» Partie, Chap. VI, § 3). D'ailleurs
^^'~ Vîcos*a^ par suite,
da:\^ VJcos*a dt)
--7- y projection horizontale de la vitesse réelle, décroît con-
stamment quand x augmente ( * ) ; par suite, il en est de même
dx
dx de ^''. Or, pour ^ = 0, on a -7- =V cos a, et, par conséquent
quantité positive puisque Y^ est inférieur à V.
Ainsi la fonction z" y d'abord positive, décroît constamment; elle finit par s'annuler pour devenir ensuite négative.
Il en résulte que^ croît d'abord, puis décroît constamment. Or z'=- o pour x = Oj puisque les deux courbes sont tangentes à l'origine y ainsi cette quantité est d'abord positive, puis décroît pour s'annuler et reste ensuite toujours négative.
La fonctipn Zj nulle à l'origine, est d'abord croissante, puis décroissante. Elle reste donc positive jusqu'à ce qu'elle s'annule, après quoi elle est toujours négative. Ainsi elle ne s'annule qu'au point de chute : par conséquent, entre le point de départ et le point de chute, on a y^y\] en d'autres termes, entre ces deux points, la parabole d'égale portée est au-dessous de la trajectoire.
Le raisonnement précédent suppose, il est vrai, la résistance de l'air dirigée suivant la tangente à la trajectoire^ et il faut pour cela que cette dernière coïncide avec l'axe, du mobile. Il est clair que cette condition est remplie jusqu'à une certaine distance du point de départ; et, d'après les considérations précédentes, la valeur de z' est alors positive. Plus tard l'axe du mobile fait un angle avec la tangente. Cette circonstance augmente la grandeur de la résistance; elle n'a donc d'autre effet que d'augmenter la valeur numérique de la fonction y" et, par suite, de rapprocher le moment où la fonction z devient nulle.
(*) Le contraire ne pourrait avoir lieu que si la composante horizontale de la résistance de Tair était dirigée dans le môme sens que la composante horizontale de la vitesse.
De ce théorème on peut conclure immédiatement que l'angle de chute de la trajectoire réelle surpasse l'angle de départ.
Il est clair que l'on a
I sin2a
Lorsque l'on remplace ttt^ par cette valeur, l'équation de la parabole d'égale portée devient
7i = ^( I — V panga.
§ 3. — Limites entre lesquelles varie le coefficient K. Angle de plus grande portée.
Soit Y2 l'ordonnée maximum de la parabole d'égale portée. On sait, par le théorème précédent, qu'elle est inférieure à l'ordonnée maximum Y^ de la trajectoire réelle. D'ailleurs
Xtan gg et, par suite
Remplaçant X par cette valeur dans l'équation des portées et résolvant ensuite par rapport à K, on obtient
ou
,, tanga/sin^a i\
,, sina /sin^a 2^\
Lorsque l'angle a se rapproche indéfiniment de 90**, sina devient égal à l'unité ; on a donc
FORMULE DES PORTÉES. IqS
Le second facteur du second membre est nécessairement positif et différent de zéro. En effet, il ne peut être nul, car
on aurait alors Yo = Or Yo, qui est inférieur à la hauteur
à laquelle le projectile s'élève verticalement dans l'air (§2), ne pourrait être égal à — - que si le projectile s'élevait verticalement à la même hauteur dans l'air que dans le vide. On voit tout aussi facilement que la quantité y T^ "^ saurait
être négative.
Ainsi, quand a converge vers 90^, le produit Kcosa reste fini. On aurait d'ailleurs une limite inférieure de sa valeur en remplaçant Y2 par la hauteur à laquelle le projectile s'élève verticalement dans l'air.
De là il résulte que le coefficient K est infini pour a = 90°.
Lorsque l'angle de départ a devient très petit, la valeur de K converge vers une limite que l'on peut déterminer par les considérations suivantes. Le trajet étant très court, la vitesse n'éprouve que de faibles variations; et par conséquent il en est de même de la résistance de l'air. 11 est donc permis de considérer cette dernière comme constante en lui attribuant une valeur moyenne entre toutes celles qu'elle peut affecter. Soit r l'accélération correspondant à cette moyenne. L'équation du mouvement projeté sur l'horizontale devient, en désignant par u la projection horizontale de la vitesse,
du dx
dt ds
dx Le rapport -r- est constamment très voisin de l'unité. En
le remplaçant par sa valeur moyenne désignée par 6, on ne commettra qu'une erreur très faible, qui d'ailleurs disparaîtra à la limite. On a alors
du
(îcc d'où, puisque dt = — y
udu^=z — r^dx, et en intégrant et remarquant que, pour j: = o, u = V cos a,
*cos*a — 2r6d7.
D'autre part, on sait que
dx\dt) ' ^
dx
(V^ Partie, Chap. VI, § 3). Mettant à la place de ^ sa valeur,
on obtient
, , ffdx
dv' =r ■ .
•^ Y'cos*a — 2r^x
Intégrant et remarquant que, pour ^ = o, jk'= tanga,
£" ,V^cos^a — ir^x
r'=z tanga-h -^ / ^75 1
^ 2/6 V^cos^a
la lettre / désignant un logarithme népérien.
On trouve, en développant le logarithme et s'arrêtant aux deux premiers termes,
, g fx r^x^ \
y tanga - ^^^ ^^ + V*cos*ay
et, par une nouvelle intégration,
f'x^ ( I ir^x \
v = j: tanga , ( TTô H- -^TTr 5- •
^ ° 2C0S*a\V* SV^cos^a/
En faisant^ = o, celle des valeurs de x qui n'est pas nulle
