CO8 (P) -A
très proches de l'unité et que, par suite, dans le tir direct on peut prendre ^^'-jK = 1. Dans le tir courbe, quand|>l, les angles 8, pour des valeurs de | qui surpassent à peine 3, sont inférieurs à 20"^, de sorte que dans ce cas la valeur moyenne de ^^l^'^^ dififere peu de l'unité et on peut la prendre égale à l'unité. Dans le tir courbe, quand 1"^ 1, les angles 8 varient dans de larges limites; mais dans ce cas, qui suppose de petites vitesses initiales, la résistance de l'air varie peu dans le trajet du projectile et l'on peut, pour faciliter les calculs, prendre, au lieu de la valeur variable coglp'^.| qni est assez
bien représentée par la formule ^^^v^ J = 1 -1- 3,2 8*, sa valeur
moyenne
d p=JJ(1^3,2 8»)d8=l-Hl,07 8^
La relation entre les valeurs de ^'^jp'J? et les angles 8 peut être exprimée, dans le cas de petits angles 8, par
où pour les projectiles semblables à notre obus de 4^
fc = 2,05.
La droite exprimée par cette équation est représentée sur la ligure 21 par des traits interrompus.
La relation entre les valeurs de "^t^' 52 et les angles 8 peut être
expriiMée, dans le cas d'angles 8 qui varient dans de larges limites, par
sin (p, TO • % ^
jjj^ = msin«cos8,
où Ton a pris, pour les projectiles semblables à notre obus de 4\
afin de représenter avec une approximation suffisante les valeurs
^^ c'oslpilo ^*^^ ^^^ ^™^*®® de 8 = à 8 = 20^, les angles 8 ne dépassant 20^ que dans le cas de tir avec de très petites charges.
La courbe exprimée par cette équation est pointée sur la figure 21.
Les dérivations des projectiles oblongs du plan vertical du tir étant toujours petites relativement aux abscisses x et les angles o que font les plans verticaux passant par les tangentes avec le plan vertical du tir ayant toujours une faible valeur, on peut poser cos o= 1 et sin (ù =3 tang (ù = (ù.
Les équations différentielles du mouvement de translation deviennent:
dans le cas du tir direct
-gj = — gfiv) cos â—hgh . cos v/'(t;) sin — kgh. sin v. af{v),
^ = — p(l -i-Av) sin <?) -4- %8 . cos v/'(t>) . cos 6» ,
^ss —^©/'(t;) COS tf -4- /cjj8 . sin V . /*(!;)— i^8 . cos V . o . /'(v)8in tf.
dans le cas du tir courbe j quand | > 1
I— ^sB p/(t;)co8d— m^smdco8dco8v/(o)8m9— mpsindcosd8mv.u/(«),
j j„ (2).... ^ ^==~^ (^ -♦-/ W sin «) -t-f»^ sin d cos d cos v/(«) cose,
-^s.^tt>/(t;)cosd-4-ifi^8iiidco8dBinv./(v)-in^8iiidco8dco8v.u/(v)8ine,
daws le cas du tir courbe^ quand | < 1
)-T^= -pP/(t)co8d-mflf 8md cosd co8v/(v)8md-m^ 8md cosd 8mv«/(«)y ^^ -2!^= — //(l-i-p/(r)sind)-*-fn5fsindco8^cosv/(t?)cosd,
~^=~^^b>/(r)co89-i-ifi^8ind cosd sinv/(t7)~m^ 8ind co8^co8v.6>/(t7) sino.
Ces équations différentielles avec celles du mouyement de l'axe de figure (n° 117) déterminent entièrement le mouvement d'un projectile oblong.
Les équations (1) et (2) contenant des termes qui dépendent de cosv qui change de signe pendant le trajet du projectile, leur intégration, même approximative, depuis l'origine du mouvement jusqu'au point de chute, dans l'état actuel de l'analyse, présente des difficultés insurmontables, et il devient indispensable de les intégrer, môme approximativement, par parties. Pour feciliter les calculs nous nous bornerons, dans les équations différentielles du mouvement suivant l'axe des x et celui des ^, aux termes qui dépendent de la composante tangentielle de la résistance et de la gravité, et dans l'équation différentielle du mouvement suivant l'axe des z aux deux premiers termes de son second membre. Nous calculerons, comme corrections, les termes négligés qui ont une très faible influence sur les résultats, et, pour se faire une idée plus nette de leur influence, nous déterminerons les corrections en appliquant les calculs à un exemple particulier.
Les termes des équations (3), lorsque les angles de projection ne
dépassent pas 45^, ne changent pas de signe; mais dans ce cas, qui suppose une petite vitesse initiale et une &ible perte de vitesse sur tout le trajet du projectile^ on peut aussi, pour première approximation, se borner dans les équations différentielles du mouvement suivant les axes des x et des y aux termes qui dépendent de la composante tangentielle de la résistance et de la gravité, et dans l'équation différentielle du mouvement suivant l'axe des e aux deux premiers termes de son second membre, en calculant les termes négligés comme corrections.
126. Intégration^ par approûdmation^ des équations différent tidles du mouvement de translation dans le cas du tir direct. En se bornant dans la première et la seconde des équations (l)n^ 125 aux termes qui dépendent de la composante tangentielle de la résistance et de la gravité et dans la troisième de ces équations aux deux premiers termes de son second membre, on obtient
^=-g[l^fiv)Bm0),
^ = — gfùf{v) cos â-h-kgh sin v/'(t?).
Les deux premières équations différentielles déterminent sur le plan vertical du tir le mouvement de translation du projectile comme celui d'un point matériel, dont la masse est égale à celle du projectile, et qui est soumis à l'action de la force verticale de la gravité et à celle de la résistance dirigée en sens contraire de la tangente et égale en grandeur à la composante de la résistance dans le sens contraire à Taxe de figure. Par suite les équations finies du mouvement sur le plan vertical du tir, qui se déduisent de ces équations diffîrentielles, sont données par les formules obtenues dans le chapitre II pour les expressions de la résistance de l'air, qui se rapportent aux projectiles oblongs et où l'on doit prendre pour la fonction f{v) le rapport^ de la résistance de l'air dans le sens contraire à l'axe de figure au poids du projectile.
— 213 — ' La troisième équation différentielle, après la substitution de ^Sn^
à la fonction f{v) dans le premier- terme de son second membre et de fidv^) *) à la fonction f(v) dans le second terme, devient
^ = [*8.sinv-lo]9Aat^,).
Les formules (2), (4) et (éj) du n^ 118, obtenues pour les angles S et v, ne pouvant être employées que dans des limites entre lesquelles cos v ne change pas de signe, on ne peut intégrer la dernière équation que par parties, et encore on n'aurait pu ramener les intégrales qu'aux quadratures dont le calcul serait très difficile. Pour &ciliter les calculs et obtenir des résultats suffisamment exacts, nous allons intégrer cette équation par parties dans les limites de t^^ à^^ qui correspondent au commencement et à la fin de chaque demi-oscillation de l'axe de figure, en prenant, dans ces intervalles, au lieu du produit variable 8 . sin v et de l'angle variable q, leurs valeurs moyennes. Nous aurons ainsi
^,=i^<-i-*-^,__/^— «<^i)-^[*(« • sin v)^- \ tù^g\ dt \fi(iv,)dt,
o = tango = g5^ = ^.5i = -;,
ti u u
ou, en substituant à ^ [ f{av^)dt et kg^ dt J/'(at;i)eî« leurs valeurs
que l'on obtient en intégrant l'équation différentielle du mouvement
*) a est une constante choisie de manière que le produit a cos e diffère le moins possible de l'anitô dans les limites de l'arc de la trajectoire que Ton considère. Les valeurs de a sont données dans la table I de Tanneze.
^= — gf{v)cosâ, après y avoir remplacé la fonction /* (v) par
(1). . . .t;, =t;,.^H-[fc(8.sinv)^-i«J«(t;,)^ [ll^-lj,
(2)..»<=*,,-«>,^.j(*«-«,^i)+[««.8in»)„-l««]a(ri)^ I (t,-t^,) ^fi=î ,
Le produit 8 . sin v est toujours croissant ou décroissant dans tout rintervalle de chaque demi-oscillation *); par suite on peut prendre
*) En effet, en représentant par v/ Pangle Umite v d'une demi-oscillation, on a {fiP 118) dans le mouvement ascendant de Taxe de figure
(a) . . . 8 = sin V — Vsin* v — sin^ v, et dans le mouvement descendant de cet axe
(6). . .8 = sinvH-ysin*v — sinS^.
Multipliant Téq. (a) par sin^ et prenant la dérivée du produit ^.sin v par rapport à sin v, on obtient
<g(d.8inv) — - 2 sin V 2 8in^v-»8in^n/ .
<*Bi»^ ysin^v — sin*v|'
sinv variant dans l'intervalle d'une demi-oscillation de sinv/ à 1, on trouve, en
développant (sin* v— sin* v/)"" ' en série,
d{d.Wï^) I sin^v/ P, sin'vf 8.5 3 Bin*v/ 3.5.7 4 sin^v^ 3.5.7.9 6 sin» v/ "l
dsinv "" i8in«vL "^8in«¥'*'2.8*£2* Bin*v'*"2.3.4'65»'8Ïn'T"*'2.3.4.6'6.2»'sin« v"*""'*J
quantité négative.
Par suite, durant le mouvement ascendant de l'axe de figure , sin v croissant dans l'intervalle de v^ > - à v = ^, le produit d* sin v y est décroissant, et sin v
décroissant dans l'intervalle cte v = ^ à v/ < - . le produit d.sin v y est croissant
pour (8 . sin v)^^ la moyenne arithmétique des valeurs de 8 . sin v qui correspondent (n^ 11 8) au commencement et à la fin de chaque demioscillation. L'accroissement de Tangle o étant faible durant une demioscillation, on peut prendre pour o^ la valeur de o^^ correspondante à la fin de la demi-oscillation précédente.
Les équations (1), (2) et (3) définissent la projection de la trajectoire sur le plan horizontal.
Nous déterminerons les corrections fournies par les termes négligés en appliquant les calculs à Texemple suivant.
127. Calcul de la trajectoire de Vohus de 4\ tiré sous V angle de projection, de lOP^ avec une vitesse initiale de 305"^^ On peut poser dans ce cas (n^ 115)
où pour l'obus de 4%n a c = 3514".
Le tableau du n^ 120 contient les valeurs numériques qui caractérisent le mouvement d'oscillation de l'axe de figure de l'obus de 4^ dans ce cas.
Les abscisses x qui correspondent aux durées insérées dans ce tableau seront déterminées au moyen de l'équation (5) n^ 52
OLX
Multipliant Péq. (b) par sin ^ et prenant la dérivée du produit d.sin v par rapport à sin v , on obtient
<g(^.8inv) o^|^^ ^ 2 8in»v-8in«v/ .
dsinv y8in»v-.sin«v^'
sin V variant dans l'intervalle d'une demi-oscillation de 8in v^ à 1, cette dérivée e8t positive.
Par suite durant le mouvement descendant de Taxe de figure, le produit d.sin v
croit arec sin v dans Pinteryalle de v/ <: - à v = ^ ^ et décroît arec sin v dans Tinterralle de * = 5 ^ */ >" g-
qui donne
Les ordonnées y qui correspondent à ces abscisses sont données par la formulé (1) n° 52, et les angles â par la formule (2) n° 52.
Les projections v^ de la vitesse sur l'axe des x sont déterminées par la formule (4) n^ 52 ou par la formule {n^ 118)
En substituant dans les équations (1), (2) et (8) du n^ 126 à t;^ et à a; leurs valeurs en fonction de tj ces équations deviennent
w =« -+-rA;(8.sinv)^ — -<^S\(iVj 4 tû — ^>
Pour calculer v^ , s^, (ù^ on mettra dans ces formules (tableau du n° 120) <, = «/= i;273, t,, = t, = 0, f,^, = v,„ = 0, i',, = ^o = 0, »^= o^, = Oq=0; la valeur de i.sinv qui correspond à <o = est zéro; la valeur de S.sin v qui correspond àf, = 1Î273 est arc l°32'.sin 90°= 0,02676, de sorte que (S . sin v)^= "-^y^^ =0,01338. Les formules donneront v^^ = 0-^4317; 0, = 0",2719; «, = 5' = 0,001517.
Four déterminer v^ , z^, o^ on mettra dans les formules <. = ^j=2;342, ^,,L<j= i;273, t;,.^= », =0"=',4317, c»„ = 0|, = Oj = 0,001 5 1 7 ; la valeur de < . sin v qui correspond àf,= i;273 est arc r32'. sin 90° =0,02676; la valeur deS.sinv
qui correspond à<j=2î342e8t arc0°39'.sml33°49'=0,008186, de sorte que (8 . sin v)„ = "'^'^^^^^'^^^ = 0,01 748. Les formules donneront t;,^0»=»,8418; ;?j=0°,9817; ©2=11' =0,003087.
Ainsi de suite.
On a insâré dans le tableau suivant les valeurs numériques qui caractérisent le mouvement de translation de l'obus de 4', tiré ave« la vitesse initiale de 305"", sous l'angle de projection de 10°.
tù
in:8
QB»
Om:B
Om
Examinons les corrections qu'introduisent dans les valeurs de x^ y^ z les termes négligés dans les équations (1) n^ 125.
Le second terme du second membre de la première des équations (1) n° 125 donne pour Tabscisse a?, entre les limites de <^^ à <^, la correction
U U — À^J cK J8.cosv/'(f;)sindrf<;
en substituant à ces v et ki leurs plus grandes valeurs absolues (^^^^)wa« ^* ^nuM ^^^ ^®^ limites de l'intégration, la valeur absolue de cette correction sera toujours moindre que
U ti en mettant au lieu de </J d^ J f{v)saL0dt6». valeur que Ton obtient
An
en intégrant deux fois Téquation -gf^ = — g{l -t- f (r) sin ^), la dernière expression devient
*«««*(«O8v)^|[(t;0,^tang<9,,-f(f,-<,0]M,,Hyr»..)}-
En prenant successivement pour les intervalles f,-^,i les durées de chacune des deux demi-oscillations consécutives de l'axe de figure durant lesquelles cos v conserve le même signe, on peut calculer la limite supérieure et l'inférieure entre lesquelles est comprise la correction. Mais si on calcule dans cet exemple la limite de Terreur pour la durée entière t,.=10î582, enposant^,.-i=0, et par suite (v,). tangÔ;i=Fitang9, y^i=0 et en faisant cos v=l et (tableau du n° r20) 8«2°28 =0,043 1 , qui est la plus grande valeur de i sur tout le trajet du projectile, on aura même dans ce cas une correction égale à 3",9 que Ton peut négliger par rapport à la portée totale.
Le troisième terme du second membre de la première des équations (l)n'' 125 donne pour l'abscisse a;, entre le8limitesde^=oàf, la correction
t t — kg^ rf< j8.sinv,o/'(t;)rf/;
en prenant pouf sin v l'unité et pour 8 et o leurs plus grandes valeurs entre les limites de l'intégration, la valeur absolue de cette correction sera toujours moindre que
en mettant au lieu de flf J d< J f{v) dt=^g^ dt^ fip-v^ dt sa valeur
que l'on obtient en intégrant deux fois l'équation ^* =— 5f/*(î;)co8 6,
après y avoir substitué =^^j^ à la fonction f{v)y la dernière expression
occoso
devient
*«max««u,^*T^i('— fi)-
Pour la durée entière <= 10Î582 on a (tableau du n"" 120) Kax = ^''âS' = 0,0431 ; o^^ = r = 0,01 75 et la dernière expression devient égale à 0",8, de sorte que la correction en portée est moindre que 0°,8 et on peut la négliger.
Le second terme du second membre de la seconde des équations (1) «° 125 donne pour l'ordonnée y, entre les limites de t^^ à t^ la correction
U U hg^ dt^ i.cos^f(v)cosOdt;
en substituant à cos v et à S leurs plus grandes valeurs absolues (cosv)^^^ et i^^^^ dans les limites de l'intégration, la valeur absolue de cette correction sera toigours moindre que
^^fnax(^^^'')max9 f ^' f A«^) COS . dt]
en mettant au lieu de ^ j" rf< [ f{v) cos â.dtssi valeur que Ton obtient
en intégrant deux fois l'équation -g^ = — 9f(v) cos (?, la dernière expression devient
En prenant successivement pour les intervalles <^-<^i les durées de chacune des deux demi-oscillations consécutives de l'axe de figure durant lesquelles cos v conserve le même signe, nous calculerons la limite supérieure et l'inférieure, entre lesquelles est comprise la correction.
Dans les limites de t^^ = kt^ = 1Î273 (tableau du n^ 120) Fangle v varie de zéro à|, de sorte que cos v est toujours positif et la plus grande valeur de cos v est l'unité et sa plus petite valeur zéro; la plus grande valeur de i est 1°32' = 0,0269; «?,, = 0; a;.= 378";(t;,).^ = 300"".
La limite supérieure de la correction dans cet intervalle est -^-0",215;
la limite inférieure de la correction dans cet intervalle est zéro.
Dans les limites de t^^^ = 1Î273 à 1^= 2;? 11 Fangle v varie de 90^ à 133°49'et de 133^49' à 90^ de sorte que la valeur absolue de cos V est comprise entre et 0,692; la plus grande valeur de«estr32'=0,0269;a:,., = 378",a?,=782",(t;,),^=284"'^6.
Observant que cos v est négatif dans cet intervalle, on aura: .
la limite supérieure de la correction égale à zéro;
la limite inférieure de la correction ^ale à — 0",196. Entre les limites de t^^ = 2;711 à t. = 4î308 on aura:
la limite supérieure de la correction égale à-t- 0",31 1 ;
la limite inférieure de la correction égale à zéro. Entre les limites de <,.i= 4^308 à «,.= 6;116 on aura:
la limite supérieure de la correction égale à zéro:
la limite inférieure de la correction égale à — 0",222. Entre les limites de «,., = 6;i 16 à <;^ = 8îl78 on aura:
la limite supérieure de la correction égale à-i- 0",469;
la limite inférieure de la correction égale àr zéro. Entre les limites de t^^^ = 85178 à «^= 10î582 on aura:
la limite supérieure de la correction égale à zéro;
la limite inférieure de la correction égale à — 0",238. On voit que la correction de l'ordonnée y sur tout le trajet du projectile est comprise entre les limites
et
0",215 -i- 0^311 ^0",469 = r,0 0",196 — 0",222— 0™,238=— OV.
La correction de 1"" de l'ordonnée y correspond, pour l'angle de chute de 14^20', à une correction de 4"" de la portée totale, que l'en peut négliger, d'autant plus que la correction réelle de l'ordonnée y est bien moins grande que ses limites.
Le troisième terme du second membre de la troisième des équations (l)n° 125 donne pour l'ordonnée ir, entre les limites àet^^ kt^ la correction
— kg^ dt I i.cosy.fù.f{v)smâdt; *f — I *t — i
en substituant à cos v, à 8 et à ca leurs plus grandes valeurs absolues dans les limites de l'intégration, la valeur absolue de cette correction sera toujours moindre que
*•— 1 ^rf— i
OU que
En prenant successivement pour les intervalles t^ — 1^^ les durées de chacune des deux demi-oscillations consécutives de l'axe de figure durant lesquelles cos v conserve le même signe, on peut calculer la limite supérieure et l'inférieure, entre lesquelles est comprise la correction. Hais si on calcule la limite de l'erreur pour la durée entière t^ = 10;582, en posant <j., = et en faisant cos v = 1, 8 = 2°28'=0,0431 et«=r=0,0175, qui sont les plusgrandes valeurs de cos v, 8 et cd sur tout le trajet du projectile, on aura môme dans ce cas une correction égale à 0'°,07 que l'on peut négliger par rapport à la dérivation totale.
Cet examen &it voir que l'on peut, sans erreur sensible, omettre les termes négligés dans les équations différentielles (1) n^ 125 du mouvement de translation d'un projectile oblong.
On a construit sur les figures 22 et 23 la projection vertii^Ie et la projection horizontale de la trajectoire de l'obus de 4^ tiré ayec une vitesse initiale de SOb"*'', sous l'angle de projection de lO"^, en prenant pour les valeurs de Xy y\ z celles qui sont insérées dans le tableau de ce numéro. Les ordonnées j/ sont prises à une échelle 8 fois plus grande que celle des abscisses x^ et les ordonnées^ à une échelle 50 fois plus grande que celle des abscisses x.
128. Formtdes simplifiées du mouvement de translation d^un prcjectUe oblong dans le cas du tir direct. On voit par ce qui précède qu'on peut calculer avec une précision suffisante la projection de la trajectoire sur le plan vertical du tir au moyen des formules obtenues dans le chapitre II pour les expressions de la résistance de l'air qui se rapportent aux projectiles oblongs, et où l'on doit prendre pour la
fonction f{v) le rapport p de la résistance de l'air dans le sens contraire à l'axe de figure au poids du projectile.
On déterminera la projection horizontale de la trajectoire au moyen des formules (1), (2), (3) n° 126; mais les calculs que l'on a à exécuter sont longs.
On peut, avec une approximation sufilsante pour la pratique, obtenir la projection horizontale de la trajectoire en intégrant l'équation différentielle du mouvement suivant l'axe des z
^ = [*8 . sin V — 1 tt] gf{av,)
depuis l'origine du mouvement jusqu'au temps qui correspond à la portée totale, prenant au lieu de l'angle variable w sa valeur moyenne o^ sur toute l'étendue de la trajectoire, et substituant au produit variables . sin V sa valeur moyenne durant deiLx demi-oscillations moyennes de l'axe de figure: l'une ascendante et Tautre descendante. On obtient ainsi t
v^=[k{8.sm^)^—l(ù^'jglf{av,)dt,
z= [fc(8.sinv)^— JoJ(^ J dK j Aat^,)*,
ou, en mettant au lieu de ^f J f{av^)dt etàeg\dt\ f{av^) dt leurs
An
valeurs que l'on tire de l'équation -gJ = ~^/'(t;)cos^ en l'intégrant, après y avoir substitué ^^^^ à la fonction /"(»), on trouve
V, = [ft (8 . sin v)^ 1 6, J av, (^ 1^
ir = [ft(8.sinv)„-i«JaF,(<-^]^,
o = g=[fc(8.sinv)„— >J«(^-l).
Prenant pour o^ la moyenne arithmétique des valeurs de Oo=0 et de (ù, on aura
d'où Ton tire
«^ = A;(8.sinv)„a^J— .
Les valeurs du produit S.sinv étant comprises (n° 119) dans l'intervalle d'une demi -oscillation moyenne ascendante de l'axe de figure entre les limites de J ^^n^ifL» - ^ «* ^«
^ g^n-— 1) /ii)a C08 9
sl/^Î^SS • V^8 "-^;. fl^ , et dans l'intervaUe d'une
5 f n — 1 /iv)a C08 9 f n — 1 ai) a cos 9
demi-oscillation moyenne descendante de cet axe entre les limites de 1 r/g?!^!, ^'>^ Vs^-^!.^'^ - et dei(2-45i;r^î^Vl7
5 r n— l*iîaco89 f n— 1 fct)aco89 g\ »i-lfciQ«co89/ '
on peut prendre pour (8 . sin v)^ la moyenne arithmétique de ces quatre valeurs, et par suite poser
En mettant les valeurs de o^ et de (S . sin v)^ dans les expressions de Vg, et o, on trouve
rL i
(2) -=i(i-^8î^*;Siri)«^.Tr-r'
où
(éq. l,nM18) g = *2fg^,
2k|iF
(«•119)....[«rtr)].= !§
pour des vitesses initiales dépassant 325°'"' on peut prendre (n^ 26) p n = 4 et 20* = ^ôôôôôô27îc5«fl' ®* P^^^ ^®® vitesses initiales moindres
que 325"'" on peut prendre (n° 120) n=2 et 20 = ^^^^^^ ,
. pour les projectiles semblables à notre obus de 4V = 0,589, *= 2,7, fc = 2,05,
T) est le pas des rayures exprimé en rayons du projectile;
a est une certaine valeur moyenne de la sécante trigonométrique de l'angle â d'inclinaison de la tngectoire; les valeurs de a sont insérées dans la table I de l'annexe.
En calculant au moyen de ces formules simplifiées la dérivation de l'obus de 4^ tiré avec une vitesse initiale de 305"'', après une durée du trajet de 10î582, on trouve £i= 15"',4:; une solution plus précise a donné (n° 127) ;? = 18^7.
Four reconnaître facilement l'influence de la longueur du pas des
rayures et de la vitesse du projectile ,sur les dényations, admettons que la résistance de l'air soit proportionnelle au carré de la vitesse. Bans ce cas
ou, en développant le logarithme en série et se bornant aux deux premiers termes de la série, ce qui est possible, lorsque t n'est pas grand, on trouve
et l'on a (n" 119, pour n= 2)
' [«f(vW («^i)* __i£,
de sorte que
ftti«*C0g9 (a.V{f ____4c
^4iC|i
En mettant les valeurs de v^jxetq dans l'éq. 2 et admettant a*cos9 = l, on trouve
.=ix4.e(i*24^)<.(i*:^,y.
Cette équation &it voir que, pour des projectiles semblables, la dérivation latérale diminue lorsque la longueur du pas des rayures augmente, et que la dérivation croit un peu plus rapidement que les
carrés des durées. En observant que t=zy-F^ l^X ^^ ^^^* *^^ que la dérivation est en raison inverse du carré de la vitesse initiale du projectile et croît un peu plus rapidement que les carrés des distances. Le coefficient c étant proportionnel au rapport du poids du
. projeetile à sa section transversale, la dérivation diminue lorsque ce rapport augmente, et le coefficient (t étant proportionnel au moment d'inertie du projectile autour de son axe de figure, la dérivation augmente avec ce moment.
129. Intégration^par appraximatUm, des équations différentielles
du mouvement de translation dans le cas du tir courbe^ quand^>l.
En procédant avec les équations (2) n^ 1 25 comme on l'a fait au n"^ 1 26 avec les équations (l)n^ 125, on trouvera que les équations finies du mouvement sur le plan vertical du tir sont données par les formules obtenues dans le chapitre II pour les expressions de la résistance de l'air qui se rapportent aux projectiles oblongs, et où Ton doit prendre
pour la fonction f{v) le rapport^ de la résistance de l'air dans le sens
contraire à l'axe de figure au poids du. projectile.
Pour déterminer la projection horizontale de la trajectoire, on aura les expressions
(l)...e;, = t;, .^ h- [m(sin«cos«sinv)^- J o J ^ivùi\j^ — l],
OÙ l'on peut choisir les intervalles t^ — 1^^ de riianière qu'ils correspondent aux durées des demi-oscillations de l'axe de figure.
On peut reconnaître, au moyen des formules des n*" 121 et 122, que le produit sin i cos i sin v est toujours croissant ou décroissant dans tout l'intervalle de chaque demi-oscillation; par suite on peut prendre pour (sin 8 cos 8 sin v)^ la moyenne arithmétique des valeurs de sin 8. cos 8. sin V qui correspondent (n" 122) au commencement et à la fiii de chaque demi-oscUbtion. L'accroissement de l'angle (ù étant faible durant une demi-oscillation, on peut prendre pour q^ la valeur o^., correspondante à la fin de la demi -oscillation précédente.
On se convaincra par un exemple particulier, en procédant comme on Ta fait au n° 127, que Ton peut négliger, sans erreur sensible, les corrections fournies par les termes qui ont été omis dans les équations différentielles du mouvement de translation.
130. Formtdes simplifiées du mouvement de translation d'unprojedile oblong dans le cas du tir courbe, quand | > 1. La projection de la trajectoire sur le plan vertical du tir peut être calculée, avec une précision suffisante, au moyen des formules^btenues dans le chapitre II pour les expressions de la résistance qui se rapportent aux projectiles oblongs, et où Ton doit prendre pour la fonction f{v) le rapport^ de la résistance de l'air dans le sens contraire à l'axe de figure au poids du projectile.
On peut, avec une approximation suffisante pour la pratique, obtenir la projection horizontale de la trajectoire en intégrant^l'équatioii différentielle du mouvement suivant l'axe des ;8f
-J^ = fm sin 8 cos * sin v — ^ ol gf(oLV^)
depuis l'origine du mouvement jusqu'au temps qui correspond à la portée totale, prenant au lieu de l'angle variable o sa valeur moyenne o^ sur toute l'étendue de la trajectoire, et substituant au produit variable sin S cos S sin V sa valeur moyenne durant deux demi-oscillations moyennes de l'axe de figure: l'une ascendante et l'autre descendante. On obtient ainsi
t t;, = [w(sînaco8a8inv>^ — ^oJ(^f /•(Wi)(ft,
t t zs=fm (sin i cos i sin v)^^ — \ o^g J d< | /'(««'i) dt ,
ou, en mettant au lieu de ^ [ f{o.v^dt et de ^ f * J" /"(aVi) dt leurs
valeurs que Ton tire de ré(iuation^ =— g/'(f;)co8^enrmfe^raDt, après y aYoir substitué ^^ à la fonction f{v), on trouve t;^ = [m(sin«cos«8inv)^ — ^oJto,(^— 1),
z=irm (sin 8 cos 8 sin v)^ — ^ o J aF, (t — ^J,
« = ^ = [m(sinacos8sinv)^ — i«Ja(^— l).
Prenant pour o^ la moyenne arithmétique des valeurs de «0=® et de Q, on aura
*'m= 5 [^ (sî^ * ^^s * 8"^ ^)m — ; « J * (^ — 0' . d'où Ton tire
o^i=fn (sin 8 cos 8 sin v)^ a y
Les valeurs du produit sin 8 cos 8 sin v étant comprises (n^ 1 23) dans l'intervalle d'une demi-oscillation moyenne ascendante de l'axe de figure
entre les limitesde^^^r^^^etdelV^S^^
et dans l'intervalle d'une demi-oscillation moyenne descendante de
eet axe entre les limites de \ /^^^^^ • /^J^IZS:
et de 1 [2(1-^) - 4 {l-f) ^,-^], on peut prendre
pour (sin 8 cos 8 sin v)^ la moyenne arithmétique de ces quatre valeurs, et par suite poser
En mettant les valeurs de o^ et de (sin 8 cos 8 sin v)^ dans les expressions de t;,, j? et ^, on trouve
où
(éq. l,n"'121) 2 = {2!5lMs,
2nix7
(«M19)....[t;At;)]„=<!§,
1 [--^(^)"-'rJ
pour des vitesses initiales au-dessus de 325'""' on peut prendre (n^26)n=4:et2c"=gjôôô5ôô2rïÊ2^' ®* P^^^ des vitesses initiales au-dessous de 32 5"'' on peut prendre (n° 1 20) n = 2 et 2c = qôî^^,
pour les projectiles semblables à notre obus de 4^ (i. = 0,589, Z=2,6, m = 2,l,
Tj est le pas àes rayures exprimé en rayons du projectile;
a est une certaine valeur moyenne de la sécante trigonométrique de l'angle d'inclinaison de la trajectoire; les valeurs de a sont données dans la table I de l'annexe.
Dans ce cas, comme dans celui du tir direct, la dérivation latérale diminue, lorsque le pas des rayures et le rapport du poids du projectile à sa section transversale augm^tent, et cette dérivation croit avec le moment d'inertie du projectile autour de l'axe de figure, et augmente un peu plus rapidement que les carrés des durées, qui sont en raison inverse du carré de la vitesse initiale du projectile et croissent un peu plus rapidement que les carrés des distances.
131. In/^(rfion, par apiproa:imo/ton, rff5 é(piations différen* tielles du mouvement de translation dans le cas du tir courbe^
quand | "^ 1 . En se bornant dans la première et la seconde des équations (3) n"^ 125 aux termes qui dépendent de la composante
langentielle de la résistance et de la gravité et dans la troisième de ces équations aux deux premiers termes de son second membre, on obtient
-^ = — g^^fip) cos ô-^mg sin 8 cos 8 sin v/'(f;). Ce cas supposant une petite vitesse initiale, onpeat poser (n^ 120)
où
2e-— I— '^''~~ 0,014 iclPy»
et les deux premières équations diCfêrentielles donneront
(1).:.. 2, = a;t»ng9-^FÎ=ê^>;
pour le point de chute à la hauteur de la bouche à feu on aura
(4) »^=5përei^^?(i-1f'').
(5) tang<? = tang9-^,F,(^), "
Les valeurs de v et de vf{v) étant
on peut poser
ou
(7) (f)« = |log(l-*-^0'
et
.o. tiia».coa(|> (<<1F,)* *^ 4c " •
^' *~ 4it|* • je (i i.'P^ifV'
Four déterminer ^, connaissant la vitesse initiale et l'angle de projection, on commencera par calculer, en posant ^=1, la valeur de X par la formule (2), celle de t par la formule (3), celle de (v)^ par la formule (7), celle de q par la formule (8) et celle de i au moyen de la formule (5) n° 124. Cette valeur de i servira à calculer (n° 125)
Connaissant ^, on obtiendra, pour la valeur trouvée de t des valeurs plus approchées de jc, y, â, v^, (»)„, { et 8; l'équation (4) n° 124 donnera la valeur de v.
Observant que (éq. 4, n° 124) sin8 = |sinv, on voit que l'équation diffiârentielle suivant l'axe des z peut être mise sous la forme
^ = [f8in'8co88-e«]^f(at;,).
Les angles o étant toiyours petits et le produit sin^ i cos 8, dans les limites deS = oà8 = |, ayant sa plus petite valeur égale à zéro et sa plus graine ne dépassant pas 0;385, on ne fera pas une grande erreur, si Ton intègre la dernière équation depuis Torigine
du mouvement jusqu'à la valeur trouvée de t en substituant à o et à sin'J cos 8 leurs valeurs moyennes o^ et (sin* « cosê)^ sur toute l'étendue de la trajectoire. On obtiendra ainsi
t;. = [f(sin««cos8).-|«J?t,.(^-l), . = [f(sin'aco88),-f«JîF,(<-|-), «^^; = [f(sin-8cos«)^-^J^-(^l).
Substituant àe»^ la moyenne arithmétique des valeurs de %—0 et de o, on trouve
d'où Ton tire
««=f(sin««cosa)„?^;
posant approximativement(sin««cos8)^=lj8in««cos8d«, on trouve
(sin*Jcos8L«^.
Mettant les valeurs de o^ et de (sin«8 cos»)^ dans les expressions de »,, « et o, on obtient
<»> ..=f.îi^'.|.e,.|i:i.
(10) « = î5?.£i£l*.«Flll5"
Zl 1 (11) o = 2«.!?£l*. «£lI
Les termes négligés dans les équations (3)yn^ 125 donnent pour les valeurs de a;, 2/, xr les corrections suivantes.
Le second terme du second membre de la première des équations (3), n"^ 125 donne pour l'abscisse 2; la correction
àx = — |(sin«cos«cosv)^[(Fjtang(p — 1<^< — y],
où l'on peut approximativement poser
(8indcoBdcosv)^=(8in^co8dK l-(|j 8in**)m=5j sî'^^'Vl-d) Blu^d.dsmd
Le troisième terme du second membre de la première des équations (3) n^ 125 donne pour l'abscisse x une correction dont la valeur absolue est moindre que o^^ . z et que l'on peut toigours négliger.
Le deuxième terme du second membre de la deuxième des équations (3) n^ 125 donne pour l'ordonnée y la correction
Ay = -4-~(sin8cos8cosv)^a7if< — ^\
où l'on peut approximativement poser
(sin 8co8«co8 v)„ = ^[1- (1 - (|)%m»«) /l- (|)*8in«8].
Le troisième terme du second membre de la troisième des équations (3) n^ 125 donne pour l'ordonnée a une correction dont la valeur absolue est moindre que <à^aa'^^ ^^^ ^'^^ P^^* toigours négliger.
132. Exemple. Soit un obus de 4^ tiré sous l'angle de projection de 45"^, avec une vitesse initiale de 50"-*. On a pour cet obus (n^ 120) c = 3514". En posant p = l, on trouve^a;=247",
<=7ÎU9, 1 =0,735, 8=70^1 5' et par conséquent p= 1 -♦-l,07a«=2,3.
Pour<=7{U9 etp=2,3 on obtient fl:=240'°,7,y=—2",0, e = — 47°16', w, = 32",15, f =0,680, «=73°18', v=40°39', © = 56', «=2",0.
Les termes négligés dans les équations (3) n° 125 donnent les corrections
Aa; = ^ r, 11 , Ay = -+- 4", 22.
On voit ainsi qu'à la durée < = 7U49 correspondent a;=240",7 — r,l = 239",6, 2/ = — 2°,0h-4°,2 = 2",2,
La portée sur un terrain à la hauteur de la bouche à feu est approximativement égale à 239'",6 -•- ■^^=241",6 et la durée qui
241™ fi, .239°^*!
correspond à cette portée est approximativement de 7îl 49-1 \
En comparant la durée et la portée horizontale calculées pour P = 2,3 à celles qui ont été obtenues pour p = 1 on voit qu'elles ne différent pas beaucoup entre elles, de sorte qu'on peut, dans le cas du tir courbe sous des angles de projection qui ne dépassent pas 45^, môme avec de petites vitesses initiales, calculer la projection verticale de la trajectoire en supposant la résistance de l'air dirigée dans le sens contraire au mouvement et égale en grandeur à la composante de la résistance dans le sens contraire à l'axe de figure.
En calculant la dérivation latérale z pour p = 1, on la trouve d« 2", 2 et elle diffère peu de^=2°,0 qui a été obtenue pourp=2,3, de sorte qu'on peut calculer la dérivation latérale, avec une approximation suffisante pour la pratique, en posant p = 1. *
133. Formules simplifiées du mouvement de translation d^un prqjectile oblong dans le cas du tir ^courbe ^ quand 1"^ 1. La projection de la trajectoire sur le plan vertical du tir peut être calculée avec une approximation suffisante pour la pratique au moyen des formules obtenues dans le chapitre n pour les expressions de la ré-
sistance de l'air qui se rapportent aux projectiles oblongs, et où l'on doit prendre pour la fonction f{v) le rapport^ de la résistance de l'air dans le sens contraire à l'axe do figure au poids du projectile.
La projection horizontale . de la trajectoire peut être déterminée par les formules suivantes
ma sin' à », 3 a F^^j
ou
^ 4ic|i gc
Op — -P -
"^ 0,014 nB*//'
on trouvera la valeur de S, à l'aide des tables d'intégrales elliptiques, au moyen de la relation
et à défout de tables on pourra ealculer la valeur approchée de è,
dans le cas de | > 0,75 au moyen des éqiiations
tang(« — tj))= |tangi|»,
2 gt
