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Les cinq mandrins étaient d'abord essayés comparativement le même jour; plus tard, on ne s'est plus occupé que des mandrins des diamètres supérieurs.

Dans ce Tableau, lorsque la charge est de 3^8^y5ou de 5*^^, on voit la vitesse croître d'abord avec le diamètre du mandrin, puis décroître. Quand la charge est de 2*^^,5, on n'observe pas ce décroissement; des deux mandrins de 1 4^™™ et de 1 58™™ le dernier est celui qui donne la plus grande vitesse ; mais il est probable que la vitesse correspondant au mandrin de 148™™ est trop faible. Et, en effet, elle diffère à peine de celle qui est donnée par le mandrin de i38™™. Avec la charge de i^^, les variations sont bien moins sensibles, et les vitesses correspondant aux mandrins de 148™™ et de i58™™ sont à peu près égales.

Peut-être le mandrin auquel correspond la plus grande vitesse n'est-il pas le même pour toutes les charges; mais, tant qu'on ne s'occupe que des charges usuelles 2*^^,5, 3''^, 70, 5^^, les légères variations qu'il peut éprouver sont sans doute de nature à être négligées, et, dans cette hypothèse, le Tableau précédent offre une réunion de faits assez nombreux pour qu'on puisse le déterminer avec une approximation suffisante.

Prenant en effet la moyenne des vitesses données avec le même mandrin par les charges de 2.^^,5, 3*^^,75 et 5*^^^ on obtient un nouveau Tableau où les irrégularités se trouvent atténuées.

DIAMÈTBE DU MAKDBI.X.

Vitesse

Pour apprécier la régularité de ces. résultats, on peut construire une courbe ayant pour abscisses les diamètres des mandrins et pour ordonnées les vitesses (/Ig- 2).

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yiTESSE INITIALE DES PROJECTILES. 49

Si X désigne le diamètre du mandrin exprimé en millimètres et V la vitesse initiale correspondante exprimée en mètres, on peut poser v =/(a:).

Fig. a.

Soit a fe diamètre du mandrin auquel correspond la plus grande vitesse, représentée par V, en sorte que V = /(a). Le théorème de Taylor donne

ï'^/Ca + ^ - a) ^/(a) + (a? - a)/(a)

Aa)-

Puisque V =/(a) est la valeur maximum, la valeur de/'(a) doit être nulle, et celle de/'' (a) négative. Représentant cette dernière par — 2 H, l'équation devient

^3zV-'H(a?-a)«+ ^^^/^V ^(a)+..-

Lorsque la différence x — a est petite, l'équation peut être réduite à

Cette approximation revient à remplacer la courbe par une parabole dans le voisinage du maximum.

Et alors, si l'on connaît les vitesses (^1 , (^2> ^3 correspon-

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5o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 1.

dantes à trois mandrins Xi, x^y Xz^ il est facile de déterminer la valeur de a. En eflfet, on a les trois équations

En éliminant V entre la première et chacune des deux autres, on obtient

(^j — (^1 1= -— H(^, — x^) {xi -h ^2 — 2a),

i^3 — (^1=: --H(cr8 — J?t) (^Tj -^ Xz — 2a),

et Pélimination de H conduit à

('3 Vx ^3 -^t -^1 H- -^S '^^

i^2 — t'i Xi — Xx Xi-h Xi — 2 a

D'après ce qui précède, le mandrin auquel correspond la plus grande vitesse est compris entre i38"*™ et iSS"*"". Prenant donc a?i = 1 38, ^2=148, ^3=1 58, l'équation devient

D'ailleurs, (^, =1409, 5, ^^2 = 4*6,9, (^3 =:4i5,o. On obtient donc, à très peu près,

Ainsi, le mandrin auquel correspond la plus grande vitesse a un diamètre égal à iSi™"".

Dans cette recherche, on n'a pas tenu compte des résultats donnés par la charge de 1^^, o; mais il est à remarquer qu'on eût été conduit à la même conclusion si on les avait fait entrer dans la formation des moyennes.

Il reste à obtenir les valeurs de V et de H relatives à chaque

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VITESSE INITIALE DES PROJECTILES. 5l

charge. Or, quand on prend a = i5i, les équations (B) deviennent

(i.3=zV- 49H.

Les valeurs de (^1, (^2 et (^3 sont données, pour chaque charge, par le Tableau général des expériences. Les trois équations ne renferment que deux inconnues, V et H, et^ pour déterminer ces dernières, on peut employer la méthode des moindres carrés.

Voici les résultats du calcul :

CHABCE.

Valeur de V (mètres)

Valeur de H

249,5 o,oi3

371,0 o,oi5

Les valeurs de H sont irrégulières. Cette quantité, est nécessairement nulle en même temps que la charge. On peut la supposer développée suivant les puissances ascendantes d e cette dernière et poser en conséquence

H z=z mm -{- nm^ -\- . . ^ .

Regardant comme négligeables les termes qui suivent le premier, on a simplement

H z=: mm.

Le Tableau précédent fournit quatre couples de valeurs de H et de nj, et par conséquent quatre équations pour déterminer le coefficient m. En leur appliquant la méthode des moindres carrés et observant d'ailleurs que le nombre des

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