VALEUR I>B

DlFFinENCE

UIFFiBBNCB.

i.tg

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§ 13. — Détermination du coefficient a.

Il ne suffit pas d'adopter l'hypothèse <p(^) z= — : e-**^*, il faut

encore connaître la valeur du coefficient a ou, ce qui revient au même, celles de l'écart moyen y et du carré moyen des écarts r'; ces valeurs varient d'ailleurs avec le genre d'épreuves.

Généralement on ne peut les obtenir qu'au moyen des expériences mêmes. On évalue les écarts en comparant chacun des résultats trouvés à leur moyenne arithmétique; on forme ensuite la somme de ces écarts et celle de leurs carrés, on divise ces deux sommes par le nombre des épreuves, et on prend les quotients pour les valeurs de y et de r^ .

Cette manière d'opérer suppose que la moyenne arithmétique diffère peu de la quantité que Ton cherche; de plus, le nombre des écarts possibles est réellement infini. Ce n'est donc qu'en multipliant beaucoup les expériences qu'on peut arriver à une approximation satisfaisante.

Mais on n'est pas toujours maître d'agir ainsi. Le plus souvent on est obligé de se borner à un nombre d'épreuves assez restreint. Les valeurs que Ton obtient pour Técart moyen et le carré moyen des écarts sont alors fort douteuses, et les valeurs fournies par les formules ne sont pas de nature à inspirer une grande confiance ; en leur accordant une certaine importance, on s'exposerait à des erreurs.

On peut chercher à apprécier la probabilité de valeurs ainsi obtenues pour l'écart moyen et le carré moyen des écarts. Le procédé qui se présente naturellement à l'esprit est identique à celui qu'on a employé pour la moyenne arithmétique.

S'il s*agit de Técart moyen, on peut comparer chaque écart isolé à l'écart moyen cohsidéré comme exact, prendre la moyenne de leurs différences ou de leurs carrés et les introduire dans les formules de probabilité.

On peut de même comparer le carré de chaque écart isolé au carré moyen des écarts considéré comme exact et introduire dans les formules la moyenne des différences ou de leurs carrés.

Mais l'incertitude qui règne relativement à la moyenne arithmétique rendra souvent cette détermination fort douteuse.

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PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERVATIONS. ^2g

Il y a encore une observation à faire. Les formules (2) et (3) du § 11 sont les conséquences immédiates de l'hypothèse

©(x)= — =e~****, en vertu de laquelle — =z -; et elles ne s'ac-

corderont entre elles qu'autant que les valeurs obtenues pour l'écart moyen et le carré moyen des écarts satisferont à cette relation. Il est bien clair qu'il n'en sera pas toujours ainsi.

Soient Yi et rj ces valeurs supposées suffisamment exactes, et posons d'abord, pour fixer les idées,

Ti Va

'Il 2

Lorsqu'on emploie l'équation (3) en y remplaçant r par Tj, on admet nécessairement la loi de probabilité <p(a;) = -— e~"'** ;

•Vl'

on suppose donc implicitement y ^r^ i/ -, valeur inférieure

à Yi î on assigne ainsi à l'écart moyen une valeur plus petite que celle qu'il a réellement; d'où il ne peut résulter qu'un accroissement de probabilité. On s'expose donc à trouver pour cette dernière une évaluation trop forte. Le § 15 en offrira un exemple. Le contraire arrive quand on se sert de l'équation (2) en y

remplaçant y par yi ; on suppose en effet alors r = yi V/~' valeur

supérieure à la valeur réelle Tj ; cette augmentation ne peut que diminuer la probabilité.

Lorsque le rapport — est supérieur à -, la plus grande proba- Yi ^

bilité est donnée par l'équation (2).

De ces considérations on est porté à conclure qu'en général la valeur de la probabilité doit être comprise entre les résultats que fournissent les deux formules. Toutefois, dans quelques circonstances, l'une et l'autre donneront des valeurs trop faibles. Si, par exemple, les écarts ont une limite finie X, il est clair qu'on devra avoir II = i lorsqu'on supposera X := X. Or les deux formules ne donnent 11 = 1 que quand X = 00 .

On voit qu'en général la recherche de la probabilité des résultats moyens des observations présente de grandes difficultés,

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43o NOTE II.

et que les approximations déduites des formules seront souvent illusoires.

§ 14. — Écart probable.

Lorsque !!=:-? l'équation (2) du § 11 devient

et la table du § 12 montre que — ^ =rz 0,477, ^'^"

Xzzz 0,845^'.

Cette valeur de X est ce qu'on appelle assez improprement

Vécart probable^ parce que le nombre des écarts supérieurs est égal à celui des écarts inférieurs.

La détermination de cet écart, dont la probabilité est infiniment petite, exige que Ton connaisse assez exactement la valeur de Fécart moyen y, et il ne faut pas oublier que Texpression précédente suppose

§ 15. — Hypothèse de l'égale probabilité des écarts.

Les faibles écarts sont en général beaucoup plus fréquents que les autres; on peut considérer -le cas où tous les écarts offrent la même probabilité comme la limite que ceux que présente la pratique.

Alors ^{œ)=^ 6, la lettre b désignant une constante, et tous les écarts compris entre les limites extrêmes — X et X sont

également probables :/ cp(^)(ia?=6X.

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Il faut donc que b = -^ : ainsi

La courbe des probabilités devient une ligne droite parallèle à Taxe des abscisses et termiaée au point dont l'abscisse estX. Prenant, pour plus de simplicité, X = i, on a

<p(^)r=: -, 1 œ^{x)dxt=z j, I x^^{x)dœ — ^,

d'où

nombre inférieur à - •

En faisant, dans la formule générale de Laplace ( § 6 )

„ 1 r* , sin(a^) r r' , n«

n=-l da ^ ^ / dxcos{oLx)\ •

C'est la probabilité que l'écart de la moyenne de n observations

reste compris entre et — •

En effectuant la seconde intégration, on a TzJ^ « \ a /

Faisant — = X, la formule devient n

„ 2 r" , sin(/iaX) /sinaX'*

(a) n=.-j^ rf« L' (^ j ;

c'est la probabilité que l'écart de la moyenne arithmétique est compris entre — X et X.

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La question est ramenée à la recherche de l'intégrale qui forme le second membre de cette équation.

Laplace applique au cas actuel la formule (3) du § 11 ^ en

prenant r*=z: ^, ce qui donne

(3)' n=:-^^/ e-^'dL

Il substitue ainsi Thypothèse <p(^)=: --= e""^*^* à celle de

régale 'probabilité des écarts, en déterminant a par Féqua-

î tion a=: — —•

Mais, en acceptant la même substitution d'hypothèse, on pourrait déterminer a par la relation a ^=2 — -= et faire usage de

l'équation (2) du § 11, qui, attendu que y = -> donne

Lorsqu'on fait), nz — , la formule (a) devient

et donne la probabilité que Pécart de la moyenne est compris

entre et — •

On trouve dans le second volume du Traité de Calcul différentiel et intégral de M. Bertrand, page 2o3, une transformation de rintégrale

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par suite de laquelle, si n est impair,

2(714-1) r Z^-^dz

et si n est pair

Les applications sont faciles.

i" « =; I . La première formule donne

Il n'y a qu'une épreuve, et l'écart est nécessairement compris entre — i et i .

2» « = 2. De la seconde formule on tire

2^ r' ■ ' z^dz

r z'dz I r'f -1 9 \ ■

' =|(-arctang..3arctang£);

donc

z^dz

(^^ + i)(^«4-9).""8' et

3** 71 = 3. La première formule donne

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434 NOTB II.

donc

f" z^dz i C' ( -I 4 \ ,

= ^ I - arc tang - 4- arc tang j \ ;

/*^ z^dz I Tt (;5« + 4)(^'-f-i6)-6 5'

4® /i = 4« La seconde formule donne

2.5 r* z^dz

-384J, V^^-hi ^\4-9"^^«4-25;''''

^=: 2^ ( 2 arc tang^ — 81 arc tang 5 -h 126 arc tang ^ U

/z^dz 46 Tt

5® n =: 5. De la première formule on tire

~ ^ Jo ('5'-+-4)(-'4-i6)(^* + 36)" D'ailleurs,

Jo (^'-+-4)(^*H-i6)(^«-+-36)

■~ i2oJ^ U' + 4 ^*-f-i6"^5«H-36y '^

= - arc tang 32 arc tang 7 H arc tang^ ) •

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Par suite,

„ 66 II www

Dans le Tableau suivant, ces résultats sont comparés à ceux que donnent les formules (2)' et (3').

Probabilité que V écart de la moyenne arithmétique de n observations reste com^pris entre et —•

VALEUR DE Tl.

FORMULE (a).