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et p ^ r=7 étant moindre que ^ on voit que,
si la condition
est satis&ite, on aura à fortiori cos v^ < cosvg.
Mais durant le mouvement des projectiles oblongs dans l'air cette condition est toigours satis&ite "^i par conséquent cos v^ < cos Vg et
*) En effet, les expressions de.^. ^,. . ., — ^ donnent' -^=l-4(n~l)H^^
et
1 gj— 1 ^ ^hricLCOB<^^
Désignant par $^ l'angle i qui correspond à l'angle limite v, et par <', le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment où V = V5 et S = 85, on a de la formule (2)
86 = ^8invj,
et la formule (4j) donne
La valeur de cos v étant positive, la dérivée ^ = ^cosv&it voir
que l'angle S, à partir de 8 = S /« \ , croit avec le temps et que
Et ainsi de suite.
Démontrons en outre que:
En effet:
de sorte qne ^^=^ est inférieur à l'onité d'ane quantité qui a pour fac-
l it=l
teor^', tandis que ^!^=^ n'est inférieur à Tunité que d'une quantité qui a
«t— s pour facteur ( —^ j ; par conséquent
on » va que co8(ic-vJ<cos (ic -Vg); par suite 1 — cos(«— v J> 1 -(!Os(ic-Vg) et comme ^ > 1 , on voit que J/n \ > 8 /« \
En effet:
(- S\ \ — 9t(i it\
Va» 'y g, 1-I-C06V, __ ^ qtK'^ qj .
la» V «•
en posant^ = 1 on diminue le numérateur de sorte que 1 - n ^ ~q)^^ '
et«>mme?'-=& > Ion voit que-ir — ^>let8/K \>8/it \-
et ainsi de suite.
Cet examen feiit voir que, dans le cas du tir direct, Taxe de figure du projectile a un mouvement d'oscillation autour de la tangente de la trajectoire. L'angle v, que fuit le plan vertical passant par la tangente avec le plan passant par la même tangente et l'axe défigure, augmente d'abord de zéro à^, et l'angle S que £iit l'axe de figure avec la tangente croit lentement de zéro jusqu'à une certaine limite 8/^ \ . Ensuite Tangle v continue d'augmenter jusqu'à
U' 7 une certaine limite v^ moindre que ir, tandis que l'angle 8 diminue
jusqu'à une certaine valeur S^. L'angle v, après avoir atteint la limite Vg, diminue jusqu'à ~, et l'angle 8 continue de décroître jusqu'à une certaine limite i/iç \. Au-delà l'angle v continue de diminuer
jusqu'à une certaine limite v, plus grande que zéro et moindre que TC — Vg, tandis que l'angle 8 augmente jusqu'à une certaine valeur 83. L'angle v, après avoir atteint la limite v,, augmente de
nouveau jusqu'à |, et l'angle i continue de croître jusqu'à une certaine limite i/n \plus grande que la limite S/s \ qu'il avait at-
teinte lors de l'augmentation précédente de l'angle v. Ensuite l'angle v
continue d'augmenter jusqu'à la limite v^ moindre que v^, tandis que
l'angle S diminue jusqu'à une certaine valeur i^. L'angle v, après
$voir atteint la limite v^, diminue jusqu'à ^^ et l'angle 8 continue de
décroître jusqu'à une certaine limite i/n \ plus grande que la
U' ^1 limite i/n \ qu'il avait atteinte lors de la diminution précédente de
l'angle v. Au-delà l'angle v continue de diminuer jusqu'à une certaine limite v^ plus grande que v, et moindre que tu — v^, tandis que l'angle i croît jusqu'à une certaine valeur i^. L'angle v après avoir atteint la limite v^ augmente de nouveau et l'angle 8 continue d'augmenter; et ainsi de suite.
Les durées t^ — <,, ^3 — t^, t^ — '3?. . ., qui correspondent chacune à deux valeurs successives de l'angle v égales à|, vont en augmentant.
Les valeurs des angles limites v^, V3, v^. . . . ne dépendant que des rapports ^ , ^ , ^ . . . . et ceux-ci ne dépendant que des quantités pL, A, 1], n, et de a cos 9 qui ne diffère pas beaucoup de l'unité, on voit que les angles limites v^, Vg, . . . sont les mêmes pour des projectiles semblables tirés des bouches à feu ayant les pas des rayures proportionnels aux calibres, et que par suite les valeurs de ces angles limites sont, pour une même expression de la résistance, indépendantes des vitesses initiales, pourvu que celles-ci soient assez considérables, comme cela a toi\jours lieu dans le tir direct.
