KC)].= «^-J

dt

OU

Les angles 8^ qui correspondent aux angles limites v = v^ auront pour valeur

' if n — 1 Aijac

COSqp*

Les angles 8/:^ \ qui correspondent à l'angle v= | dans le mouTement ascendant de l'axe de figure auront pour valeur

«4 n -♦- 1 Tï V

q n — l hr^oL CO89'

et les angles i/^ .qui correspondent à l'angle v= |dans le raouvement descendant de cet axe auront pour valeur 8/« \ =

On aura pour la durée moyenne x, correspondante à deux valeurs successives de l'angle v égales à |, I'eig)ression

OÙ \f{v)]^est la valeur moyenne de la fonction /"(v) sur toute l'étendue de la trajectoire; la fonction f{v) étant sensiblement égale (nM18)à

25rc"

•on peut poser

(gy,)^ 1

dt

n— 1 /aF,\*»— »

OU

[Af)L =

'1 [i-^(^nr.

120. Exemple. Recherehe du mouvement d^oscillation de Vàxe de figure d'un obus de 4^ tiré sous V angle de projection de l<f avec une oUesse initiale de 305"^. On peut admettre, pour fiwîilit^r les calculs, que la résistance de l'air suivant Taxe de figure est exprimée (n° 115) par

et en posant

on aura

PA = 0,014TCirV,

•"^■^ 0,014. ici2«.^'

m-'-¥=îc-^

pour l'obus de 4*, c = 3514".

En calculant la projection verticale de la trajectoire dans l'hypothèse que la résistance de l'air est tangentielle à la trajectoire et est en grandeur égale à la composante de la résistance suivant l'axe de figure, ce qui donne, comme on le verra plus loin, une approximation suffisante, on aura la portée au moyen de la formule (1) n^ 52, en y taisant î/ = 0, et cette portée sera de 2516°; la durée du trajet (éq. l,n^ 52) sera de 9î92.

Dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse on peut prendre (w® 118) pour v^., \f(v)]^ et [v{fv)\^ les expressions

Le temps depuis l'origine du mouvement jusqu'au moment (ùv--=|(nMl8)

*nff [/(•)]«,,

sera exprimé par

4tcV c /i^«V, \2

d'où l'on tire

L'intervalle de tem))s depuis le moment où v= | jusqu'au moment où V est de nouveau égal à| (w^^ 118)

sera exprimé par

2 1 ^i)a cos 9 aF| L 4c ^ 2 l/j

d'où Ton tire

f 2fciitteo8 9 c r^ , ^V / 1 «lu \ l/i 1 ^''^ /li'^^^/ll

On aura de même

On a calculé successivement, d'après ces formules, les durées

f,, <2, et t^\ la durée t^ a été obtenue de 10î582. Les valeurs

de 9i» 92»* - -96 ont été calculées au moyen de la formule

Les valeurs de Vj, V3,. . .^^\iij^ iY*2»*(l 2V*"' ' **•'*(?- eV i'jf ^'s, • - .^'e ont été obtenues au moyen des formules du n° 118.

On a inséré dans le tableau suivant les valeurs numériques qui caractérisent le mouvement d'oscillation de Taxe de figure de Tobus de i\ tiré avec la vitesse initiale de 305"'% sous l'angle de projection de 10°, d'un canon dont le pas des rayures est y) = 82.

Qt

ff

Secondes

121. Intégration^ par approximation, des équations différentielles du mouvement de rotation de Vaxe de figure du projectile, quand le tir a lieu sous de grands angles de projection . Les angles i peuvent varier dans de larges limites, lorsque le tir a lieu sous de grands angles de projection. Prenons les équations (1,) n° 117 et substituons-y aux quantités v et vf(v) certaines valeurs moyennes qu'elles prennent dans les limites de l'intégration qui. doivent être choisies de manière que cosv, cos8, tang i ne changent pas de signe entre ces limites. Dans ce cas la première des équations (1,) w° 117 devient

où l'on a posé pour abréger

(1) 9=ëv^^m^n.-

Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre, dont l'intégrale est

si"^ = S5^(isin^«'^^)'

En désignant par v^ et S^ les angles v et S qui correspondent au temps t^j on a

sin 8 . sin V = I sin* 8 -i- sin i^ ( sin v^. — | sin 8^ ) ,

d'où Ton tire

(2) . . sin 8 = - fsin v zïz Vl — q sin 8^. (2 sin v^. — q sin 8^.) — cos* vl .

Cette équation ne diffère de l'équation (2) n"^ 1 1 8 qu'eq ce qu'elle ne contient que sin 8 et sin 8^. au lieu de 8 et 8^.. La seconde des équations (1,) n° 117 devient

L^ tir courbe ayant lieu avec des charges considérables et avec de très petites charges » la valeur de | peut être plus grande qu9 l'unité, égale à l'unité, ou plus petite que l'unité.

1 22. Cas du tir courbe quand | > 1 .

En prenant la différentielle de l'équation (2), n^ 1 2 1 on a

cos a8 = - cos V 8v it . ==- ,

ï L y 1 — g sin *| (2 siu V|- — q sin à^) — cos* v J

et en la substituant dans l'équation

^—-J—dt

cosv — a(t;U^^'

on obtient

cosd L ^ y 1 — g sin d< (2 siu v^ — g sin *,) — cos* vj '^^l^^ ^' ^ '-""*

L'intégration de cette équation serait très diflScile, si Ton substituait à cos 8 sa valeur en fonction de v tirée de l'éq. (2) n^ 121. Pour faciliter les recherches, remplacions cos 8 par sa valeur moyenne (cos 8)^ qu'il prend dans les limites de l'intégration depuis t=^t^ jusqu'à t et depuis v = v^ jusqu'à v, limites qui, comme on l'a observé, doivent être choisies de manière que cos v et cos 8 ne changent pas de signe entre elles. On obtient ainsi:

dans le cas du signe positif devant le radical de l'expression sin è

(3)..v-v^-Harccos-

COS V C08 Vg

"" 27UJJLF ^* *<^

et dans le cas du signe négatif devant le radical de l'expression sin 8

/n \ C08 V . COS V.'

( o,). .V- V .H-arc sm —arc sm ■ '

• yi—qnmd^i2sïu^^-qBmdf) V 1 ->g sin ^,<2 sin ^— g sin *,)

^^^[/W]m(co8^)m /i /x

Ces équations ne dififôrent des équations (4) et (4,) du n° 118 qu^en ce qu'elles ne contiennent dans leurs premiers membres que sin \ au lieu de 8^ et dans leurs seconds membres que l (cos 8)^ au lieu de h.

En considérant les mêmes intervalles que ceux du w° 118, on obtient

Vj = 0, sin 8j = 0, i = ;

__ii^ . ^ 2^ . 2tcVF

V 2 , sin ô^^^ ^^— ç^ , r, — ,^^ j^^^j^ ^^^^ ^j^^ ;

co8v, = -(^*— 1), sin 8,= ^^ sin V,, t^-t.^'^it.-t,); v = |,sin8^.^^pl(l-cos(7c-.v4f,-

C08v,= l -|^(l - cos (t:-v,)), sin83= ^sin ^,A-^t= ^(^n-'s); v = |,sin8^.^^pl(l^cosv3),f,f, = ^,^^^^

Ces formules font voir que tous les angles 8 sont moindres que |, et que les propriétés du mouvement d'oscillation de Taxe de figure dans ce cas sont les mêmes que celles déduites au «** 118.