IL
TIE DIBECTT À VITESSES INITIALES INFÉBIEUEES A 376"-*.
87. Exposé. Quand la vitesse initiale est inférieure à376''", on doit calculer la trajectoire dans Thypothèse de la résistance (n^ 51)
où, en posant n = II^ ,
ety le mètre et le kilogramme étant pris pour unités (n^ 28)^
Le tir direct ayant lieu en général sous des angles de projection qui ne dépassent pas 15°, on peut calculer la trajectoire sans la di* Tiser en parties, et poser a = 1, quand les angles de projection sont
compris entre et 8°, et a = -j?^, quand les angles de projection dépassent 8°.
On résout dans ce cas les problèmes sur le tir direct à Taide des formules insérées dans la section: tir courbe à fidbles charges.
88. Déterminer la portée connfiissant Vcungle de projection et la vitesse initiale.
Le point de chute étant à une hauteur h au-dessus de la bouche à feu^ on aura la portée a à l'aide de la formulé (n° 70)
|.tB«9.»-5^.®(',n')-''=».
En essayant successivement plusieurs valeurs de Zj prises dans la table des valeurs de 9 {z, Vq% on trouvera deux valeurs du premier membre de l'équation, assez rapprochées, entre lesquelles est comprise la valeur de &, et on aura la valeur cherchée de au moyen de parties
proportionnelles; on obtiendra k portée en multipliant ^r par -.
Le point de chute étant à hauteur de la bouche à feu^ on aura la portée x à l'aide de la formule (n"" 66)
^«(^,n«)=^f sin29, où. = îî,Fo«=(^»y.
Après avoir calculé la yaleor du second membre de l'équation, on trouYora la yaleur de xr à l'aide de la table des j?.$ (z^ Fq*), comme
on l'a exposé au n° 60. En multipliant par ~ on aura la valeur de la portée cherchée.
89. Déterminer la vitesse initiale d^un prcjectUe^ tiré sous un angle de projection donné <f^ gui doit toucher un point donné (a, b). On déterminera la vitesse initiale à l'aide de la formule (n^ 71)
Après avoir calculé la valeur de F^, à l'aide de la table de F(z)y on obtiendra la valeur de la vitesse initiale cherchée F, en multipliant Fo par j^.
Si le point à battre est à hauteur de la bouche à feu, on a 6 = 0ete = 0.
90. Déterminer Va/ngle de projection 9 sous leguel un prcjectUe 9 tiré avec une vitesse initiale donnée F, doit toucher un point donné (a, b). On a pour déterminer l'angle de projection 9 l'équation (n° 72)
où l'on n'a conservé devant le radical que le signe moins, puisque le tir n'a lieu que sous de petits angles de projection. On calculera
d'abord la valeur approchée de 9 en posant -8^ = 7, ^o*=75"> et puis,
s'il le &ut, une valeur plus précise, en cherchant a qui correspond à
la valeur trouvée de 9 et en posant j^=^, V^=^^ — ^^'
Si le point de chute est à hauteur de la bouche à /eti, on a
sin29 = ^«(^,Fo«)
et Ton calculera d'abord la valeur approchée de 9 en posant ^=^j ^0*= -^1 ®t P^îs, sMl le feut, une yaleur plus précise, en cherchant a qui correspond à la yaleur trouvée de 9 et en po* 8antir=î^,Fo»=^^^.
91. Déterminer Vangle et la vitesse de chute et la durée âa troQel.
L'angle de chute est donné par la formule
tang tf = tang 9 — ^,3 (^,Fo«).
La vitesse de chute est donnée par la formule
La durée du trajet est donnée par la formule
92. Déterminer la vitesse initiale diaprés celle que le projectile possède à une petite distance a de la bouche à feu. Si le point de la trajectoire où l'on connaît la vitesse v est à une petite distance de la bouche à feu, la valeur absolue de l'angle de projection 9 diffère peu de l'angle d'inclinaison â en ce point, de sorte que l'on peut poser COS9 = cos tf , et l'on obtient la vitesse initiale F, dans le cas où V est inférieure à 376°*', de l'expression
et comme (n° 51)
on a
En déyeloppant e en série et en se bornant aux membres où ^ entre à la première puissance, on obtient
r=.[iH-4(i^^)].
93. Déterminer Vangle de projection rapporté à la ligne qui va de la houche à feu au but, lorsque Vélévation du but et Tangle de projection ne sont pas considérables. L'expression de l'angle de projection d'un projectile qui doit atteindre un objet situé à une distance et à une hauteur déterminées au-dessus de la bouche à feu (n^ 90) est plus compliquée que dans le cas où l'objet à battre est à h môme hauteur; mais elle peut devenir aussi simple dans les cas ordinaires, ceux où l'angle d'élévation du but et l'angle de projection ne sont pas grands. Dans ce cas, on peut poser a =: 1 . En appelant a et & la distance horizontale et la verticale du but au point de départ et e
l'angle d'élévation du but, on a tang e = -, et l'équation (1), n"^ 5 1 ,
après la substitution de y = i, a; = a et la division des deux membres par a, donne
(tang9-tange)cos»9 = 2Tâ« g, ^'),
ou
or lorsque les angles e et ç sont petits, on peut poser ^^ = 1 et -^ = ^ , et l'on a sensiblement
sin(<p-0=,f.«(^S)
pour l'expression de l'angle de projection rapporté à la ligne qui va de la bouche à feu au but — expression indépendante de l'angle d'élévation du but,* ainsi qu'on devait s'y attendre (n° 83).
94. Relation entre les hauteurs des hausses ^ les angles de projection et les angles d^élévation du but. Soit (fîg. 1 1) le centre de la tranche de la volée et en même temps le point de d^art du pro-
jectile; OÂ le prolongement de Taxe de la bouche à feu q[ue l'on suppose coïncider avec la tangente à la trajectoire au point de départ; M le point à battre, P sa projection sur l'horizontale OP; CB h hauteur du bouton latéral de mire au-dessus de l'axe de hi bouche; EB la hauteur au-dessus de Taxe de la bouche du point à partir duquel on compte les hauteurs de la hausse latérale. Le prolongement de la droite MB détermine la hauteur FE de la hausse qui convient à la distance OM. On mène BQ parallèle à l'axe AD. L'angle FID que &it la ligne de mire FM avec l'axe de la bouche, angle égal à celui FBQy est l'angle de mire.
L'angle de mire m est déterminé au moyen de l'angle de projection AOP=(f, de l'angle d'élévation du but MOP=e. et de l'angle 0MB =^i, sous lequel les points et £ sont vus du but; le triangle lOM donne AOM= AIM-^ 0MB ^ ou 9 — s = w -t- î, d'où
L'angle i, ayant son sommd; au but et s'appuyant sur les points et Bj étant toigours assez petit, on peut le négliger et poser
c'est-à-dire admettre que l'angle de mire est égal à l'angle de projection rapporté à la ligne qui va de la bouche à feu au but.
En représentant BC par r, ED par £, la distance du bouton de mire à la hausse BO par 2, k hauteur de la hausse FE par A, on aura du triangle FBO
FO = BOAmgm,
ou d'où ou bien
A -f- 5 — r = l . tang m, A=:i.tangw — (jR — r),
A = Z. tang (9 — 6) — (B—r).
Si BG=^EDy c'est-à-dire si iS = r, comme cela a lieu pour
toutes nos bouehes à feu nayées et pour la plupart des bouches à feu lisses, on a
A = Z. tang(«p — s).
95. Relation entre les déplacements latéraux de la hausse et les déviations latérales des projectiles. Si la trajectoire est comprise dans le plan vertical passant par Taxe de la bouche à feu et si la bouche est munie d'une hausse latérale, il faut, pour atteindre {ûg. 1 2) le point M qui se trouve dans ce plan, déplacer la hausse à droite d' une quantité
Ff= FB . tang FBf, ou Ff= FB . tang 0MB.
Hais l'angle 0MB ayant son sommet au but et s'appuyant sur les points et J5 est toujours assez petit, de manière qu'on peut le négliger, et l'on ne munit pas de point de visée mobile les hausses latérales des bouches à feu lisses.
Si la trajectoire du projectile est à double courbure (comme celle des projectiles oblongs) et la déviation latérale du projectile à la distance OM=a est MM' = Zj il faut pour atteindre le point M dévier la bouche à feu de l'angle MOM' en déplaçant latéralement
le point de visée mobile de la hausse d'une quantité Ff = FB . ^^ • En représentant F/^par ï, posant, sans erreur sensible, nilf' == MM'^=z, nB=MO = rt, et observant (fig. 1 1 ) que FB = VP-^[h-^R—rY, on obtient
Si JB = r et si h est petit en comparaison de ly on a pour le déplacement latéral du point de visée de la hausse
96. Erreur due au pointage. En représentant par Ai l'erreur dans la hauteur de la hausse, par A^ l'erreur dans le déplacement latéral du point de visée de la hausse, et par a la distance du but, on aura approximativement
la distance verticale ày du projectile au but
et la distance latérale ^z du projectile au but
97. Erreur due à V inclinaison des tourillons. Si la bouche à feu tourne autour de Taxe de Tâme et le tourillon de gauche s'élève de telle sorte que son axe fait un angle a avec la position primitive et horizontale (fig. 1 3), le sommet du bouton de mire B et le point (fig. 11) décriront aussi un angle a et se déplaceront en G' sur la figure 13; la hausse dont la direction coïncidait avec FEG perpendiculaire à l'axe de la bouche et à celui des tourillons avant leur rotation, se déplacera en F'E'G\ qui sera perpendiculaire à Taxe de la bouche et à la nouvelle position de l'axe des tourillons, la hauteur F' G' étant égale à FG. Pour qu'il n'y ait pas d'erreur dans le pointage par suite de l'inclinaison de l'axe des tourillons, il serait nécessaire que la hausse, nonobstant l'inclinaison de l'axe des tourillons, fiU comprise dans le plan vertical parallèle à l'axe de la bouche et passant par le sommet du bouton de mire déplacé, c'est-à-dire que la direction de la hausse coïncidât sur la figure 13 avec F" (5'. Mais la hausse s'étant déplacée en F^E\ il en résulte une erreur Aï dans le déplacement latéral de la hausse égale -XF'fet une erreur àh dans la hauteur de la hausse égale à F"/*, et
Aï = F Y = JF" « ' . si n a = (/i H- iî — r) sin a ,
AA=2^/-=F'(?' (1 ~C08 a)= 2FG' . sin^ l = 2(h-i^R — r) sin« ^.
Donc, si l'on pointe une bouche à feu, lorsque le tourillon de gauche est au-dessus de celui de droite, sans avoir fait les corrections correspondantes dans la hausse, le projectile touchera (n^ 96) un point situé approximativement à droite du but d'une quantité
A^= j (A H- iî r) sin a
et au-dessous du but d'une quantité
Pour le canon obusier de 12^ lisse, on a 72 = r, 1 = 1",732. Soit une roue de son affiU au-dessus de l'autre de 0"*,152; récartc-
ment des roues étant de 1",473, on a sîn a= ^ et a == 5^57'.
Pour un tir à boulet avec une charge de 1*^,126 de poudre à canon, à une distance de 850", la hauteur de la hausse est h = O'",0864. On aura Terreur due à l'inclinaison des tourillons
Ay = 0^2.
Pour le canon rayé de 4* on a iî = r, l = 0'",724. Soit une roue de son affût au-dessus de Tautre de 0™,152; l'écartement des
roues étant de 1",473, on a sin a = ^et a = o%T. Pour un
tir à obus avec une charge de 0^,614 de poudre à canon, à une distance de 850™, la hauteur de la hausse est A = 0"\0343. On aura Terreur due à l'inclinaison des tourillons *
Ay=0",2.
A la distance de 1700", la hauteur de la hausse est A=0'",0762, et on aura Terreur due à la même inclinaison des tourillons
Ay=r,l.
IV, Tir plongeant.
98. Exposé, Dans le tir direct et le tir courbe on a pour but de toucher un point donné, et, pour satisfaire à cette condition, on détermine Tangle de projection pour une vitesse initiale donnée, ou la vitesse initiale pour un angle de projection donné. Dans le tir
plongeant, la trajectoire doit satisfeire à deux conditions (\q projectile doit passer par deux points donnés, ou bien par un point donné sous une inclinaison donnée), et pour que ces conditions soient obtenues, il est indispensable que la vitesse initiale et l'angle de projection aient des valeurs déterminées.
Dans la plupart des cas du tir plongeant, la vitesse initiale est inférieure à STô""*"; par suite, nous nous occuperons de la solution des problèmes qui s'y rapportent dans l'hypothèse de la résistance de l'air (n° 51)
OÙ, en posant II = IIi ,
et, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités, cA> = 0,012; r=186"*^
Lorsque les vitesses sont considérables, le tir plongeant a lieu sous de petits angles de projection, et même lorsque les vitesses sont petites, les angles de projection ne dépassent pas ordinairement 1 5°. Par suite, dans les formules du n° 51 qui servent à la solution des problèmes sur le tir plongeant on posera a = 1.
99. Déterminer la vitesse initiale et V angle de projection d^un projectile qui doit passer par deux points donnés. Soit a et 6 la distance horizontale et la verticale de l'un des points à la bouche à feu, a' et V celles de l'autre point; F et 9 étant la vitesse initiale et l'angle de projection cherchés.
Puisque la trajectoire doit passer par le point dont les coordonnées sont a et 6, on aura
6 = atang9-^«(^.Fo«),d'où
De môme puisque le second point doit aussi se trouver sur la trajectoire, on aura
retranchant ces deux équations membre à membre, on aura
ou
Faisant pour abréger et observant que
on obtient
Connaissant V^ on déterminera la valeur de la fonction 9 (^, Vq\ et celle de ® (^, Fq^); alors, en divisant l'ime par l'autre les expressions de tang 9 — - et de tang 9 — ^ , on aura pour la valeur de 9
tang 9 =
Connaissant 9, on déduira F, en multipliant V^ par ^j^. *
100. Déterminer la vitesse initiale et Vanyle de projection d^un projectile qui doit passer par un point donné sotis une indi-
naison donnée. Soit a et & la distance horizontale et la verticale du point donné à la bouche à feu, et û l'inclinaison de la trajectoire en ce point.
La trajectoire devant passer par le point dont les coordonnées sont a et fe, on devra avoir
rï2
&=^ûtang<p-,^a^(f.F/),
d'où, en foisant - = tans: £,
tang9-tang£ = ^?,q?(^,Fo'^).
La trajectoire, devant avoir au point donné l'inclinaison , on aura (w° 51, éq. 2).
tang 9 — tang â = ^^S (^, V^^). ^ Retranchant ces deux équations Tune de Tautre, on aura . tange -tang^ = ^,[2 3(f , F/)--«(j, f/)],
ou
|^(tangs-tang<9).F„'' = 2 3(f,Fo»)-4*(î,F„»). Faisant pour abréger
^'(taiige-taug^) = (2, et observant que
3(f, n*)=(iH-F,y.(f)-n-ç(^, Fo«)=(i-^Fo^)i?(j)-n»,
on obtient
"~Ke-i-[2>,0)-F(i)]-
Connaissant F», on calculera 9 (", vAei 3 {j, VJ^y, puis en divisant l'expression tang cp — tang e par celle de tang cp — tang â, on aura pour la valeur de «p
2tang e. 3(f , vfj-tmgO .9{^, F/) '"' ' = 23(5,F„^)^(^,n^)
Connaissant 9, on aura F en multipliant Vq par^^^.
Dans le cas du tir plongeant Tangle â est négatif, et si Ton représente sa valeur par — â^, il faudra substituer — 0^ k dans toutes les formules de ce numéro.
101. Limite de la Jiautcur à laquelle on peut raser la crête d^un parapet sous une inclinaison donnée. Soit 9 le plus grand angle de projection qu'on peut obtenir de la bouche à feu montée sur son affût, a la distance du but, b la plus grande hauteur qu'il peut avoir, pour que l'inclinaison de la trajectoire en ce point soit â. La trajectoire devant passer par le point (a, fe), on a
fc = atang<p-5^^(f,n'»).
L'inclinaison de la trajectoire au point (a, b) étant ^, on a tang6^ = tang9-^^3(f,Fo«); cette équation donne
J(tang«p-tang<5>). F„« = 3(f,Fo^); posant pour abréger
^(tang9— tang<?)=Ç
et observant que 3 (" , V/) = (l -♦- V*)f, (f) — F„«, on obtient
Connaissant V^, on détermine F en multipliant V^ par ^^ et on trouve® (^, F^^V On obtient la valeur de 6 au moyen deTéquation
6=.atang<p-^$(f,F/).
Dans le cas du tir plongeant Tangle â est négatif, et si Ton représente sa valeur par — ^,, il fendra substituer — â^ ^â dans toutes les formules de ce numéro,
102. Limite de la hauteur à laquelle on peut^ en rasant la crête d^un parapet ^ toucher un point donné du terre-plein. Soient a et & les coordonnées de la crête du parapet; a la distance horizontale du point du terre-plein à la crête du parapet, p sa hauteur relative au-dessous de la crête. Le projectile devant raser la crête du parapet et toucher le point donné du terre-plein, on a, en foisant a' = a h- a,
6 = atang<p-2-^V«(f,Fo«),
