MOUVEMENT DES PROJECTILES OBLONGS DANS L'AIR
MOUVEMENT DE ROTATION DES PROJECTILES OBLONftS.
103. Équations du mouvement de rotation dhin corps solide. Le mouvement d'uu projectile oblong, comme celui d'un corps solide, peut être décomposé en un mouvement de translation de son centre de gravité et en un mouvement de rotation du projectile autour de son centre de gravité. Examinons d'abord le mouvement de rotation du projectile en supposant son centre de gravité immobile.
Le mouvement de rotation d'un corps solide est déterminé par les trois équations d'Euler. L'origine des coordonnées y est supposée au centre de gravité du corps et les axes des coordonnées sont les axes principaux centrais du corps. Toutes les forces extérieures sont composées en une seule force passant par le centre de gravité du corps et en un seul couple.
Pour obtenir les équations du mouvement de rotation du corps, on doit égaler la somme de l'expression générale de la projection de l'axe du couple des forces tangentielles sur chacun des axes principaux et de celle de la projection de Taxe du couple des forces centripètes sur le même axe, à la projection de Taxe du couple des forces extérieures sur le môme axe principal.
En représentant par -4, J5, G les moments d'inertie du corps autour des axes principaux rr, y, z^ par la vitesse angulaire du corps
autour d'un axe instantané, par p^ q, r les projections de cette vitesse sur les axes principaux, et par L, M^ N les projections de Taxe du couple des forces extérieures sur les mêmes axes, on aura pour les équations générales du mouvement de "rotation d'un corps solide
Un projectile oblong étant un corps de révolution, l'un de ses axes principaux est son axe de figure, et l'on peut prendre pour les deux autres deux perpendiculaires quelconques situées dans le plan équatorial du projectile, car ses moments d'inertie autour de tous les axes situés dans ce plan sont égaux entre eux. Ces moments d'inertie sont plus grands que celui autour de l'axe de figure du projectile. Prenant l'axe de figure du projectile pour Taxe des a:, on a
104. Projections de Vaxe du couple de la résistance de Vair sur les axes principaux d'un projectile oblong. Dans le mouvement des projectiles oblongs l'accroissement de pression sur certaines parties de leur surface et la diminution sur d'autres, qui se produisent suivant que ces parties ont un mouvement de rotation dans un sens contraire au mouvement de translation ou dans le même sens que ce dernier — cette augmentation et cotte diminution de pression (n"^ 5) ne peuvent être bien grandes. En en faisant abstraction, ainsi que du frottement de l'air contre la surface du projectile, on n'a à considérer, parmi .les forces extérieures qui agissent sur le projectile pendant son mouvement dans l'air, que celle de la gravité et celle de la résistance qui s'exerce normalement sur thaque élément de la surface du projectile, soumis à l'action de la résistance. La force de la gravité, comme appliquée au centre de gravité du projectile, ne donne point de couple, et la résistance de l'air donne un couple dont l'axe
est perpeudiculaire à celui de figure du projectile et à la tangente de la trajectoire.
Rapportons le projectile et ses axes principaux mobiles Ox^ Oy^ Oz (fig. 14), dont Vaxe Ox est celui de figure, aux axes fixes rectangulaires Ox^y Oy^^ Oz^j dont Taxe Ox^^ coïncide avec la tangente de la trajectoire, en la supposant d'abord immobile. La ligne O-Wd'intersection des plans yOz et y^Oz^, étant perpendiculaire à Taxe de figure Ox et à la tangente Oxj, représentera la direction de l'axe du couple de la résistance de Pair. Cet axe sera dirigé dans le sens de ON, car dans les projectiles oblongs le couple de la résistance de l'air (n^ 18) tend à éloigner l'axe de figure. Oa; de la tangente Oxi% Appelante la grandeur de cet axe et t] l'angle NOy, on trouve que les projections de cet axe sur les axes principaux du projectile Ox, Oy, Oz sont zéro, X'cos 7) et — JST sin t).
105. Expression du couple de la résistance de Vair, quand ï angle i que fait Vaxe de figure du projectile avec la tangente n^est pas grand. En représentant par p^ la composante de la résistance de l'air dans le sens contraire à celui de l'axe de figure du projectile, par Çb la composante de cette résistance perpendiculaire à l'axe de figure et située dans le plan passant par Taxe de figure et la tangente, et par d la distance du centre de la résistance au centre de gravité du projectile — distance exprimée en parties du rayon R du projectile, on aura pour le couple K de la résistance l'expression
et comme (n" 1 7)
Pb = x-Pa.
on a
*) Nous compterons comme positifs les axes des couples et les axes des rotations disposés de manière qu^ln spectateur, appuyé contre l'axe et ayant les pieds à Torigine de Taxe, voie la rotation se produire devant lui de droite à gauche.
Sur la figure 5 sont tracées les courbes de -y-, de jg- ©t de d pour les projectiles semblables à notre obus de 4^ à chemise en plomb,
les angles 8 étant pns pour abscisses et les valeurs de ^ , -^- et d pour ordonnées. On a construit sur la figure 1 5 la courbe des valeurs de ^- d qui correspondent à différents angles *, pour les projectiles semblables à notre obus de i\ Cette figure fiiit voir que quand les angles i sont petits, ce qui a toi^'ours lieu dans le cas du tir direct, la relation entre les valeurs de ^ • () et les angles 8 peut être représentée par
où, pour les projectiles semblables à notre obus de i\ on a
La courbe exprimée par cette équation est représentée sur la figure 1 5 par des traits interrompus.
En mettant la valeur de ^ • d dans l'expression du couple K, on a K=h.R. ^x^ini.
106. Équations du mouvement de rotation d'un projectile (Mong. n suit de ce qui a été énoncé que les équations du mouvement de rotation d'un projectile oblong peuvent être mises sous la forme
^Jt "*"(^ — A)pr = hB^i,smh.eos'tiy
J5^ — (B — A)pq = — fti?pA sin 8 . sin t).
En intégrant ces équations, ^nous supposerons qu'au moment à partir duquel sont comptées les durées, le plan qui passe par l'axe de figure et la tangente coïncide avec le plan fixe z^ Ox^ , que l'axe
de figure fait à ce moment l'angle 8^ avec la tangente fixe Ox^^ et que c'est dès lors qu'agit le couple de la résistance K — hRçj^smij dans lequel nous considérerons p^ comme constante.
La position des axes principaux du projectile par rapport aux axes fixes des coordonnées est entièrement déterminée, lorsqu'on connaît (fig. 14) l'angle rrOa?, = 8, l'angle yON=i\ situé dans le plan-eOy et l'angle y^ON= v situé dans le plan PiOz^.
En décrivant du point comme centre une sphère d'un rayon égal à l'unité, on aura: 1) l'angle dièdre yiNy = i que font entre eux les deux plans zOy et 2s^0y^, angle compté à partir du plan ZiOy^ et mesuré par l'arc x^x\ 2) l'arc Ny = Ti qui mesure l'angle dièdre tCiic^' formé par les ^hmx^Oxetz'Oxet compté à partir du planrr,Oa;; 3)rarcyj-N'=:v qui mesure l'angle dièdre 2^x^x formé par les, plans z^Ox^ et xOx^ et compté à partir du plan z^Ox^.
La rotation du corps autour d'un axe quelconque peut être, produite par trois rotations successives autour de trois axes qui ne sont pas parallèles à un môme plan. On peut prendre pour ces axes ou bien les trois axes principaux du corps x^ y, z, ou bien les droites ON^ Ox et Ox^ . Les vitesses angulaires autour des trois axes principaux sontjp, î, r ; les vitesses angulaires autour des axes ON, Ox, Ox^ sont^, — ^,^ ^. En décomposant chacune des trois dernières vitesses en trois autres autour des axes x, y, z, et remarquant que la somme algébrique de ces vitesses composantes autour de chacun des axes X, y, z est égale à la vitesse correspondante p, g, r autour du môme axe, on aura
i) = ^^ . cos (OiS^, ir) — Ç^ cos (ir, ;c) H- ^; cos (a?, , «), p = % cos {ON, y) — Yt -cosC^, y)'^Jt' cos(a;,, y),
*) La vitesse angulaire -^ est prise avec le signe — , parce qae l'angle r\ diminue, quand la rotation du corps autour de Tazo Ox est positive, c'est-à-dire quand cette rotation a lieu de droite à gauche pour un spectateur appuyé contre Taxe et ayant les pieds li Torigine de l'axe.
Mais: cos {ON, x) = 0, cos (x, x)= \, cos {x^, x) = *, cos (ON, y) = cos y], cos (a;, y) = 0, cos (x^ , y) = cos (a?, y) . cos (x^, )x "^ sin (a;, y) . sin (rCj , x) . cos (yiw;,) = — sin 3 sin t] , cos {ON, z) = cos (90° -4- 7]) = — sinY), cos {x, 2^) = , cos {Xy , ^) = cos {x, z), cos ( j , x^ -f- sin (a; , ^) . sin {x , a; J cos (-?a;a;i) = — sin 8. cos 7).
Par conséquent
J;cosa,
cosTj — ^ simrisino,
dt
dt
r = — -5; sin 7) — ^ cos Y] sm 0.
Tirant de ces trois dernières équations les valeurs de ^, ^, ^, on obtient
d^ dt
gcosT] — rsinr^,
-j^ sin 8 == — (g' sin i\ h- r cos tq),
-^^ sin 8 = — [p sin 8 -i- (gr sin t] -i- r cos tj) cos i].
Ces trois équations avec les trois équations (1) servent à déterminer les angles 8, v et t] en fonction du temps t.
Un projectile oblong étant un corps de révolution, sa position est entièrement déterminée par la position de son axe de figure, qui sera connue, quand on n'aura trouvé que les deux angles 8 et v en fonction du temps t.
107. La vitesse angulaire autour de Vaxe de figure est constante pendant toute la durée du mouvement. La première des équations (I), n° 106, donne
où po ^st la vitesse angulaire initiale du projectile autour de son axe
de figure; ee qui fait voir qae la vitesse angnlaire autour de Taxe de figure est constante pendant tonte la durée du monvement.
108. Vitesse angulaire j^ en fonction de V angle i. Multipliant la seeonde des équations (I), n^ 106, par sin S sin i\ et la troisième par sin 8 cos t) et &isant leur somme, on aura
^ p sin S {q cos 1] — r sin t)) -f- ^rsinScosi) ^ -h sin 8 sin ij ^
— /)sin8(3Cosij — rsinii)n=0.
En y substituant
et(éq. II n^ 106)
g cos 1] — r sm T] = ^^ , on obtient
•»v r • *> dr • k • da • «^ d^ "1 a d cos d
J5[sin8cosTig^-+-sin8smii^— PoSm8-g^J=^l>o-3^- Mais ^ (r sin 8 cos Tj -f- 2 sin 8 sin r\) = sin 8 cos ij j^ -h sin 8 sin ij ^ -*- (g cos 7) — r sin t)) sin 8 -^ -h {q sin t) -i- r cos t)) cos 8 -j^ = (éq. II) sin 8 cos fl^-^ sin 8 sin y] ^ -♦- sin 8 ^ . ^
-Bm8co88g.| = sin 8cos7i ^ -4- 8in8sin7i ^ — sin 8 ^ ( — ^ ^ ^ cosS] = sin8cosTri -J^ -4-sin8sinTi ^ — |)^^sin8^.
Par conséquent
B. rf (r sin 8 cos î) -4- g sin 8 sin ij) = -^jp^ ^ cos 8 , ou (éq. II)
B. d Uin^i if) = — ^Po^ ^^s 8 .
Pour < = 0, on a ^ = 0, g^ = et, en intégrant la dernière équation, on obtient
B sin^î ^ = Apoi^os 8^ — cos 3)^
où i^ représente la valeur initiale de l'angle 8. On en tire
r-iN d^ ApQ coa^Q — cos^
109. Vitesse angulaire ^ en fonction de V angle 8. Multipliant la seconde. des équations I, n^ 106 par q et la troisième par r et &isant leur somme, on a
|^5d(2^-*-r^ = AiîpA8Îû8(2C0S7i — rsin7i)rfi = (éq.II) — AiîpArfcos8;
mais les équations (II) donnent
«'-'^=(if)'-™'»(^)''
par conséquent
Pour t = o, on a ~ = 0, ~ = et, en intégrant la dernière équation, on obtient
En éliminant -jjde cette équation et de Téquation (1) n° 108, on trouve
110. Angle 8 en fonction du temps t On tire de la dernière équation
cos à ^
< = 1/ ôfe»7" I . F Â¥:r2
COS^n
' "l/ (cos ^0 — C08 d) Tl — C08* d -— cy/.^^^ (^08 *o — «08 *) | 0' •
une intégrale elliptique de première espèce.
On peut intégrer cette expression avec une approximation suffisante sans avoir recours aux fonctions elliptiques. En effet, les racines de l'équation
1 — cos^ 8 — 2^5 ^^^^ *o ~ ^^^*) ~ ^ sont
et
Le projectile étant animé d'une ^ande vitesse de rotation p^ autour de son axe de figure, on peut développer le radical en série et n^liger devant l'unité dans les expressions de cos 8 les puissances seconde et supérieures de la fraction ^^^; on obtient ainsi
et
par suite
«08 8 = ^S^[^—JP^ cos \)
co8 8 = cos8o— ^^8in«8o;
l co8»8^(eo88„cos8) = 2^^ [l — ^^ («08 «oH-cos «)] (cos 8 - cos «0-*- ^ sin» i^)
et
jcosd
^Po
dcosd
COSdi
2ABPaB
ou, en négligeant ^^^\ (cos 8^ h- cos 8) devant l'unité, on a
4po
dcosd
cos^o
et Ton tire t=
l/-COBdo(c08do 24^®*^**°)"*'K^^**°~^2^«"^^'^**°)^^^*"®®^**
arc cos
cos \ — J^^a sin* 8^, — cos h
d'où Ton obtient
cos8=.cos8o — ^^^?^^(l -cos%.*)sin8o.
La valeur de ^^^^j^o ^i cos^*) étant petite, on peut prendre son cosinus égal à l'unité et son sinus égal à elle-même, et l'on aura
8 = ,.H-iî^i(l-«,s^).
On voit ainsi que l'angle 8 est exprimé par une fonction périodique, dont la période correspond au temps ^^ = j- • 2tc. Par conséquent l'axe de figure Ox tantôt s'éloigne et tantôt s'approche de l'axe fixe Ox^^ , et les variations des distances angulaires de l'axe de
figure Ox à l'axe fixe Cte^ se trouvent dans les limites 8 = 8^ et
j. 5. , ^9kB sin ^0 ^=^0-^ 35-2 — •
111. Vitesse angulaire ^ de Vaoce de figure autour de taxe du
couple de la résistance en fonction du temps t. En prenant la dérivée de l'expression S par rapport à ^, on a
On voit que la vitesse angulaire ^ est exprimée par une fonction périodique, et que depuis t = o jusqu'à < =: -j- • |elle croît de zéro ^ ^^^^' ^ depuis < = ^ . l jusqu'à <= ^^ • tc elle décroît de feBp^rin^o à zéro, depuis t = ^^'T: jusqu'à < = ^. |tc elle continue de décroître de zéro à — ^^y^ depuis « = -^ . f tc jusqu'à < = :^ • 27i: elle croît de — ^^^j^^ jusqu'à zéro, et ainsi de suite.
112. Vitesse angulaire -£ de Vaxe de figure Ox autour de Vaxe fixe Ox^ en fonction du temps t.
En mettant 8 = 80-^ ^^^^^ (l -cos %*) dans l'équation (1) n° 108 et en négligeant devant l'unité les termes dans lesquels ^V'a^^ fl — cos^^j entre à des puissances supérieures à la première, on trouve
Cette quantité étant positive, l'axe de figure, lorsqu'on regarde du pôle X au centre de gravité 0, se meut autour de l'axe fixe Ox^ de droite à gauche, si la rotation du projectile autour de son axe de figure a lieu dans le même sens.
La vitesse angulaire ^ est une fonction périodique, dont la période correspond à la môme durée <i = ^ • 2 tc que celle de la variation de l'angle 8.
La plus petite et la plus grande valeurs de cette vitesse sont zéro et-^j-^ et elle les atteint aux moments où la vitesse angulaire ^ est égale à zéro et Pangle 8 est égal à sa plus petite et à sa plus grande valeur.
113. Angle v, g^e fait le plan vertical Js^Ox^ passant par Vaooe fixe Ox^ avec le plan x Ox^ passant par le même axe fixe Ox^ et Vaxe de figure Ox, en fonction du temps t. Cet angle s'obtient en intégrant Texpression -^ et a pour valeur
ou
114. Équations polaires de la courbe que décrit le pôle de Vaxe de figure sur un plan perpendiculaire à Vaxe fixe Ox^. Soit ce plan mené à une distance OT (fig. 16) du centre de gravité du projectile et soit OP^ une position quelconque de l'axe de figure. Prenons les longueurs PT pour les rayons vecteurs y et les angles v pour les longitudes de la courbe. En désignant par OP = a la position initiale de l'axe de figure, on aura
P'T = Y=OT.tang8 = acos8o.tang8.
En mettant 8 = «o -*- ^%^ (l — cos%?) et en se bornant aux termes dans lesquels ^^^^'^^^ (l — cos ^^) entre à la première puissance, on obtient
L'angle v(n° 113) est
^— AW \ B ^^ B )' Ed posant
- „: » - hBf.B sin *o o -4Po*
on a les équations polaires suivantes de la courbe décrite par le pôle de l'axe de figure sur un plan perpendiculaire à l'axe fixe Ox^
