COS^Q

(l — cosp),

v = J(3 — sinp),

ou, pour de petits angles 8^

rY = p-*-r(l — cos^),

jv = r(p sinp).

Ces équations polaires sont celles de Tépicycloîde ordinaire dont le rayon du cercle fixe est p et celui du cercle mobile est r, lorsque

le rapport - et par suite celui de - sont petits*).

*) L'épicycloïde ordinaire est une courbe AMG (fig. 17) engendrée par un point quelconque M du cercle BCM qui roule sur le cercle fixe ABD. Cherchons ses équations polaires, en prenant le point A pour origine du mouvement. Soit 03f=Y, 3fO^=v, ^0 = p, BCc:^r, MCB^^, CO^=a, COM^ol\

Le triangle MCO donne

Y2 = (p-^.r)2H-r* — 2(p-#-r)r. cosp ou

Y* =(p-#-r — rcos ?)*-♦- r^sin^P, et

Y = (p-*-r— rcos

Y ^p-i-r— r cosp/

Lorsque le rapport - a une faible valeur, on peut négliger devant Tunité les

termes dans lesquels — - entre à la deuxième puissance et aux supé-

p-#-r— rcosp ^ *

rieures; on a dans ce cas

Y=:p-*-r(l — cosP).

L'angle

D'après la loi de la génération de Tépicycloïde, l'arc ^B = pa est égal à l'arc Bitf = rp; par suite

Far conséquent le pôle de l'axe de' figure décrit autour de l'axe fixe Ox^ une série d'épicycloîdes ordinaires, dont les rayons des cercles fix^ s sont a sin 8^ et les rayons des cercles mobiles sont a ^^^^^^^^0 ^ çt p^j^ ^g ggyj^ ^^jit autour de l'axe fixe un cône

qui a pour base ces épicycloîdes. A l'origine de ces épicycloïdes (n"" 111 et 112) les vitesses angulaires ^et^ de Taxe de figure autour de l'axe du couple de la résistance et autour de l'axe fixe sont égales à zéro.

115. lAmite de Vaccrpissement de V angle 8 par suite de Vaction du couple de la résistance de Vair. La plus petite valeur de l'angle 8 (n° 110) est 8^; sa plus grande valeur, par suite de l'action du couple de la résistance, est \ -i- ^ ^ah^I^^^ ' ^^ ^^^ ^^® la limite de l'accroissement de cet angle est la

^^?wt^' ^^^^ *^ ^'*°^^® ^«•

En représentant par tq la longueur du pas des rayures, exprimée en rayons B du projectile, on a

2icF

et

Abaissant da point M snr la ligne OC la perpendicnlaire ME^ on tronve da triangle rectangle MOE

ME r

et lorsque le rapport - est petit

a'=- sin p.

Par conséquent les équations polaires de Tépicyclolde ordinaire, lorsque -

est petit, sont

/ Y = P-»-»'(l — cosp),

Le moment d'inertie du projectile autour de son axe de figure est

où |t est un coefficient qui dépend de la construction du projectile.

Pour les projectiles semblables à notre obus de 4\ on a |t = 0,589, | = 2,3,ft = 2,7,j=7120R».

La résistance de l'air dans le sens contraire à Taxe de figure (n*" 28 et. 29), si Ton prend ^ = 1 etll = IT^, est pour les vitesses au-dessus de 360 mèt:sec,

p^ = 0,044. iciîV; pour les vitesses au-dessous de 325 met: sec. elle est Pj^=0,012.7i:2?«;* [^ "*" (ïlâTT' ^^^^ ^^**® résistance, comme le fait voir la courbe de p' = ^^^ représentée sur la figure 8 (J5), ne croit pas beaucoup plus rapidement que le carré de la vitesse , et on peut prendre approxiniativement pour son expression

En mettant ces valeurs dans l'expression —j^-j^^, on trouve: pour des vitesses qui dépassent 360 mèt:sec.

?^^^^ = 0,0000104 Vï^<^

et pour des vitesses qui sont inférieures à 325 mèt:sec.

^^Iwio^' = 0,00000336 71» ^.

Egalant successivement t) à 140 et à 82, c'est-à-dire aux limites entre lesquelles sont compris les pas des rayures de nos bouches à feu, on voit que, pounfi= 140, l'accroissement de l'angle 8, par suite de l'action du couple de la résistance de l'air, ne dépasse pas 0,20 de \ quand les vitesses sont supérieures à 360 mèt:sec., et ne dépasse pas0,064 de i^^ quand elles sont inférieures à 32 5 mètisec; pour ti=82,

cet accroissement de l'angle i ne dépasse pas 0,070 de i^y quand les vitesses sont supérieures à 360 mèt:sec., et ne dépasse pas 0,023 de S^» quand elles sont inférieures à 325 mèt:sec.

116. Si la tangente à la trajectoire était immobile et la résistance de Pair constante ^ Vaxe de figure du prqjectile décrirait sensiblement autour de la tangente un cône circulaire avec une vitesse angulaire moyenne constante. L'accroissement de l'angle S, par suite de l'action du couple de la résistance de l'air, étant une très faible partie de l'angle 8^, on peut prendre, sans erreur sensible, au lieu de la valeur variable(n°110)8=8o-»-^^^^^(l— cos^) sa valeur moyenne

et substituant cette expression dans l'éq. 1, n^ 108, en négligeant devant l'unité les termes qui contiennent -^^ à des puissances supérieures à la première, on trouvera

ou

di Apq sind^

car (n° 105) 7f = A/Jp^sina.

Par conséquent on peut admettre que, si la tangente était immobile et la résistance de l'air constante, Taxe de figure du projectile décrirait sensiblement autour de la tangente un cône circulaire avec une vitesse angukire constante

dt ApQ sin d .

Cette expression a été déduite dans la supposition que K=hR^j, sin 8, c'est-à-dire pour le cas dé petits angles 8.

Quand on tire sous de grands angles de projection avec de petites vitesses, les angles S acquièrent une grande valeur. On ne peut

plus alors admettre la proportionnalité des valeurs de ^-d aux sinus des angles 8, mais on peut poser

2^.d = isin8cos8,

où Ton a pris pour les projectiles semblables à notre obus de 4^

afin de représenter avec une approximation suffisante les valeurs de j-^ dans les limites de 8 = o à 8 = 20°, les angles 8 ne dépassant 20^ que dans le cas de tir avec de très petites charges.

La courbe exprimée par cette équation est pointée sur la figure 15. On aura dans ce cas pour l'expression du couple de la résistance de l'air

Z = i,Bp^sin8.cos8.

Si on la met dans les équations différentielles générales du mouvement de rotation d'un projectile oblong et si on les intègre, comme on l'a fait pour K=hR^j^sm 8, en posant 8 =80-4-^ et négligeant les termes affectés des puissances seconde et supérieures de z^ on arrive à la môme expression

dv K

de la vitesse angulaire constante, avec laquelle l'axe de figure du projectile décrirait sensiblement un cône circulaire autour de la tangente, si celle-ci était immobile et si la résistance était constante.

En mettant Z = ftBpA sin 8, ^ = ji. ^ i2^l?o = ^ et ^ = /"(t?) , on aura pour le cas de petits angles 8

dM hr)g

dt 2n\iV

fiv),

et en mettant £■= ;iîpA sin 8 C08 8, ^ = |i. I i?*,;), =^«t ^ =/'(«'). on aura pour le cas d'angles 8 qui varient de zéro dans de larges limites

S=âFAt')cos8.

La tangente à la trajectoire étant mobile et la résistance de l'air étant variable, la vitesse angulaire ^ varie durant tout le mouvement du projectile. L'angle 8v — que fait le plan passant par la position de la tangente et par celle de l'axe de figure à l'origine de l'élément de temps dt avec le plan passant par la même position de la tangente et par celle de l'axe de figure à la fin de cet élément de temps dt — cet angle aura pour expression

rfv=-i — r—gdt,

ApQ sin d '

OU

dam le cas de petits angles 8

et dans le cas d^angles h qui varient de zéro dans de larges limites

d^=^f(v)i^osbdt,

117. Équations différentielles du mouvement de rotation de Vaxe de figure cPun projectile oblong durant tout son trajet dans Vair. Un projectile oblong décrit dans l'air une trajectoire à double courbure qui tourne sa concavité vers l'horizon, et la tangente à la trajectoire, par suite de l'action de la gravité, s'abaisse durant tout le trajet du projectile. Représentons-nous une sphère dont le centre (fig. 18) est en 0. Soit OT la direction de la tangente au bout du temps t\ en menant par cette tangente un plan vertical, ce plan sera représenté sur la surface de la sphère par l'arc NTn. Soit OA la direction de l'axe de figure au bout du temps t. L'angle v, formé par le plan vertical passant par la tangente OT avec le plan passant par la même tangente et l'axe de figure OA^ aura pour mesure l'angle dièdre NTA, et l'angle 8 que fait l'axe de figure OA avec la tangente OT aura pour mesure l'arc AT. Représentons par OA' la position de l'axe de figure et par OT celle de la tangente au bout de l'élément du temps suivant. L'accroissement de l'angle h par suite

de l'action du couple de la résistance de l'air étant (n^ 115) très faible, on peut admettre que Tare AT sera égal à AT=l et que l'angle ATA, que nous nommerons dv', aura pour expression (n° 116)

En appelant ^ l'arc NT^ ^l'angle que fait la tangente OT avec l'horizon, o l'angle que fait le plan vertical passant par la tangente OT avec le plan vertical du tir, on aura jNT= <j; = | -^, di|^= —dO, lSt^^'^d^ = \ — e — àe, TNr = diù, Ar=l^dh, ArN=v-^d^.

H est fecile de déduire des triangles sphériques ATT et NTT' les expressions de d8 et de d^v en fonction de v, v', 8 et o; mais ces expressions sont compliquées. Pour faciliter les recherches, remarquons que les accroissements de l'angle (ù sont bien plus petits que ceux des angles 6 et v, de sorte que l'on peut, sans erreur sensible, négliger, dans les expressions de db et dv, les termes infiniment petits du premier ordre contenant le facteur ^ et négliger en outre dans

l'expression de cîv le terme sin â.do. En négligeant ces termes on obtient

d8r= — cosvd!^.

On arrive au même résultat si l'on considère, dans la recherche du mouvement de rotation de l'axe de figure, la trajectoire comme située dans le plan vertical du tir. En effet, dans ce cas l'arc TT' coïncide avec l'ai-c NTn, et l'on aura (fig. 18''") TT= NT—NT=—de, V -I- cïv = AtT) le triangle sphérique ATT donne

cos AT' = cos AT. cos TT -+- sin AT. sin TT cos ATT et

sin^^rr 8in^^r

ou, en substituant au lieu de AT\ AT, TT, ÂTT', ATT leurs valeurs 8 •+- d8, 8, — d^, tc — v — dv', v -i- rfv, en faisant les réductions nécessaires et en rejetant les infiniment petits du second ordre, on retombe sur les expressions trouvées de dh et de dv.

En considérant la trajectoire comme située dans le plan vertical du tir, la projection de l'accélération suivant la normale intérieure aura pour expression

^=:JfC08^,

où le rayon de courbure y = — -5^, et par conséquent on aura

coad t? '

OU, divisant les deux membres de l'équation par une valeur constante a choisie de manière que a cos diffère le moins possible de l'unité *) sur toute l'étendue de l'arc de la trajectoire que l'on considère, et admettant acos ^ = 1 ^ on obtient

dd = — §rdl.

Substituant cette valeur dans l'expression de dh^ on a

Après avoir mis dans l'expression de dv la dernière valeur de di et la valeur de dv' (n° 116), et après avoir divisé l'expression de dv par celle de dS, on obtient les équations différentielles suivantes du mouvement de rotation de l'axe de figure du projectile:

dans le cas de petits angles h

COS V av

*) Les valeurs de a sont insérées dans la table I de l'annexe.

et dans le cas éHangles h qui varient de zéro dans de larges ImUes

cos V av

118. Intégration^ par approximation^ des équations différentielles du mouvement de rotation de Paxe de figure du projectile dans le cas du tir direct^ pour lequel les angles i sont toujours petits. Les équations différentielles du mouvement de rotation de l'axe de figure du projectile contenant des termes qui dépendent de cosv qui change de signe, leur intégration même approximative, entre des limites quelconques, dans l'étart; actuel de l'analyse, présente des difficultés insurmontables et il devient indispensable de les intégrer, même approximativement, par parties.

Remplaçons dans les équations (1) n^ 117 les quantités variables V et vf{v) par certaines valeurs moyennes (v)^ et [vf{v)]^j qu'elles prennent dans les limites de l'intégration, qui doivent être choisies de manière que cos v ne change pas de signe entre ces limites. Dans ce cas la première des équations (1) n^ 117, en remarquant que cos vdv = d sin v, devient

cï sin V sin ¥

OÙ l'on a posé pour abréger

0) 3=^[tf(f)L.

La seconde des équations (1) n° 117 devient — = -^d^

cosv a(t;)„^ *'•

L'équation

d sin V sin v

dd ^ tang ^

est une équation différentielle linéaire du premier ordre.

L'int^rale de l'équation différentielle linéaire da premier ordre

dans laquelle P et Q sont des fonctions quelconques de x, est

y=e {]€ Qdx-^Gj

En posant y = sin v, a; = 8, P = — -^^, Ç = g, on a

et

fPdx — ^ogsind -

—fPdx logsind

€ =e =8in8,

J e Qdx = 3 J sin 8d8 = — g cos 8

^i^^ = ^^i—9^osi'^C).

En développant sin 8 et cos 8 en séries et en se bornant aux termes dans lesquels 8 entre à la seconde puissance, on obtient

sin

En représentant par v^ et 8,- les angles v et 8 qui correspondent au temps ^^ on a