RÉSISTANCE DE L AIR AU MOUVEMENT DES PROJECTILES SPHÉRIQUES
§ i. — Tentatives de Newton pour déterminer la résistance
de l'air.
Newton a le premier essayé de donner une théorie de la résistance de l'air. Faisant abstraction du mouvement communiqué au fluide ambiant, il admet tacitement que chaque molécule d'air se trouve à l'état de repos au moment où elle* est atteinte par le mobile, et reçoit alors, suivant la direction de la normale à l'élément de surface qu'elle rencontre, une vitesse égale à celle que cet élément possède dans le même sens ou au double de cette dernière, suivant que l'on assimile le choc à celui des corps dénués d'élasticité ou à celui des corps élastiques. La première hypothèse est celle dont les conséquences s'écartent le moins des faits observés. Après le choc, la molécule est censée disparaître.
Si l'on considère un cylindre droit à base circulaire qui se meut dans le sens de sa longueur, sa base frappera dans le temps dt toutes les molécules du fluide comprises dans une
tranche ayant pour base —j-^ pour hauteur dx et pour masse
j dx^ a désignant le diamètre du cylindre en mètres,
A le poids du mètre cube d'air et g la gravité.
En prenant pour diminution de la quantité de mouvement du cylindre le produit de sa vitesse v par la masse frappée
-7 dx. on aura
p ir «2 A
Googk
l62 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
OU, en divisant par dt^
g dt (\ g
R désignant la résistance que Tair oppose au mouvement du cylindre.
Or on a
h représentant la hauteur à laquelle serait due la vitesse; donc
La résistance serait donc égale au poids d'un cylindre d'air ayant pour base la section perpendiculaire au mouvement et pour hauteur le double de celle à laquelle serait due la vitesse.
Pour étudier le cas où la surface plane qui éprouve la résistance n'est pas normale à la direction du mouvement, il suffit de s'occuper, d'après l'hypothèse énoncée plus haut, de la composante de la vitesse perpendiculaire à la surface ; la résistance devient ainsi
i étant l'angle que fait la normale à la surface avec la direction du mouvement.
En appliquant ces résultats aux éléments infiniment petits des surfaces courbes, on peut, par des intégrations, déterminer la résistance éprouvée par un corps solide de forme quelconque. Quand il s'agit d'un corps de révolution animé d'un mouvement de translation parallèlement à son axe de figure, le calcul est des plus simples.
O^, Oy^ deux axes rectangulaires, Ox dirigé suivant l'axe de la surface, Oy contenu dans la plus grande section transversale du mobile \y^ une ordonnée quelconque correspondant à l'abscisse x.
Googk
RÉSISTANCE DE L'aIR. i63
Le mouvement est dirigé de O vers x. Tous les éléments de la zone comprise entre deux plans menés perpendiculairement à Taxe, aux distances x et x -{- dx^ ont leur tangente également inclinée sur Taxe. Soit i Tangle de ces deux direc-
dy lions : cos« = -^- Or la résistance de Tair qui correspond à
chaque élément de surface peut être remplacée par deux composantes, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la direction du mouvement. Dans chaque zone il est évident que les com- , posantes perpendiculaires se font équilibre. 11 n'y a donc pas à s'en occuper.
La composante parallèle à la direction du mouvement s'obtient en multipliant la résistance sur chaque élément parcosf. La somme de toutes les composantes correspondant à la surface de la zone est donc égale au produit de la surface
de cette dernière, savoir i-^y ds, par — ç^ cos' i] donc, en appelant rfR la résistance sur la zone considérée,
dK — 2Tz - v^Y-^ds, g ^ ds^
et, en intégrant, on aura la résistance totale
Rzzz 211 - ç^* / y^ds.
Dans le cas de la sphère, on a, en appelant a le diamètre et 8 l'angle du rayon avec l'axe des x,
y=z - sm6,
ûÇ/ = - cos6<i6,
Googk
l64 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
et la résistance de Tair a pour expression
A r' R = iTzc^ — v^ \ cos'ô sin6 <
8 Jo
. S Jo ou
Tj ira* A
Cette résistance est la moitié de celle qui aurait lieu sur le cylindre circonscrit.
L'expression précédente étant admise, il est facile d'obtenir la relation entre la durée et la hauteur de la chute d'un corps sphérique tombant librement dans Fair. Cette relation se trouve d'ailleurs dans tous les Traités de Mécanique. Newton a exécuté une suite d'expériences dans lesquelles il a mesuré la durée de la chute de divers corps sphériques tombant d'une grande hauteur. Il a comparé les résultats de ses calculs aux durées observées et a trouvé qu'il faudrait, pour les faire concorder, réduire à moitié la valeur précédente de R.
L'expression de la résistance de l'air sur une sphère, d'après les expériences de Newton, est donc
^ TT a'A
Pour arriver à la connaissance complète des lois de la résistance de l'air, il faudrait former les équations du mouvement du fluide autour du mobile ; si l'intégration de ces équations était possible, on en déduirait en effet la pression en chaque point.
Le principe de la similitude n'est applicable qu'autant que la densité du fluide varie proportionnellement à celle du mobile.
§ 2. — Considérations générales. — Formules.
Il est bien reconnu maintenant que les questions relatives à la résistance que l'air oppose au mouvement des projectiles
Googk
RËSISTANGË DE L'aIR. i65
ne peuvent être résolues que par la voie de l'expérience ; mais chaque série d'épreuves est nécessairement circonscrite dans des circonstances particulières. On a donc pensé qu'il serait utile de présenter un résumé succinct de toutes celles qui ont été exécutées et de rechercher si de leur ensemble il ne serait pas possible de déduire quelques conséquences générales.
On supposera, dans tout ce qui va suivre, le mouvement rectiligne et modifié seulement par la résistance de l'air :
Pj poids du projectile en kilogrammes;
A, poids du mètre cube d'àir en kilogrammes;
a, diamètre du projectile en mètres ;
V, vitesse au bout du temps ty en mètres;
g, gravité;
R, résistance de l'air.
Ici la valeur de g reste arbitraire ; en la prenant égale à 9,8 1 ; les quantités /> et A deviennent les poids métriques indiqués par la balance. Dans les expériences exécutées dans divers pays, on a toujours employé les poids métriques, et peut-être a-t-on attribué à ^ la valeur locale; mais alors même les valeurs qui pourraient en résulter seraient peu appréciables.
Il est admis que la résistance R est proportionnelle : 1° à la
masse du mètre cube d'air, représentée par -; 2^ à l'aire de la
section transversale, et par conséquent au carré du diamètre du projectile, c'est-à-dire à a^. Par suite, elle est considérée
comme égale au produit de — a^ par une certaine fonction de
la vitesse.
Le plus souvent on compare la résistance au carré de la vi-
tesse; en d'autres termes, on prend la valeur Ju rapport -^*
On est ainsi conduit à poser
Googk
l66 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
L'équation du mouvement rectiligne est alors
ou
Faisant, pour abréger,
p dv
-tay\v)v-
dv dt "~
réger,
dv dt
= - bv\
on a
Soil X l'espace parcouru pendant le temps t. On peut remplacer dt par — ; on a donc
dx
Il y a des circonstances où la fonction f(^ç^ n'éprouve que de légères 'variations, surtout si le trajet est court. La quantité h peut alors être traitée comme une constante, et, en désignant par V la vitesse correspondant à ^ = o, on obtient par l'intégration
la lettre e représentant la base des logarithmes népériens.
On peut comparer la résistance, à une puissance quelconque n de la vitesse; on a alors
Rziz— -(p((;)^«, o
ç(i>) désignant une nouvelle fonction de la vitesse. L'équation du mouvement devient
dv t^a> , . „
- = -.— cpCO.».
Googk
RÉSISTANCE DE l'aIR. 167
Faisant
on a
d'où
dt
-Ct^",
dv dt ~
Cçn^i
Lorsque la fonction ^(^) peut être regardée comme sensiblement constante, l'intégration donne
ou
[l-h(/l— 2)V'»-*CJ?)«-*
Dans ces derniers temps, on a fréquemment comparé la résistance de l'air au cube de la vitesse. La formule précédente devient dans ce cas
