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mentionné, sans faire d'hypothèse particulière sur la résistance de l'air, dans la seule supposition que la résistance de l'air croit avec la vitesse, devient infinie pour une vitesse infinie et est moindre que le poids du projectile pour une vitesse infiniment petite. La réduction des équations du mouvement aux quadratures est faite dans la supposition de la résistance proportionnelle à la n""* puissance de la vitesse, et les formules ainsi trouvées ont servi à établir les conditions de la similitude des trajectoires des projectiles sphériques qui n'ont pas de rotation. Les équations finies exactes du mouvement ne s'obtiennent que dans la supposition de la résistance de l'air proportionnelle à la première puissance de la vitesse. La méthode approximative de l'intégration des équations différentielles du mouvement pour toutes les expressions de la résistance déduites des résultats de nos expériences — cette méthode est basée sur la substitution, proposée par M. Didion, du rapport variable de l'élément de l'arc de la trajectoire à sa projection horizontale par une certaine valeur moyenne de ce rapport, et la marche à suivre dans l'intégration de ces équations est puisée dans le mémoire du comte de St- Robert: Bu mouvement des projectiles dans les milieux résistants. 1859. Dans l'annexe à notre traité se trouvent réunies les tables des fonctions par lesquelles les équations approximatives du mouvement dans l'air diffèrent de celles du mouvement dans le vide; entre ces tables celles des fonctions 6*, F^ {z) et F {z) sont extraites du traité de M. Didion , et les autres tables, qui se rapportent aux expressions de la résistance non traitées par M. Didion, ont été calculées sous notre surveillance.
Dans le cinquième chapitre est exposée la solution des problèmes du tir avec des projectiles sphériques n'ayant pas de rotation. Pour résoudre les problèmes du tir sous de petits angles de projection, k fortes charges, nous sommes obligés de . calculer la trajectoire par parties, à cause des expressions différentes de la résistance de l'air adoptées pour les grandes et les
moyennes vitesses; mais les calculs sont beaucoup abrégés par la supposition que les distances verticales des points de la trajectoire à sa tangente au point de départ sont, pour ce cas, sensiblement indépendantes des angles de projection. L'énoncé de cette supposition et le calcul des limites des erreurs qui en résultent sont empruntés au mémoire du comte de St-Robert: Deltiro. 1857.
Dans le sixième chapitre sont discutées les déviations des projectiles sphériques sur les bases émises par M. Didion dans son traité. Pour obtenir les équations du mouvement des projectiles sphériques excentriques, nous avons essayé d'exprimer, pour une vitesse angulaire donnée la force déviatrice due aux mouvements simultanés de translation et de rotation en fonction de la vitessse de translation, en nous basant sur les résultats fournis par le tir en Prusse du canon de 12^ avec des obus excentriques, à la charge de 0^*95. N'ayant pas de résultats du tir à différentes charges, imprimant aux projectiles des vitesses angulaires différentes, nous n'avons pu exprimer cette force déviatrice en fonction de la vitesse de rotation et de celle de translation.
Le septième chapitre traite du mouvement des projectiles oblongs dans l'air. Les recherches sur ce sujet sont jusqu'à présent peu nombreuses. Nous ne mentionnerons que celles de M. Gautier, professeur au lycée d'Alger, çt celles du comte de St-Robert.
Le mémoire de M. Gautier, inséré dans les Annales scientifiques de V école normale supérieure^ 1868, se distingue au point de vue analytique; mais, pour simplifier les intégrations, l'auteur fait sur la résistance de l'air des hypothèses qui ne sont pas justifiées et qui le conduisent à des conclusions ne concordant pas avec la réalité. Dans le n"" 21 de l'année 1869 (22 novembre) des Comptes rendus hebdomadaires des séances de r Académie des Sciences de Paris, M. Gautier fait une communication sur son nouveau mémoire, où il est parvenu, dit-il, à surmonter les difficultés rencontrées dans son premier travail;
mais, en tant que nous sachions, ce nouveau mémoire n'est pas encore édité.
Le comte de St-Kobert, dans ses Études sur la trajectoire que décrivent les projectiles cblongs^ 1859 et 1860, déduit, par un procédé géométrique, la vitesse angulaire de Taxe de figure du projectile autour de la tangente à la trajectoire, en supposant cette tangente immobile et le couple de la résistance de VsAt constant y et indique les formules pour le calcul de la trajectoire en la divisant en parties correspondant à de petits intervalles de temps, pendant lesquels on peut admettre que Taxe du projectile se meut dans l'espace parallèlement à lui-même, et ne considérer pendant ces intervalles que le seul mouvement de translation, en tournant, après chaque intervalle de temps. Taxe de figure du projectile autour de la tangente d'un angle correspondant à l'intervalle considéré. Le comte de St-Robert n'a pas appliqué ses recherches au calcul d'un exemple particulier de la trajectoire. Nous avons calculé *) la trajectoire d'un projectile oblong d'après la marche indiquée par M. de St-Robert et nous avons été induits en erreur en trouvant que l'axe de figure du projectile faisait plusieurs révolutions entières autour de la tangente pendant le trajet du projectile. Nous avons relevé cette erreur en prenant en considération, pour former les équations diflférentielles du mouvement de rotation de l'axe de figure, l'abaissement de la tangente et la variation du couple de la résistance de l'air durant tout le trajet du projectile. Ces équations font voir que, dans le cas de vitesses un peu considérables, l'axe de figure exécute un mouvement d'oscillation autour de la tangente et que l'amplitude de ces oscillations est toujours moindre que tc.
Nous exposons dans le chapitre en question nos recherches à ce sujet.
*) De rînfluence da moavement de rotation sur la trajectoire de^ projectiles oblongs dans Taîr par N. Majevski; mémoire inséré dans le tome Y de la Revae de Technologie militaire de M. Terssen.
Le huitième chapitre comprend la solution de divers problèmes sur le tir des projectiles oblongs.
Dans le neuvième chapitre sont traitées les déviations des projectiles oblongs.
Dans le dixième chapitre sont déduites les conditions de la similitude des trajectoires décrites dans Tair par des projectiles semblables sphériques n'ayant pas de rotation, par des projectiles semblables âphériques excentriques et par des projectiles semblables oblongs, en supposant la résistance de Tair proportionnelle à la n"""^ puissance de la vitesse.
Le onzième chapitre traite de la pénétration des projectiles dans les milieux solides et du percement des cuirasses en fer. Les lois de la pénétration des projectiles sphériques sont énoncées suivant le traité de M. Didion. La relation entre la résistance des milieux solides, la vitesse du mouvement et Tangle que fait Taxe de figure d'un projectile oblong avec la direction du mouvement n'étant pas connue, nous ne donnons pas de théorie pour déterminer les lois du mouvement des 'projectiles oblongs dans les milieux solides, et nous nous bornons à l'explication de la forme du vide produit par les projectiles oblongs. La solution des problèmes sur le tir contre les cuirasses est basée sur les résultats des expériences anglaises décrites dans le compte rendu par M. le capitaine Noble.
La méthode des moindres carrés et son application à l'analyse des résultats du tir sont exposées dans le douzième chapitre. L'énoncé des principes de la théorie des probabilités est emprunté à V Essai d^une analyse élémentaire de la théorie des probabilités par M. Tchebycheff, aux Leçons autographiées sur la théorie des probabilités par M. Davidoff et au mémoire de M. TchebycheflF: Sur les valeurs moyennes^ 1866. Pour la rédaction de la méthode des moindres carrés, nous avons profité des mémoires: Méthode des moindres carrés par Gauss, traduction de M. Bertrand, Ueber die Méthode der Ideinsten Quadrate von Encke, At^sgleichung der Beobachtungs-FeUer von Dinger «t
du Calcul des probabilités par M. Liagre. Le principe de la moyenne arithmétique pour un très grand nombre d'observations est déduit des théorèmes exposés dans le mémoire de M. ïchebycheff: Sur les valeurs moyennes ^ 1866. L'application à l'analyse des résultats du tir est en grande partie empruntée au Calcul des probabilités appliqué au tir des prqjectUes par M. Didion, 1858. Les formules de l'interpolation par la méthode des moindres carrés sont données par M. Tchebycheff; nous les avons appliquées à la détermination de la projection de la trajectoire sur le plan vertical du tir , d'après les résultats du tir.
Pour faciliter l'édition de notre traité de balistique extérieure en français, nous avons omis:
1**. Le chapitre qui traite des moyens de mesurer la vitesse des projectiles et la durée de leur trajet, en renvoyant le lecteur au traité de balistique de M. Didion et aux mémoires spéciaux sur 4es appareils électro-balistiques.
2"*. Le chapitre qui concerne les lois du mouvement des projectiles dans le vide et l'application des formules du mouvement parabolique à la solution de divers problèmes du tir, à l'aide des tables de tir.
3"*. Dans le chapitre relatif à la résistance de l'air, la description des expériences sur la résistance de l'air au mouvement des corps sous de faibles vitesses, que l'on trouve dans le traité de M. Didion,
l"*. Les chapitres qui traitent des déviations des projectiles sphériques et oblongs, en renvoyant le lecteur au traité de balistique de M. Didion.
ô**. Le chapitre examijiant la similitude des trajectoires que décrivent dans l'air les projectiles sphériques et oblongs, en renvoyant le lecteur aux mémoires de M. de St-Robert et de M. de Brettes.
6^ Le chapitre relatif aux recherches sur la pénétration des projectiles sphériques et oblongs dans les milieux solides et
sur le percement des bordages des navires cuirassés, en renvoyant le lecteur aii traité de M. Didion et au compte-rendu par M. Noble sur le percement des plaques.
7*". Le chapitre qui comprend la méthode des moindres carrés et son application à l'analyse des résultats du tir, en renvoyant le lecteur aux ouvrages spéciaux et pour l'application au tir au mémoire de M. Didion. Nous ne conservons de ce chapitre, sous forme d'appendice, que les formules d'interpolation par la métliode des moindres carrés données par M. Tchébycheflf.
Les chapitres qui contiennent nos recherches sur le mouvement des projectiles oblongs dans l'air et leur application à la solution des problèmes du tir ne sont pas une traduction des chapitres VII et VIII de l'édition russe de notre traité; nous y avons fait de notables changements. Nous commençons par déduire la vitesse angulaire de l'axe de tigure d'un projectile oblong autour de la tangente — supposée immobile et la résistance de Pair en sens contraire de l'axe de figure supposée constante — en intégrant les équations différentielles d'Euler du mouvement de rotation d'un corps solide, et puis nous formons les équations différentielles du mouvement de rotation de l'axe de figure d'un projectile oblong considérant que durant tout son trajet la tangente s'abaisse et que la résistance de l'air varie. Ces équations renferment des termes qui — dépendant du cosinus de l'angle v que fait le plan vertical passant par la tangente avec le plan passant par la môme tangente et l'axe de figure — changent de signe. Dans l'état actuel de l'analyse, l'intégration même approximative de pareilles équations, entre des limites quelconques, présente des difficultés insurmontables, et il devient indispensable de les intégrer, même approximativement, par parties entre des limites où les expressions trigonométriques ne changent pas de signe. Cette intégration, qui se réduit à une intégration d'équations différentielles linéaires du premier ordre, fait voir que, quand la vitesse du projectile est un peu considé-
rable, l'axe de figure exécute un mouvement d'oscillation autour de la tangente, et permet d'étudier les propriétés de ce mouvement.
Ensuite nous posons les équations différentielles du mouvement de translation d'un projectile oblong , . en prenant pour axes des coordonnées l'abscisse des x horizontale , dans le plan vertical du tir, l'ordonnée des jT verticale et l'ordonnée des z perpendiculaire au plan des xy. Ces équations renfermant certaines expressions trigonométriques qui changent de signe, nous nous bornons, pour une première approximation, dans les équations différentielles du mouvement selon l'axe des x et celui des y aux termes qui dépendent de la composante tangentielle de la résistance, ce qui permet d'obtenir, par intégration, une première approximation de la projection du mouvement du projectile sur le plan vertical du tir. En négligeant, pour une première approximation, dans l'équation différentielle du mouvement selon l'axe des ^, le terme affecté de cosv, nous intégrons cette équation par parties, en nous servant des résultats obtenus de l'analyse du mouvement d'oscillation de l'axe de figure, et nous eu déduisons une première approximation de la projection horizontale du mouvement du projectile. Nous appliquons ces calculs à deux cas particuliers bien différents: l'un à un tir direct avec une vitesse initiale considérable et l'autre à un tir courbe avec une petite vitesse initiale, et nous déterminons les valeurs des corrections fournies par les termes négligés dans les équations différentielles du mouvement. Ces applications font voir la faible influence des termes négligés sur les résultats.
Le calcul par parties de la projection horizontale du mouvement étant trop long pour les besoins de la pratique, nous donnons des formules simplifiées de ce mouvement, en remplaçant les valeurs variables des expressions de l'angle que fait l'axe de figure avec la tangente et de celui que fait le plan vertical passant par*la tangente avec le plan qui passe par la même tangente et l'axe de figure — en les remplaçant par leurs valeurs moyennes dans deux demi-oscillations moyennes de l'axe
de figure: l'une ascendante et l'autre descendante, et en intégrant, après cette substitution, Téquation du mouvement selon Taxe des ^, à partir de Torigine du mouvement jusqu'à la durée qui correspond à la portée totale.
En nous basant sur l'analyse du mouvement des projectiles oblongs , nous formons l'image du mouvement d'un projectile oblong dans l'air.
La solution des divers problèmes sur le tir des projectiles oblongs n'est pas plus compliquée que celle des problèmes du tir des projectiles sphéfiques. Les résultats numériques que l'on eh obtient présentent une concordance suffisante avec les résultats directs du tir.
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