I.ija

La valeur de q «gjjj^ W(^)]m donne

q fTïtt»cofly(ttF|)» /,

2~ 8itï* flrc \^'

3gF«Bin 2y 4gc

d'où l'on tire

<7C ïï)a*cos^9*2 V /Tîa'cos*9 2/

£n posant ^ = 0,75 et en mettant cette valeur de — dans les expressions J gc

de t et («)||| , on trouve que la condition

je réduit à la suivante

qui est toigours satisfaite, quand 9 = 45^.

des angles de projection qui ne dépassent pas 45^ *)•

Donc, lorsque 1^ 1 et le tir a lieu sous des angles de projection qui ne dépassent pas 45^^, les angles S et v, croissant à partir de zéro, n'atteignent pas ^, et la dérivée^ = ^ cos v fait voir qu'il n'y a pas de mouTement d'oscillation de l'axe de figure.

CALCUL DE LA TRAJECTOIBE d'uN PROJECTILE OBLONG DANS

l'aib.

125. Êguations différentielles du fnouvenient de translation d'un prqjectUe cMong dans Vaxr. Prenons pour origine dés coordonnées le lieu -du centre de gravité du projectile à son départ de la bouche à feu>pour l'axe des x l'horizontale qui est située dans le plan vertical passant par la tangente au point de départ et qui est dirigée dans le sens du tir; pour l'axe des y la verticale dirigée de bas en haut; pour Taxe des z l'horizontale qui est perpendiculaire au plan des xy et qui est dirigée à droite du spectateur, placé au point de départ et observant la trajectoire. Soit 0(fig. 19) le lieu du centre .de gravité du projectile après le temps t. Menons par le point les

*) Ea effet, en mettant la valeur de

gc iTja* cos' 9 ' 2 \ îtja' cos* 9 ' 2 /

dans les expressions de ,

. 2Fsin9/t aF*sin'29\ ^4. 1 / ^ tt- / 1

on trouve que la condition

aF'8in29 \ 4^c 1

se réduit à

2 8in9

àSi(i*i/i-(iy)(i-ig.ïy-M)<'^

qui est toujours satisfaite, quand 9 ^ 46<>.

axes des coordonnées x, y^ z- parallèles à ceux du point de départ et figurons-nous une sphère dont le cenlre est en 0. Soit OT la direction de la tangente et OA celle de l'axe de figure. Désignons par v la 'vitesse du projectile au point 0, dirigée suivant 0T\ par l'angle que fait la tangente OT avec le plan horizontal zx ; on aura yT= \^^\ représentons par o l'angle xyT que feit le plan vertical passant par la tangente avec le plan des xy, par 8 l'angle AOT que fait l'axe de figure avec la tangente, angle égal à l'arc AT\ par v l'angle ATy que fait le plan vertical passant par la tangente avec le plan passant par la môme tangente et l'axe de figure; par g l'accélération de la gravité; par P le poids du projectile.

En faisant abstraction du frottement de l'air contre la surface du projectile ainsi que de l'augmentation de pression sur certaines parties de sa surface et de la diminution sur d'autres, qui résultent du mouvement simultané de translation et de rotation, on n'ft à considérer, parmi les forces extérieures qui agissent sur le projectile pendant son mouvement dans l'air, que celle de la gravité et celle de la résistance de l'air qui s'exerce normalement sur chaque élément de la surface du projectile, soumis à l'action de la résistance.

Les résistances normales de l'air sur chaque élément de la surface soumis à l'action de la résistance se réduisent {vk" 17) à la résultante p située dans le plan TJJYjT^' qui passe par Taxe- de figure du projectile et la tangente et qui Mt, dans la plupart des cas, avec la direction OAÎ^ contraire à l'axe de figure, on angle* ^OAÎ plus * grand que l'angle 8 = AT formé par l'axe de figure et la tangente. Décomposons dans le plan TATAl la résistance résultante 9 en deyx: l'une p< dans le sens OT contraire à celui de la tangente et l'autre p„ dans le sens O'N perpendiculaire à la tangente. La projection de p< sur l'axe x sera égale à— picos(raî), et comme le triangle yTa; donne cos (Ta;) = cos cos w, on a — p< cos {J!7£) = — p^ . cos ô cos w. La projection de Pi sur l'axe y sera égale à — pi.cos(yT) = — p^.sin^. La projection de pt sur l'axe z sera égale à — p^ . cos i^z) et comme le triangle yTz donne cos (T£?) = cos ^ . cos {zyT) = cos ^ . cos (^ — «^ = cos ^ sin «1 on a — pj. cos(I>) == — p^ cos sin «.

La projection de 9^ sur Taxe x sera égale à 9^ . cos (Nx); mais le triangle NTx donne cos (Nx) = sin (Tx) . cos (NTx) = sin (Tx) . cos (v -^yTx)=^sm (Tx) [cos v . cos (yTx) — sin v sin (yTx)] , le triangleyTaîdonne cos(yaî)=^o=sin â cos (Ta?)-H50sôsin(Ta;) . ùOB{yTx) et on a vu que cos (Ta;) = costf cos«; par suite on a 9^. cos (Nx) = — 9^ cos V sin d cos « — 9^ sin v sin w. La projection de 9^ sur Faxe y sera égale à 9„ .cos (j^^y); mais le triangle NyT donne cos (Ny) = cos â cos v; par suite 9^ cos ( ^y ) = 9^ cos v cos ^ . La projection de 9^ sur l'axe z sera égale à 9^ cos (Nz); mais le triangle NTjs donne cos (Nz) = sin (Te) . cos (NTz) = si» Tz . cos (j^Iir — v) = sin (Tz) [c\)s (yTz) . cos v -♦- sin (yTz) . sin v] , le triangle yTz donne cos (jfz) =z = sin â . cos (Tz) -*- cos tf . sin {Tz) . cos (yTz) et on a vu que cos {Tz) = cos Ô . sino; par suite on a 9^ cos {Nz) == 9^ sin V cos « — 9^ cos v sin â sin o.

Les projections de la vitesse v sur les axes x, y^ z seront égales à t; cos ^ cos to, V sin ^. v cos ^ sin o ; nous les désignerons par Tj , v^^ v^.

Les équations différentielles du mouvement de translation suivant leô axes x^ y, z seront

dvi pt cos e cos tù Pli cos y sinocosca p^^ sin v sin <d

dvx p# cos d sin u p^ sin v cos «> p„ cos v sin e sin cd

Mais 9i = 9 cos (9, T'), 9„ =" 9 sin (9, T') et la composante de la ré^stance en sens contraire de Taxe de figure 9^^ = 9 cos (9, A\ de sorte que

« -« cQs(p,r) sin(p, JQ

9< — Pa cos (p^ ^/)î 9n — Pa cos (p,AO *

En mettant ces expressions dans les équations du mouvement et désignant^ par /*(«;), ces équations deviennent

df>i ., ,cos(p,r) ^ ^, x8in(p,rO . ^ ., vSin(p,r) .

'JT=-Sfif>) / ./ COS^COS W-of(?) T^-Î-TT-'COS V8mÔC0S«-fl/(t^) — r^»«'" ^ *"•***»

d* 'cos(p,i4') ^'^ 'cos(p,i4') ^^'cos(p,X') '

La figure 5 représente les courbes des angles (p, T) et (p, -4') en fonction des angles 8 pour les projectiles semblables à notre obus de 4:\ A Faide des valeurs des angles (p, T') et (9, ^') on a talculé celles des rapports ^^j^* ^2 et "^'^^^^ ^. que Ton a construites sur les figures 20 et 21 y en prenant les angles 8 pour abscisses et les rap- P^'^*® coB?* ^0 ^* cos (p ^0 ^^^ ordonnées. La courbe des valeurs de-^^^r^feit voir que, pour de petits angles 8, ces valeurs sont