KY^X
KV^X . .
i + KV^X KV^X . .
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SUBSTITUTION d'uNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ. 297
logi, 5906 = 0,201 53 )
logtanga = 0,24682 — I S logtangwi= 0,44785 — I w = 16^17'.
La question suivante se présente fréquemment.
Connaissant V angle de départ a et la portée X, trouver la vitesse initiale y ,
Dans ce cas, à Téquation (2)
10*^ io^«sin2a
il faut joindre Tune des équations (7), (8), (9). En donnant la préférence à l'équation (8), on a
a* d'où
log(io">KX) = log ^^7ocK)^ -flogV;
on obtient la valeur de V par la méthode des substitutions successives.
Qu'il s'agisse, par exemple, de boulets massifs de 3o. Soit a= 10; X= 2000.
Alors Y — = 174320; et, d'après les valeurs de p et
de a données précédemment, log — = 6,93804; de
sorte qu'on a les deux équations
(A) -^"^ 174320 -io'»KX;
(B) log(io'»KX) = 5,98804 -flogV.
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Soit, comme premier essai,
V=i33o; logY=: 2,5i85i; |logV =11, 007^0, et l'équation (B) donne
log(io*«KX) =: 4,93o64; d'où lo^^KX = 86240.
L'équation (A) devient par suite -^^ = 89080; il est facile d'en conclure
logY=r2,525lI et V=r::335,o5.
Ce résultat indique que la vitesse initiale est comprise entre 33o et 335, o5.
Substituant, dans l'équation (B), la valeur que l'on vient de trouver, log V = 2 , 525 11 , on trouve
log(io*oKX) := 4,92800; d'où io*«KX =: 84720. L'équation (A) se réduit à -^ = 89600; il en résulte
log V = 1,52384, et Y^334,o5.
La \'itesse initiale est comprise entre 335, o5 et 334, o5. Portant encore dans l'équation (B) la dernière valeur logV= 2,52384, on obtient
log(io*«KX)=: 4,92860 et io*«KX = 84820;
l'équation (A) devient
——3=89500; d'où logV = 2,62406 et V = 334,24. n
Ainsi, la vitesse initiale est intermédiaire entre les deux nombres 334"*, o5 et 334"*, 24, et il est tout à fait inutile de pousser plus loin l'approximation.
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SUBSTITUTION d'uNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ. 299
Le nombre plus ou moins grand des essais dépend du choix de la première valeur. Il est bien rare qu'on ne soit pas guidé par quelques analogies.
§ 15. — Construction des tables de tir.
La construction des tables de tir est le but de toutes les recherches sur les portées.
Les données du calcul sont la bouche à feu, la charge de poudre et le projectile.
Les formules données dans le Chapitre I*"" permettent de déterminer la vitesse initiale du boulet.
Il devient possible alors de former une Table des angles de départ correspondant aux distances indiquées, par exemple, par les divers termes de la progression arithmétique,
100"*, 200"*, 800°*, 4oo"', Soo*'*.
Il suffît pour cela de recourir aux deux formules
io*^sin2a
io»«K
57000 ys
qui ne demandent que des calculs d'une extrême simplicité. On en a donné un exemple dans le § 14.
Ces formules ne sont que l'expression des faits observés. La Table devra donc être considérée comme la conséquence de Texpérience.
Pour apprécier la simplicité de la méthode, il suffit de la comparer aux procédés proposés par divers auteurs, et qui offrent une telle complication qu'il est fort douteux qu'on eût jamais été tenté de la mettre en pratique (').
(*) Ainsi qu'on en a fait l'observation dans le § 7, c'est M. Piton-Bressant
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3oo
On sait que l'angle moyen de départ a surpasse toujours un peu rinclinaison i de la bouche à feu. Leur différence e est appelée angle de relèvement, l'inclinaison correspondante à la portée X est alors donnée par l'équation
La différence e n'est pas négligeable, elle ne peut être obtenue que par une observation directe ; elle est d'ailleurs assez variable, et l'incertitude où l'on se trouve à son égard nuit beaucoup à l'exactitude des Tables, surtout sous les faibles inclinaisons.
Les expériences faites avant i84o avaient conduit aux valeurs suivantes :
OBSERVATIONS
VALEUR DE 6
Boulets mdssifs.
Boulets creux.
Canon de 3o n° 1
Obusier de i6*""
Caronade de 3o
Obusier de 22"™ n" 1
On sait la manière dont s'opère le pointage dans la marine. Un fronteau ou guidon est placé à la hauteur des tourillons ; un curseur portant un cran à sa partie supérieure est mobile dans une boîte fixée à la culasse. Le plan passant par la pointe du fronteau et l'axe du curseur quelquefois se confond avec le plan du tir, d'autres fois est parallèle à ce dernier. Le curseur est perpendiculaire à l'axe du canon.
La ligne de mire passe par le fond du cran et la pointe du
sin 2 fic ' I qui, le premier, a proposé l'usage étendu de l'équation = — + KX.
Il avait remarqué que les Tables qu'il construisait de cette manière différaient à peine de celles que l'on calculait par les autres procédés.
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SUBSTITUTION d'uNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ. 3oi
fronteau. Quand le curseur est au plus bas de sa course, cette ligne est parallèle à Taxe du canon. Soit / la distance comprise alors entre le cran et la pointe du fronteau.
La quantité dont il faut élever le curseur pour que la ligne de mire passe par le point à battre est ce qu'on appelle la hausse. En la désignant par A, il est clair que
h~-l tangï.
Lorsqu'on veut former une Table des portées correspondant à des inclinaisons données, il faut se servir de l'équation (3) du § 13, en prenant a=r « + e. Un exemple a été donné dans le § 14 en supposant a = lo®.
Les Tables ne représentent que des résultats moyens ; il faut donc toujours s'attendre à quelques déceptions lorsqu'on en fait l'application à des tirs particuliers; les anomalies que l'on a rencontrées dans les expériences qui ont servi à établir les formules doivent, à plus forte raison, se reproduire dans la pratique, où l'on ne s'assujettit pas à des précautions aussi minutieuses.
§ 16. — Cas où le point à battre n'est pas au niveau du point
de 'départ.
Le plus souvent le point à battre ne se trouve pas sur le plan horizontal qui passe par le point de départ. L'équation de la trajectoire étant mise sous la forme
~ — tang a ^-—-
y ^ 1 cos^ a
on peut supposer que y eX x représentent les coordonnées du point à battre ;jk est alors l'élévation de ce point au-dessus du point de départ, et x la distance horizontale qui l'en sépare. L'angle p, déterminé par l'équation
tang p = ^
est l'angle d'élévation du point à battre; il devient négatif quand ce dernier est moins élevé que le point de départ.
La différence a — p est l'inclinaison de la tangente au point de départ sur la ligne qui joint ce point au point à battre. En la désignant par y, on a y = a — ^ et a = ^ + y.
Cela posé, l'équation précédente donne
2cos2a(tanga — tangP)=:^^( :^ -h K^ j •
Or,
sin2y := 2sinYC0sy = 2sin(a — P)cos(a — P),
sin2y 1= 2(sinacosp — cosasinp)(cosacosp -h sinasinp),
Sin 2 Y
=z sin a cos a ces* p — cos^ a sin p ces p
— sin a cos a sin* p -i- sin* a sin p cos p, sin2Y= 2COs'acos*p(tanga — tangp
— tang a tang* p h- tang* a tang p ) , sin2y =: 2 cos* a cos' P( tang a — tangp) (i -h tanga tangP).
Donc,
sin2y i=cos*p(i -h tanga tang p)^j?( ^ -\-Kx j; mais
tang, = tang(P+-r)=. tang^ + tan,, . o Dvr »/ j — tangptangy^
par suite,
-h tan2:*p
cos*P(i -h tanga tang p)=: cos* p
I — tang p tang Y
1 — tang p tang Y Par conséquent,
sin2Y = 1 Q- ga^l^.-^Kx]'
' I — tang p tang Y \V* /
Généralement le produit tangp tangy est négligeable, soit parce que les angles y et p ont tous deux de faibles valeurs, soit parce que, quand le premier se trouve plus grand par
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SUBSTITUTION d'UNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ. 3o3
suite de raccroissemenl de la distance, le second diminue très rapidement. On a donc à très peu près l'équation
sin2Y = ^^f:^-hK^j^
de sorte qu'entre l'angle y et la distance x il existe la même relation qu'entre l'angle de départ a et la portée horizontale X. Il en résulte que l'inclinaison à donner à la bouche à feu, et indiquée par les Tables d'après là distance, doit être prise relativement à la ligne qui joint le point de départ au point à battre, sans qu'il y ait lieu de s'inquiéter de la différence de niveau qui peut exister entre ces deux points. Ainsi, après avoir pris la hausse donnée par les Tables, on dirige toujours la ligne de mire sur le point à battre.
Il y a cependant certaines circonstances où le produit tangy tangP n'est pas négligeable; et alors la valeur de y se trouve trop faible, si le point à battre est plus élevé que le point de départ; elle est trop grande dans le cas contraire.
Dans les expériences de GâVre, le point de chute se trouvait au-dessous du point de départ ; mais la valeur numérique du produit tangP tangy était toujours inférieure à 75^0.
§ 17. — Conséquences auxquelles on est conduit lorsqu'on suppose la trajectoire du troisième degré et la résistance de l'air dirigée suivant la tangente.
Il est intéressant de rechercher les résultats auxquels on parvient lorsque, supposant toujours la résistance de Pair dirigée suivant la tangente à la trajectoire, on considère en même temps cette dernière comme une courbe du troisième degré.
Dans ce cas, l'équation
gx
y zzzx tanff a ~ —
•^ ^ 2 ces
doit s'accorder avec les équations (i) et (2) du § 3. On en
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3o4 PREMIÈRE PARTIE. -— CHAPITRE VII
tire
Zg^x
dx^ V^ cos^ a
cos^'a
et l'équation (i) du § 3 donne
dx^ ~~ fdx'
Égalant ces deux valeurs, il vient
fdxy V^cos^g
^""^ \dt) - rrsKv^^
— > composante horizontale de la vitesse, devient, d'après les notations adoptées, Ucosto, lorsque a; = X; donc j^ V cosa
v/iH-SKV^X cosoi
ce serait l'expression de la vitesse finale.
De l'équation (a) on tire
Vcosadt^{i-hSK\^xydx.
Intégrant et observant que x et t s'évanouissent simultanément, on a
V<cosa= -j^ 1^(1 + 3KV«^)» - i] .
Quand on remplace x par X, on doit obtenir la durée T du trajet; donc
La différentiation de l'équation (a) donne
de' ~ 2(i + KV2^)2'
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SUBSTITUTION d'uNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ. 3o5*
OU, en remplaçant i + SKV^o: par sa valeur tirée de la même équation («),
d^x \dt j
or, l'équation (2) du § 3 est
donc
dt^ " ^ds'
/ dxX'' ds \di) Ix
2 cos^a ou, en observant que ç = —,
de sorte que, t désignant Tinclinaison de la langenïe,
3K cos^T ,
2 cos^ a
Il est probable que les premiers auteurs qui, dans leurs approximations, ont réduit la trajectoire à une courbe du troisième degré, ne se doutaient guère de la singulière modification qu'ils apportaient à la loi de la résistance de Tair.
On n'est arrivé à cette expression, si différente de celles auxquelles conduisent les expériences exécutées à l'aide du pendule balistique, qu'en supposant la résistance constamment dirigée suivant la tangente. A-t-elle réellement une. pareille direction ? C'est une question qui sera examinée plus tard (Chap. VIII, § 4).
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§ 18. — Tir sous les angles supérieurs à 10°. — Modification . à faire subir aux formules.
La quantité K, sensiblement constante, tant que Tinclinaison de la bouche à feu ne surpasse pas 10°, se montre croissante lorsque cette inclinaison devient supérieure et se rapproche de l'angle de plus grande portée.
Des expériences ont été exécutées en 1848 avec un canon de 3o, n° I, et 'un canon de 5o.
OBSEKVATIOXS.
CANOH DE 30 N* 1.
