CO
80. Calculer par parties la trqjeaoire sow un certain angle de projection et déterminer ^ diaprés les résultats obtenus^ les angles de projection j les angles et les vitesses de chute et les durées qui correspondent à différentes portées. Soit 9' l'angle de projection de la trajectoire que l'on calcule par parties.
1°. On choisira le premier arc de la trajectoire (fig. 10) du point de départ 0, où la vitesse initiale Fest plus grande que 376"|'' jusqu'au point M où la vitesse F = 376";* et on le calculera dans l'hypothèse K 52)
où
et, le mètre et le kilogramme étant pris pour unités (n° 28),
On déterminera d'abord la valeur approchée de l'angle d'inclinaisott 9" de la tngectoire au point M, à l'aide de la formule (6),
tang<p'' = teng<p'-i^(l-^),
en posant a = '^^, , V^ = Fcosç', F/ = F'cos<p', et ayant cette valeur approchée de 9", on obtiendra a de la formule (n° 61)
On aura la valeur de 9''<6ufSsamment précise , en mettant dans l'expression précédente de tang 9'' la valeur de a et en posant dans F/= FCOS9" pour 9" sa valeur approchée.
Connaissant la valeur de 9" et celle de a, on trouve a/= OQ à l'aide de la formule (3), n° 52
t/ = MQk l'aide de la formule (1), n° 52
la durée tf du trajet du projectile du point au point M à l'aide de la formule (5), n° 52
On aura en coordonnées obliques, Tabscisse 0P= X'du point Jlf
l'ordonnée MP= T du point M
En admettant l'indépendance des angles de projection et des distances verticales des points de la trajectoire à la tangente au point de départ,
l'angle de projection <P| déterminé de l'expression
sinçi = ^,
doit correspondre à la portée horizontale
x^ = Z'cosçi.
L'angle de chute Û^^ la vitesse de chute v et la durée du tnget t^ seront définis (n° 79) par
tangtfi = teng9" — tangç'-fr-tangçi,
• V^eoB^
^— cosôi »
2°. On calculera les arcs suivants de la trajectoire sous l'angle de projection 9' dans l'hypothèse de la résistance (n° 51)
^ 132 — Où
«t, le mètre et le kilogramme étant pris ponr unités (n° 28),
8ll. = 0,012;r=186-"
Pour calculer le deuxième arc on choisira une valeur quelconque pour 2"= OP', on aura, pour l'abscisse horizontale MÇ[=zji' du point iiT
a/' = (X"— X^cosç'.
On déterminera d'abord la valeur approchée de l'angle d'inclinaison 9"' de la trajectoire au point ilT à l'aide de la formule (2), n-Sl
teng<p'"=t«ng<p"-^^,5C^',iiI^^)
en posant a = jj^ , et ayant cette valeur approchée de 9'", on obtiendra a de la formule
* tangç" — tangç'"'
Connaissant la valeur de a on aura la valeur de 9''' suffisamment précise en mettant la valeur de a dans l'expression précédente de tang 9^^, et Ton trouvera
rordonnée ISUÇf = / du point it à l'aide de la formule (1),
/ = ^'tang9''-,^Cv'*(?^ "^^^> la vitesse F' au point Jit à l'aide de la formule (4) n° 51 •
^ ®^^^ — ^^ax" atF'ico8«9"\;
nv' — ? — )
la durée f du trajet du projectile du point M au point M' à l'aide de la formule (5), n"" 51
^ — Fsss^^-'^VT» — ^ — j;
la durée da tnyet da projectile du point de départ au point M' sera
« En* coordonnées obliques, l'abscisse OP da point M! est ceUo que Ton a choisie Z", et on aura Tordonnée M!P == F" du point W
r'=r-*-(r'-x')sin(p'-/.
L'angle de projection 9, déterminé de l'expression
correspondra à la portée horizontale
a?, = X"co8 9,.
L'angle de chute 0^^ la vitesse de chute v et la durée totale du trajet t^ seront définis (n^ 79) par
tangdg = tang9''' — tang9'-i-tang9,,
* fi — Za^siï!!
cose, »
8^. Pour calculer le troisième arc de la trajectoire sous l'angle de projection 9', on choisira une nouyelle valeur X'"=iOP^\ on aura pour l'abscisse horizontale M'Q[' s=z o^' du point Jf'
a^" = (X'" — X")cos9'.
On déterminera les valeurs de tang9^, de j/'\ de F*'cos9^, de f de la môme manière que les valeurs correspondantes du deuxième arc de la trajectoire.
En coordonnées obliques l'abscisse OP' du point M* est celle que l'on a choisie X*^, et on aura l'ordonnée ilf P" = Y" du point M"
r"=r'-*-(X'"— X'>sin9'-î/".
L'angle de projection 9, déterminé de l'expression
correspondra à la portée horizontale
L'angle de chute â^j la vitesse de chute v et la durée tfttale du trajet f, seront définis par
tangua = t»»SÇ^'^ — tang(p'-^tang98,
COSdg
fin continuera les calculs de la même manière.
81. Application. Dans le tableau suivant on a inséré les résultats du calcul de la trajectoire d'un boulet sphérique tiré d'un canon de 27 3"" sous l'angle de projection 9' = 6? avec une vitesse initiale de 438™.
Le poids du boulet P= 72^ 48 ; son diamètre 2B — 0",2695 ;
on
a pris n = n^; ^^ = 64,71 ; la vitesse initiale F= 438"^
Trajectoire d'un boulet sphérique tiré du canon de 278»» sous Pangle de projection 9' =6^, avec une vitesse initiale
de 488»'.
Abscisses suirant la
tangente aii point de
départ.
Distances verticales des points de la trajectoire à la tan^rente au point de départ.
Inclinaison
delà
trajectoire.
Projections
horizontales
des Titesses.
t;'co8e
Dorées des
Sagènes.
Mètres.
Mètres.
Mètr. sec.
Secondes.
En admettant l'indépendance des angles de projection et des distances verticales des points de la trajectoire à la tangente au point de départ, on a calculé, d'après les résultats obtenus, la table suivante.
Table de tir direct du canon de 278'''^ avec un boulet sphèrique animé d'une vitesse initiale de 438»".
Portées horizon- Ules.
Angles de projection.
Angles de chute.
Vitesses de chute.
Durées.
Mètres.
Mètr. sec.
Secondes.
On peat obtenir les angles de projection, les angles et les vitesses de chute et les durées qui correspondent aux portées éguidistanteSy d'après les données insérées dans cette table, à l'aide d'une interpolation graphique.
82. Degré de précision des résultats obtenus. Pour fidre Yoir que la table de tir direct ainsi calculée a une précision suffisante, observons que les plus grandes erreurs doivent correspondre aux angles de projection de 32' et de 13^6', comme à ceux qui diffèrent le plus de l'angle de projection 9' = 5^ sous lequel la tnû^<^toire a été calculée par parties.
En remarquant que pour la portée 324"',9 la vitesse de chute est près de 37 6""'" et par suite calculant pour cette portée l'angle de projection 9, l'angle de chute â^ la vitesse de chute v et la durée t^ dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de hk vitesse, on trouve 9 = 0^32', ^ = 0^35', t; = 376T:', < = 0;802, valeurs très proches de celles qui sont insérées dans la table.
En calculant la trajectoire sous l'angle de projection 13^6' et en la partageant dans ce but en trois ari;^: le premier à partir du point de départ jusqu'au point où la vitesse est de 37 6"°'% le second à partir de ce point jusqu'au point de la branche descendante où l'inclinaison de la trsgectoire est égale et de signe contraire à l'inclinaison au point où h vitesse est de 376°"'', et le troisième arc à partir du dernier point jusqu'au point à hauteur de la bouche à feu, on
trouve a? = 3376"^, d = 21^49', t; = 178"" et <= 145498 des résultats qui ne diffèrent pas beaucoup de ceux qui sont insérés dans la table.
83. Dans les cas ordinaires du tir direct Vangle de projection rapporté à la ligne gui va de la bouche à feu au point à battre^ est sensiblement indépendant de V élévation de ce point. Quand les angles de projection ne sont pas grands, on peut poser a = 1, et en appelant a la distance horizontale et h la distance verticale du but au point de départ, on mettra l'équation (7), »^ 50 de la trajectoire; quelle que soit la loi de la résistance de l'air, sous la forme
6 = atangç— ^|(te | ^ (a?, V^dx.
En représentant par e l'angle d'élévation du but, c'est-à-dire l'angle que &it avec l'horizon la ligne qui va du point de départ au
but, on a tang s = ^ et divisant les deux membres de l'équation de la trajectoire par a on obtient
tang9 — tang«=||(te J^(a?, Fj) dx,
ou
9in (» — c) ^
l]dxl^{x,r,)dx.
Pour de petites valeurs de 9, h projection horizontale F^ de la vitesse initiale diffire peu de la vitesse initiale F, de sorte que l'on peut considérer le second membre de l'égalité comme indépendant de 9, et le produit cos 9.COS e, qui* entre dans le premier membre, différant, pour de petites valeurs de 9 et de s, peu de l'unité, on peut poser
sin(9 — e)= JJcte|^(a?, r)dx.
Cette expression &it voir qae l'angle (9 — s) formé par la tangente an point de départ avec la ligne qui va du point de départ au but, c'est-à-dire Vangle de projection rapporté à la ligne qui va du point de départ au but, est sensiblement indépendant de l'angle de l'éléyation du but, ou de la hauteur du but.
C'est sur l'indépendance de l'angle (9 — e) et de la hauteur du but qu'est fondé le pointage des bouches à feu au moyen de la hausse.
84. Cas où la vitesse de chute n^est pas inférieure à 376^'-^. D &ut dans ce cas calculer la trajectoire, sans la diviser en parties, dans l'hypothèse de la résistance (n^ 52)
où, en posant II = 11^,
et, le mètre et le kilogpramme étant pris pour unités (n° 28),
Si la hauteur du but n'est pas considérable, on peut poser a=l, et en appelant a et 6 la distance horizontale et la verticale du but au point de départ, et c l'angle d'éléyation du but, on a tang s =* ^ et réç[uation (1), n° 62 donne
ou
(tang 9 — tang e) . co8« 9 = ^ JP (?)
or, lorsque les angles 9 et s sont petits, on peut poser ^^ = 1 et l'on obtient pour l'angle de projection rapporté à la ligne qui va da point de départ au but l'expression
8in(9-«) = ^>(;).
On aura Tangle de chute de la formale
tang<9 = tang9-T^^.(^).
La vitesse de chute sera
On aura la durée
85. Déterminer la vitesse initiale diaprés celle que le prqje^UUe possède à une petite distance de la bouche à feu. Si le point de la trajectoire où l'on connaît la vitesse v est à une petite distance de la bouche à feu, la valeur absolue de l'angle de projection 9 diffère peu de celle de l'angle d'inclinaison 6 en ce point, de sorte que l'on peut poser cos 9 = cos â et l'on obtient la vitesse initiale V, dans le cas où V n'est pas inférieure à 376°'', de l'expression
OU en développant e^ en série et en négligeant devant l'unité les termes où -^ entre à la puissance seconde et aux puissances supérieures, on a
86. Pour des durées de trajets gui ne dépassent pas 0M5^ la vitesse du projectile au point milieu du trajet est sensiblement égale au rapport de la longueur du trajet à sa durée. Four un trajet a, qui correspond à une pareille durée, h valeur absolue de l'angle d'inclinaison 9 de la trajectoire à l'origine du trsget diffère peu de celle de l'angle d'inclinaison ^ à la fin du trajet, de sorte qu'on peut poser CO89 = cos ^, et appelant F la vitesse du projectile à l'origine
du tnyety. on a^ si cette vitesse est supérieure à 37 6"*''% Texpressioii suivante de la durée t du trsget a
' = T''.(fe).
et la vitesse du projectile au milieu du trajet a sera
En éliminant V entre les deux équations, on obtient
OU si Ton observe (n° 52) que F, (^)= îi^ et qu'on développe
Fj (^) et c** en séries, en négligeant devant l'unité les termes où ^
entre à des puissances supérieures à la troisième, on aura la vitesse au milieu du trajet a
Cette formule sert à prouver qu'en mesurant des durées qui ne dépassent pas les limites de OHO à 0;i5 on peut, sans erreur sensible, prendre le rapport de la longueur du trajet à sa durée pour la vitesse du projectile au milieu du trajet.
