COB'V
étant positive entre v = | et vsiCy Tangle v ne peut cesser de croître que si ^ devient imagrinaire. Les quantités v et f{v) décroissant à mesure que le temps augmente , on a g, < q^ et \f(v)]^ < [f(v)^^l par suite (^— 1 Y «st moindre que l'unité et la dérivée ^ n'est réelle
qu'autant que cos' v< (^ ~0*' ^*^ conséquent l'angle v ne peut augmenter au-delà de la limite définie par l'équation
Ainsi l'angle limite v, est plus petit que tc et plus grand que ^. La quantité ^ — 1 se réduisant à zéro pour ??^ = 1 et l'angle Vgàl, on voit que le rapport |^, qui est moindre que 1, es* plus grand que | *).
Désignant par 8, l'angle 8 qui correspond à l'angle v=v2 et par <', le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment où v = v^ et 8 = 8j, on trouve (éq. 2)
*2 = ~sinv2;
la formule (4) donne
d'où l'on tire
if,-t,
hrïg [/(r)]m.
La dérivée ^, comme on l'a observé, fait voir que
*) S'il en était aatrement, cela indiquerait que l'on ne devait choisir pour q^ que la valeur de q correspondant à un intervalle de temps moindre que tout l'intervalle, à partir de t|, durant lequel cos v reste négatif.
Considérons VintervàUe depuis v= Vg jusqu^à v = ^/ La formule (2) donne
S = ^ Tsin V — }/cos* Vg — cos^ vl,
où Ton a pris le signe négatif devant le radical, parce que, cos vêtant négatif, la dérivée -g^ = ^cos v fait voir que Tangle 8 doit continuer de décroître, lorsque raugmente.
On obtient de la formule (3)
dt ^ sin V '
"/cos^v, — cos'v
où l'on a pris le signe — devant le radical, parce que. le radical de l'expression 8 est affecté du signe négatif.
La valeur de cos^ Vg étant moindre que Tunité et par suite
Vcos^Va — cos'v étant moindre que sin v, le rapport -==^^==:
' 1 7 rr VcOfl» Vj — cos* v
est plus grand que l'unité, et la dérivée g^ est négative. Par conséquent l'angle v diminue à partir de v = Vg.
Désignant par 8/,^ \ Vangle 8 qui correspond à v = |,etpar<2
le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment où v = |et8=8/^ \ ona(éq. 2)
*(£, 2\=^.(l-*-cosvg) = i-(l— cos(7i:-Vg)).
La formule (éj) donne
d'où l'on tire
Les expressions <*, — f i et t^ — if^ font voir que
et
La fd^netion I/(»)]^j étant plus grande que Ifiv)]^ , on a ti—ti>t^.
La dérÎTée ^, comme on Ta observé, fait voir que
Con^eVottô Pintervalle depuis v = ^ ^ttôjfu'â Ta^J^ limite V = Vj < I • Appelant jg et \f{v)]^ les valeurs moyennes g et \f{v)]^ dans tout l'interyalle de temps , à partir de t^^ durant lequel cos v reste positif, on a (éq. 2)
8 = l[sinv-}/(l-J(l cos(7u-v3))y-cosS],
et cos V étant positif, la dérivée 5^ = ^<5os v fiiit voir que Tangle 8, à partir de 8 = 8/« \ , croît avec le temps.
La dérivée (éq. 8)
dt ^ Bin V
|/(l fe(l cos(7c— Vjj))y~cos«v
étant négative entre v = | et v = o, l'angle v ne peut cesser de décroître que si ^ devient imaginaire, ce qui a lieu quand cos* V > ^1 — ^ (1 — cos(îc — Vj))?. Par conséquent Fangle v ne
peut diminuer au-delà de la limite déterminée par réquati(Hi
C0SV3= 1 — fe(l — C08(1C — Vg)),
et comme 1 — -^H— eos(TC — Vjj)^ est plus petit que l'unité et plus grand que cos (ic — Vg), il suit que Tangle limite Vj est plus grand que zéro et plus petit que (tc — Vg).
Désignant par 83 l'angle 8 qui correspond à l'angle limite v, et par f^ le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment où V = V3 et 8 = 83, on a (éq. 2)
*3 = ^sinv3;
la formule (4 J donne
d'où Ton tire
,, . 2it|xy „
La dérivée ^, eomme on l'a observé, feit voir que
Considérons VintervaUe depuis v= Vg jusqu^à v = | • La valeur de COS V étant .positive, la dérivée -^ = ^ cos v fait voir que l'angle 8 doit continuer de croître avec t et que par suite il faut prendre le signe positif devant le radical de l'expression h (éq. 2). La dérivée^ (éq. 2) est positive et par conséquent l'angle v croît à partir de v= Vg.
Désignant par 8 /^ \ l'angle 8 qui correspond à v = |, et par <g U' 7 le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment où vr= |et
8=8/tc \, on a (éq. 2)
= ^(l-4.C0SVg).
La fonnule (4) donne
d'où l'on tire
. ./ 2h|jlF , X
Les expressions ^'3 — U et ^3 — f'g font voir que
h—h—j.raum»,''
et
■ La fonction [/"(»)]-, étant plus grande que \f{v)\- , on a
La dérivée^, comme on l'a observé, feit voir que
Considérons Vintervalle depuis v= ^ jusque à V angle limite v^> î- Représentons par 8^ l'angle 8 qui correspond à v^ et par t\ le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment où v=v^ et 8=8^, et appelons q^ et [f{v)\^ les valeurs moyennes q et [({v)]^ pendant tout l'intervalle de tamps, à partir de fg, durant lequel cos v reste né- . gatîf. En procédant comme on Ta fait précjédemment, on trouvera d'après la formule (3) que l'angle limite v^ est défini par l'équation
COSV^= ri* (l-+-COSVj)— il
et que cet angle, étant plus grand que ^, est moindre que (tu — v,).. La quantité ~* (1 -i-cos Vg) — 1 se réduisant à zéro pour ^ = ^^l^^^ et l'angle v^à|, on voit que le rapport ^ est plus grand que j-^^ •
Cherchons la condition nécessaire pour que l'angle v^ soit moindre que Pangle v, ou que it— v^ > ic-VgOU que cos(tc— vj <cos (ic— Vg).
Les expressions de cos v^ et de cos V3 donnent
cos
(^-V4) = j[2-f-;(l-»-cosv^]-l,
et observant que cos (tc — Vj) = -^ — 1 , la condition cos(tc — vj < cos (tu — Vg) se réduit à la suivante
et ^ r étant plus grand que ^, on voit que si la condition
est satisfeite, on aura à fortiori cos (ir: — vj < cos (tc — v^).
Mais durant le mouvement des projectiles oblongs dans Tair ^>~->?*>--'->:;r*-*); parconséquentcos(it— vj< cosfic— vj et
9i 9« 93 9i— i '^ / ^ V 4/ va/
♦) Pour démontrer que ^ > ^ > . . . > -^ , suih^boiis que la résistance 9i 92 9t— i
de l'air soit exprimée par un monôme proportionnel' à la n™* puissance de la ntesse. Dans ce cas, comme on l'a vu, on peut prendre pour [/(»)]„,. et [^(«)]mt les expressions
La formule (2) donne
L'expression U = ? — ^^ J^ .^ — devient
*i— ;iT)flico8 9AïFï; v^"^ — T—i^— j *i) •
Four les projectiles semblables à notre obos de 4^ et pour le pas des rayures t) s= 82, on a -r-^ = 0,0263. En se bornant aux termes qai contiennent -=— à la première et à la seconde puissances, on aura
i At)qicos9 \aFi/ ftviacosç *'
d'où l'on tire
ï Ai]acos9 \olV^I \ Aiiacosç/
L'expression «,-«, = ^^^^^^n» devient
et, snbstitnant à (| sa valeur, on tire
On obtiendra de même
/ —g *«V ( « \"~Vi.q«jf!L\ ^8 — **S^ïï3ïiV«ï'i/ \*^**"»»jaco8»;»
La valeur «,« ^^ [«/(»)]«.• ««i*»*
>t)tt*coa» (aFtr î 1
On obtient de la fonnule (4)
2v:\lV
La valeur de cos v étant native, la dérivée 5^ = ^cos v fait voir que l'angle * à partir de 8=8/,: \ décroît lorsque le temps
augmente et que
Considérons Pintervdk dqmis v = v^ jusgu^à v = |- Désignons par iz-K \ l'angle i qui correspond à v = |^, et par t^ le temps de-.
puis l'origine du mouvement jusqu'au moment où v= | et 8=8/^ \
En sabstitaant à « et à t,'-»-f j__| leurs valears successives, on trouve
hr\OL cos 9 y fttjtt c
hw cos o V hriOL c
cos 9
fctjot cos 9 V** "" hr^a cos ç)^
ti+1
ou
= [j-2s^,-2(2— 3)(is^,)T'
îi n— l'fci)aco8 9 («—!)* \Ai(îacos9/'
g, -t g!î±l ^V g 4n^--6n*— 6n-H3 / Tt*tA \2
9, n— 1 AT2acos9 (n— 1)* xÂt^a cos 9 / '
54 1 g ^-»-l ^V g 6n»— 7n»— 8n-i-6 / ]rçV Y
Sfa «—1 At)aco8 9 (n— 1)« VÂTjacos^/ '
gi— 1 n— l^iîacos9 (n— 1)' \fcTîacos9/
« Ces expressions font voir que, pour les degrés de la résistance n > 2, on
et
L» formule (2) donne
On obtient de la formule (4,)
Les expressions 1!^ — t, et t^ — f^ font voir que
La fonction [/"(v^^ étant plus grande que [/"(f)]^ , on a ^
La valeur de cos v étant négative, la dérivée ^ = ^ cos v fait voir que
Considérùns Tintcrvàlle depuis v = |^ jusqu^à Pangle limite V = Vj < ^ • Désignons par q^ et [f (t;)]^ les valeurs moyennes q et (/(^)]m ^*^^ *^^* l'intervalle du temps à partir de t^ durant lequel cos V reste positif.
La formule (3) foit voir que l'angle limite v^ est déterminé par l'équation
cos V5 = 1 — 1*^ ^1 — cos(t: — vjV
et comme 1 —^ll — cos (tc — v^n est toujours plus petit que Tunité et plus grand que cos (tc— vj, il suit que l'angle limite v^ est plus grand que zéro et plus petit que {iz — vj.
Cherchons la condition nécessaire pour que l'angle v^ soit plus grand que l'angle Vg ou que cos v^ < cos Vg.
Les expressions de cos v^, eos v^, eos v, et eos v, donnent
et la condition cos v^ < cos v, se réduit à la suivante
