Oscillation moyenne de Taxe de figure. Si l'on se borne

dans les expressions de— ,.-?••• *^iix termes qui contiennent ^^ à la première puissance, on aura

cos (r — Vg) = cos Vg = cos (tc — v^) = cos v^ = . . . . = cos v^

« — 1 2i]acos9

et

3inv,= |/8;— f,-^

Dans chaque demi -oscillation moyenne de l'axe de figure les valeurs de sin v seront comprises entre les limites de 1 et de

g n-*- 1 TZ^jL

Les angles 8 seront exprimés:

dans le mouvement ascendant de l'axe de figure par

sin«= irsinv-i/sinS-8^4r-^î^!^1.

gL f n — Uija cos 9J'

et dws le mouvement descendant de cet axe par

8in « = \ [sin V ^ |/sinS - 8 :Z-\ ïï;^];

et [v/'Cv)]^ étant une valeur moyenne du produit vf{v) sur toute l'étendue de la trajectoire, on peut poser («° 119)

[' [>-T^(^Pj'"]

Les valeurs de sin ê, et de cos è^ qui correspondent aux angles limites v = v^ auront pour expressions

LC08 9

sin «,= il/s ^1-^

COS «^ = 1 — ^ j^— f ,-;jj^5j^-

Los valeurs de sin «/„ > et de (m.h^ \qui correspondent i

Va'") U'»)

l'angle v = | dans le moavement ascendant de l'axe de figtu-e auront pour expressions

sm8/„ j H-Hi „v

(g, a) «n-l J»iacos<p'

et les valeurs de sin 8/^ \ et de cos 8/,, x qui correspondent à

l'angle v= | dans le mouvement descendant de cet axe auront pour expressions

(|, d) . 9 \ n-l li)«co8«py >

. On aura pour la durée moyenne t, correspondante à deux valeurs successives de l'angle v égales à ^ , l'expression

^ 2u«|xF

dans laquelle:

les valeurs de cos 8 étant comprises daûs l'intervalle d'une demioscillation ascendante de l'axe de figure entre les limites de 1 et de ^ ^^TTï i^acoay ' ®* "^^^^ l'intervalle d'une demi-oscillation descendante de cet axe entre les limites de 1 —4^^^^. ''*" et de

î* n — 1 Iija cos ç " **"

V ^ ?/"*"? Jr=T t,)aco8<i> ' ®° P*"* prendre pour (cos 8)^ la moyenne arithmétique de ces quatre valeurs et par suite poser

[f(^)]mi étant une valeur moyenne de la fonction f{v) sur toute l'étendue de la trajectoire, on peut poser (n^^ 119)

124. Cas du tir cùfMrbe, guand^^^ 1 . La formule (2) n° 121 donne y depuis l'orig^ine du mouvement où S = o, v = Oy jusqu'aux valeurs quelconques de S et v comprises entre zéro et^ ,

8in8 = -smv et par conséquent

(4) sinv = |sin8,

co8v = l/l — /|ysin*8.

Pour| = 1, on a 8 = v; pour | < 1 , on a 8 > v et l'angle i atteint gavant l'angle V.

En mettant la valeur de cos v dans l'expression (n° 121)

dd

on obtient (5)

dd

L'intégrale

, *** = F f«, i) est

une intégrale el-

liptique de première espèce dont l'amplitude est i et l'angle du mo-

dule 6 = arc sin | • Legendre a calculé des tables de cette intégrale,

au moyen desquelles, connaissant la valeur de -^f et la valeur de I et par suite celle de 0^ on trouve la valeur correspondante de 8. L'angk V est déterminé par l'éq. 4.

En se basant sur la transformation de Landen, i défaut de tables, on peut, sans grande erreur, poser:

dans lé cas de|>0,75

OÙ ^ «st lié avec l'angle S par la relation

sin (2 ip — 8) = I sin 8 ou tang (8—^) = ^ tang ^ ,

et dans le cas de| < 0.75

— = = arc tang^^ \ \'. .

l-(|)%in»« l-^l/l-{5f .l-]/l-(|)'teng««

En mettant dans la formule (5) la valeur approchée de l'intégrale dans le cas de I > 0,76, on tire •

2 gt

(6) <li = | — § are tang c ^ ■^''*'»,

et <]i étant connu on obtient S à l'aide de l'équation

(7) tang(« -4»)= 1 tang 4;.

Pour |=lon»^ = <et Ton voit que * ne peut atteindre ^

qu'après un temps infini. Pour| =0,75 Tangle 8 est moindre que|, quand tp < 69° 18' et par suite (éq. 6) quand

OU

et cette condition est toujours remplie, lorsque le tir a lieu sous des angles de projection qui ne dépassant pas 45 *).

*) En effet, le cas que Ton considère sapposant une petite vitesse initiale, on ' peut prendre pour la résistance de l'air (n^ 120) Texpression proportionneHe an

carré de la vitesse, c'est-à-dire poser /(r)= - — et l'on peut négliger, devant

X F* l'anité, les termes qni contiennent - et — à des puissances supérieures à la pre-

c ge

mière. En calculant la projection verticale de la trajectoire dans l'hypothèse que la résistance de l'air est tangentielle à la trigectoire et est en grandeur égale à la composante de la résistance suivant l'axe de figure, ce qui donne pour des angles de projection qui ne dépassent pas 46^, comme on le verra plus loin, une approximation suffisante pour la pratique, on aura la portée sur un terrain à hauteur de la bouche à feu au moyen de la formule (1), nP 52, en y faisant s^ = o, et l'on obtiendra

F» sin 2 9

ax

c ax

— I = — — — et développant cette fonction en

2Vt)

série, en négligeant devant l'unité les termes qui contiennent - à des puissances supérieures à la première, on aura

d'où l'on tire

F» sin 29/1 aF«8În29\

^ mettant dans la formule (5) la valew approchée de l'inté-

grale dans le cas de | < 0,75, on trouve

1— y 1— (I) tang^î

On obtiendra la durée au moyen de la formnle (5) n° 62

ax

et en déyeloppant Fj (~ ) = — ^ — en série, on aura

£n substituant kx^ valeur et en négligeant devant l'unité les termes qui ices supérieures à la premièi

2Fsin 9 / T ttF'8in2y>

contiennent — à des puissances supérieures à la première on trouve gc

f , ttF»8in2y \

Les valeurs de v,/(t?), vf(v) étant on peut poser

E>r* i/(Mi -ËZi£r__^L r«rtrti -(!^'S—È.

ou

En développant logfl-*- ^ t\ en série et en substituant à t sa valeur, gn

obtient

d'où l'on tire (8)

tang8 =

y.-(iK(..)/-{i)ô=4']

L'ayant -dernière équation feit voir que Tangle i est moindre que |, quand

Cette condition est toujours satisfiûte, lorsque le tir a lieu sous