FORMULE
Lorsque /i=:i, la probabilité devient la certitude, et les formules (2') et (3') donnent des résultats beaucoup trop faibles. Pour chacune des autres valeurs de n, la probabilité réelle, celle qui est donnée par l'équation (a), est comprise entre les nombres fournis par les deux autres formules, conformément à ce qui a été dit dans le § 13,
§ 16. — Déterminatioii d'une fonction linéaire de plusieurs variables. — Méthode des moindres carrés.
Souvent une quantité t se trouve être une fonction linéaire de plusieurs variables m, ^, (v, . . . , en sorte que
^=:A-|-BM-hGç'4- Yiw 4- . . . ,
et les coefficients A, B, G, D, ... ne peuvent être déterminés qu'en ayant recours à Texpérience.
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On exécute alors une série d'épreuves dans lesquelles on cherche ce que devient la fonction t lorsque les variables a, r, fv, . . . prennent successivement les valeurs Mj, t^i, Wi, . . ., Mj, f'j, tVj, . . . , M3, f^a, MP's, ... ; mais les résultats t^yt^yt^y ... qu'on obtient sont affectés d'erreurs ^j, ^j, ^3, .... Les véritables valeurs sont ^1 + «^i» ^j + -^ï» ^3 ""l" ^3> . • . > et en les substituant dans l'expression de la fonction ^ on a
^^ =: — ^1 -H A H- B Z/i H- C ('i 4- Dmp'i + . . . , ^, =: — ^2 -h A 4- B Z/2 -H C i^, + DWj H- . . . ,
Soient m le nombre des variables, w, t^, (v, . . .; n celui des épreuves.
C'est au moyen des équations précédentes qu'il fa ut déterminer les m 4-1 coefficients A, B, G, D, .... On supposera n > m 4-1.
Chaque équation renferme un écart dont on ignore la grandeur et le sens.
Pour se débarrasser de ces écarts, il faut nécessairement recourir à quelque hypothèse.
Soit S la somme des carrés des écarts :
o — oc ^ 4~ oc ^ 4~ «2^3 4~ ...»
par conséquent,
Sz=(— ^i4-A4-Bmi4-C('i4-D«'i4- . . . )'
4- ( ~ ^î 4- A 4- B «2 -h C i;, 4- DfV, 4- . . . )* 4-(--^3 4- A + Bas4-Cr3 4-Dçv8+ • • • )*
Cette somme est réduite à sa moindre valeur, quand on détermine A, B, C, D, ... de manière à satisfaire aux équations
dS dS d^ dS
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On a alors
0=: — ti— tz — ^3— . . . -i- /i A H- B ( Wj -+- Ml 4- W3 4- . . . ) O =r — Uiti— Uzt^— Uztz — . . . -r A ( Ml -f- Mj -H W^ -4- . . . )
4- B (Ml Tj 4- M2 ^1 -H "3 1^3 +••.) -+- C (t^î-h (^î 4- ('^-h. ..)
On a ainsi un nombre d^équations égal à celui des inconnues et d'où les écarts ont disparu.
C'est en cela que consiste la méthode des moindres carrés.
Pour la justifier, Gauss admet la loi de probabilité — ^e"**'^'»
et fait observer qu'alors la probabilité au concours des n écarts *^i> *^2i *^Zi • • • esï.
g-a'-(x\-i-xl-hxl...-hX/[)^
Dans rignorance où l'on est relativement aux écarts, Gauss pense qu'il convient de les remplacer par ceux dont le concours offre le plus de probabilit*é, et, d'après l'équation précédente, on satisfait à cette condition en les déterminant de façon que la somme a? J 4- ^J 4- ^3 4- . . . 4- ^J devienne un minimum.
Le meilleur moyen d'apprécier la valeur de la méthode est d'examiner les hypothèses qu'elle entraîne.
Ces hypothèses sont les suivantes :
-^1 4- ^2 4- ^3 -h . . . 4- ^// = O ou S(^) 1=0, Uia:^-^ Ui^i-h U^JO^-h . . . -^ Un^n^=^0 ou 2(M^)ir:0, (>1^1 4- ^2^2 4- V^^z-^ . . . H- f>„^;j=:0 OU I,(ça:)z=Oj
En effet, en remplaçant ^i,^2> -^3) • • • P^ir leurs valeurs données par les équations (i), on retrouve les équations (2). La prolon-
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gation indéfinie des expériences finirait par réaliser ces diverses conditions; la somme des écarts deviendrait nulle, et si, à une épreuve, un système de valeurs de w, ç, w, .,, produisait un écart égal à x, il s'en trouverait une autre dans laquelle le même système donnerait l'écart — ^; on aurait donc
\(i/^)z=o, \ (rur)=io, \ (fv^) = o.
Mais il est bien clair que, en général, on ne doit pas compter sur une pareille compensation. Le succès de la méthode dépend du nombre des épreuves î lorsque ce nombre est très restreint, comme il arrive le plus souvent, l'approximation des résultats qu'elle fournit devient au moins fort douteuse.
§ 17. — Suite. — Autre procédé.
H est visible que, par l'emploi de la méthode des moindres carrés, l'influence des grandes valeurs de t sur la détermination des inconnues A, B, C devient prédominante. Ce sont en général celles qui inspirent le plus de confiance ; toutefois il n'en est- pas toujours ainsi. Souvent, d'ailleurs, la formule n'est qu'approximative, et Ton cherche à déterminer A, B, C de telle sorte qu'elle reproduise également bien les grandes et les petites valeurs.
Si l'on fait la somme de toutes les équations fournies par les expériences, après avoir préalablenlent réduit, dans chacune d'elles, le coefficient d'une même inconnue à l'unité, il est clair que, relativement à cette inconnue, toutes les équations seront employées de la même manière et concourront également à sa détermination. Opérant de la même manière pour chacune des inconnues, on obtiendra les égalités suivantes :
G — — ^1 — ^2— ^3 — . . .4- nA -f-B(wi + Wj-h ^3-+-- • •) ^ ^ ^
Ui f/2 Uz ' ' '
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Aux hypothèses qui servent de base à la méthode des moindres carrés on substitue alors les suivantes
^1 4- ^î -h ^3 -h . . . -H ^« = o ou
Wl «2 Uz
^l V^ Vz "
et les mêmes raisons peuvent être invoquées en leur faveur»
Les nombres qui, dans la méthode des moindres carrés, servent de multiplicateurs, sont, dans ce nouveau procédé, employés comme diviseurs.
§ 18. — Cas particulier.
Considérant en particulier le cas où, A étant nul, les variables z/, v^ w sont réduites à une seule, en sorte que
et désignant toujours par /j, ^j, ^3, . . . , //^ les valeurs que l'observation assigne à la fonction t lorsque u devient successivement Wj, ^2» ^3? • • • > Uny et par ^j, x%^ x^, . . . , ^„ les erreurs dont elles sont affectées, il est clair que
ti-\- XiZ=zBUi, /j -h ^2 =: B «2, '3 4~ X^ m £> M3 ,
tn-^^n^^Un
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Lorsque, pour déterminer B, on suppose que
on a immédiatement
~~ Wi -h ^j -H iCa H- . . . 4- ^„
Quand on a recours à la méthode des moindres carrés, on admet que \ (wj?)r= u^x^-\- u^x^-^ u^x^-^ ... + tt„a?„ = o; par suite,
~ aî-hM* + w*H-. ..4-aJ
Quelquefois encore on prend pour B la moyenne arithmétique des quotients — ^ — ^ —>...,—> en sorte que
^ Mj U% Uz Un
n 1 / ti ti tz tn\
n\Ui Ut Uz Un)
Cela revient à admettre que
Zjl\u) "î «» Uz "
Un
C'est précisément le procédé qu'on a indiqué en dernier Heu.
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Pages.
Préface v
PRELIMINAIRES. '
§ 1. — Considérations générales i
§ 2. — Observations relatives au poids et à la densité des corps 2
§ 3. — Poudre 4
§ 4. — Effets de la poudre en vases clos. — Expériences de Rumford. 4
§ 5. — Suite. — Expériences de MM. Noble et Abel 10
