COB
2^. On calculera les arcs suivants de la trajectoire sous Tangle de projection 9' jusqu'au point 3f *' où la vitesse est ^le à 280"^" dans l'hypothèse de la résistance (n^ 53)
OÙ
2Ar.I?g' n et {n° 28)
Pour calculer le deuxième arc on choisira une yaleur quelconque pour X"= OP; on aura pour l'abscisse horizontale MQ' =a^' di' point M'
a;'=(X"— XOcosç'.
On déterminera d'abord la valeur approchée de l'angle d'inclinaison <p"' au point M*, en posant a = ^^, à l'aide de la formule (2) n" 53
tang <p"' = tang 9" -- F^5??^ 3 (^) , où
et ayant cette valeur approchée de 9'", on obtiendra a de la formule
tang 9" — tang ç"' *
Connaissant la valeur de a, on aura la valeur de ç'" suflSsamment précise en mettant la valeur de a dans l'expression précédente de tang 9'", et l'on trouvera:
l'ordonnée M'Q* = y" du point M' à l'aide de la formule (1) n°53
/ = a!"tang9"-,-^,f^|)(.);
la vitesse V au point M! à l'aide de la formule (4) n° 53 ^ , Tcos®'
la durée t du trajet du projectile du point M au point JlT à l'aide de la formule (5) n*" 53
la durée du trajet du projectile du point de départ au point ilf' sera
En coordonnées obliques, Tabscisse OP du point M' est celle que l'on a choisie X*', et on aura l'ordonnée ilf'P'ss Y^ du point Jkf'
T' = T-^{X" — X)m. cp; — y\
L'angle de projection 9^ déterminé de l'expression
sin 92 = X??correspondra à la portée horizontale
a:;2 = X"cosç2-
L'angle de chute 0^, la vitesse de chute v et la durée totale du trajet t^ seront définis (n° 79) par
tang 0^ = tang 9''' — tang 9' h- tang 92,
F" cos 9'"
cos ©2 '
On continuera les calculs de la même manière jusqu'au point Jfy,jOù la vitesse F^,^ n'est pas de beaucoup plus grande que 280*".
3°. Pour calculer le t -♦- 1 arc de la trajectoire du point 3f^#i) OÙ la vitesse est V^^y et l'inclinaison 9(,^i) jusqu'au point if^,^ où la vitesse est Fj^^d = 280"'", on déterminera d'abord la valeur approchée de l'angle d'inclinaison 9(j^2) ^^ P^^^^^ ^u) ^ ^'^^^ ^^ ^^ formule (6) n° 53
tang<p,,^,,=tangy,.^,,^ 3^, Fe, J,l^^,^i l- ''v^^''^^^^^^
en posant a = •^^^;^^ , cos ç^..^,, = cos ç^^^^ , et ayant cette valeur approchée de 9(,-^2)9 ^^ obtiendra a de la formule
On aura la valeur de 9(,-.^) suffisamment précise en mettant dans l'expression précédente de tang^^^^g) ^^ ^lour de a et en substituant dans y^ii^})^ 9ii^2) ^ 9(i-#-2) ^ valeur approchée.
Connaissant la valeur de 9(,-.^) et celle de a, on trouve
^(4^i) = J!^(i^i)Qu) à l'aide de la formule (3) n"" 53 ^(^1) = ilf(,^ Ç(^j à l'aide de la formule (1) n° 53
où
la durée f^^jj du trajet du projectile du point 3f(,,) jusqu'au point M^^^ à l'aide de la formule (5) »° 53
la durée du trajet du projectile du point de départ jusqu'au point JU^^.) sera
i^-^t'-^ -^Wd-
En coordonnées obliques, l'abscisse OP(,^=X(,.^,) du point M^^ sera
l'ordonnée M^^^ P^^j = ^(^^i) du point M^^^ .sera
L'angle de projection (p^^, déterminé de l'expression
correspondra à la portée horizontale
L'angle de chute ô^.^i, la vitesse de chute v et la durée totale du trajet seront définis (n° 79) par
tang d^^, = tang cp^..^^) — tang ?' -»- tang 9^^ ,
coa 0|^i '
4^. On calculera les arcs suivants de la trajectoire sous l'angle de projection 9', à partir du point ilf^^j où la vitesse est F(^^ïj= 280"*" dans l'hypothèse de la résistance (n° 51)
où
et(n^28)
= A«)=2TcU
eft.
Pour calculer le i -♦- 2 arc on choisira une valeur quelconque pour X(^-^2) = ^-Pd-f-DÎ ^^ ^^^^ P^^^^ Pabscisse horizontale -M;,) <2(^,) = a?(,^2) dn point iV^,^,,
'ii^2) = (^U^2) — ^(,-Hl)) ^<>S9 •
On déterminera d'abord la valeur approchée de l'angle d'inclinaison cp(^.^) au point ilf(^.^^), en posant a = ^—-^ — , à l'aide de la formule (2) n° 51
tengy,^, = tang9,^3)- v^,J^;^\,,,,, ^ (^> ^0%
et ayant cette valeur approchée decp(,.^3), on obtiendra a de la formule ^- 6(y«-*-2))-6(yu-»-80
Connaissant la valeur de a, on aura la valeur de9(,..^) suffisamment précise en mettant la valeur de a dans l'expression précédente de tang 9(^.^), et l'on trouvera:
l'ordonnée -Mj^^,) ^(,.#.1) = y{i^2) ^^ V^^^^ ^(i-^-i) * ^^^^^^ ^^ ^^ formule (l)n^ 51
2/«^2) = ^(i^2)tang9(,^,,-^pj^^^ V,');
la vitesse F^^^gj au point itf(^j.i^ à l'aide de la formule (4) w° 51
la durée <(^2) du trajet du projectile du point M^^^ au point M^^^^^ à l'aide de la formule (5) n° 51
la durée du trajet du projectile du point de départ jusqu'au point ilf(^^jj sera
t "^ t "+" • • • . "#- ttj g\ •
En coordonnées obliques, l'abscisse OP^^^^ du point Jlf^^-^^^j est celle que Ton a choisie Z^^-^gj, et on aura l'ordonnée ilf(^.4.i^P(^.^ij=r^^^j) du point -Mi,^^,)
Yii^2) = ^(.-4-1) "*- (-^«-#-2) — ^«-*.i)) siïi ?' — Vii^ny L'angle de projection f^^^ déterminé de l'expression
sinç^^ = Ji±2i correspondra à la portée horizontale
L'angle de chute ^,.^, la vitesse de chute v et la durée totale du trajet t^^^ seront définis (n° 79) par
^^ë ^i-^2 = ta»g 9ii^) — ^^S ¥ -*- tang ç..^^,
On continuera, lés calculs de la môme manière. 5°. On déterminera les dérivations latérales z qui correspondent aux portées x^^x^.. .d'après les formules du n^ 128.
137. Cas Ofà la vitesse de chute n^est pas inférieure à 360"'". Il &ut dans ce cas calculer la trajectoire, sans la diviser en parties, dans l'hypothèse de la résistance (n° 52)
où, en posant n =: n^
et (n^ 28)
2J^r.IPg
Jt = 0,044.
Si la hauteur du but n'est pas considérable, on peut poser a=l, et en appelant a et 6 la distance horizontale et la rerticale du but au point de départ et e l'angle d'élévation du but, on a tangs = ^, et Ton obtient pour Tangle de projection (ç—e) rapporté à la ligne qui Ta du point de départ au but l'expression (n^ 84)
Si le point de chute est à hauteur de la bouche à feu, on a ( = et e = o.
On aura l'angle de chute de la formule La vitesse de chute sera
e On aura la durée
Fco89 iV2r/
On déterminera la dérivation latérale z d'après les formules du n° 128.
138. Déterminer la vitesse initiale cPaprès celle que le projectile possède à une petite distance de la louche à feu. Si l'on
coimAît la vitesse t; à une petite distance de la bouehe à feu^ et si cette vitesse n'est pas inférieure à 360""'", on obtient la vitesse initiale F de- l'expression (n° 85)
139. Tir direct à vitesses initiales comprises entre 360"'" et 280°"'". La résistance de l'air dans le sens contraire à l'axe de figure des projectiles oblongs étant exprimée (n^ 28) pour des vitesses comprises entre 360"'' et 280'"-' par un monôme proportionnel à la sixième puissance de la vitesse et pour des vitesses inférieures à 280""'' par un binôme dont le premier terme est proportionnel à la deuxième puissance de la vitesse et le second à la quatrième puissance de la vitesse, il est nécessaire de calculer dans ce cas la projection verticalo de la trajectoire en la divisant en parties, comme on l'a fait au n° 1 36 pour le deuxième et les arcs suivants de la trajectoire.
On déterminera les dérivations latérales z qui correspondent aux diverses portées d'après les fonnules du n° 128.
140. Cas où la vitesse de chute n^est pas inférieure à JS8()^'\ la vitesse initiale ne dépassant pas 36()^'\ On calculera la projection verticale de la trajectoire, sans la diviser en parties, dans l'hypothèse de la résistance (n^ 53)
où, en posant II = IIi ,
2A,itIPg
et (n° 28)
JV, = 0,0000000000026.
L'élévation du but n'étant pas considérable, on peut poser «=1. En appelant a et & la distance horizontale et la verticale du but au
point de départ et e l'angle d'élévation du but, on a tange = ^ et l'angle de projection (9 — e) rapporté à la ligne qui va de la bouche à feu au but sera déterminé par l'équation
8in(9-e) = 2Ç.|l(^), où
Si le point de chute est à la hauteur de la bouche à feu , on a & = et
sin29 = f,ÏÏW.
On obtient l'angle de chute de la formule
tang« = teng9— -p.5f5 3(^).
La vitesse de chute sera
V cos 9
On aura la durée
On déterminera la dérivation latérale d'après les formules du»M28.
141. Déterminer la vitesse initiale cPaprès celle que le projedUe possède à une petite distance de la bouche à feu. Si le point de la trajectoire où l'on connaît la vitesse v est à une petite distance de la bouche à feu, et si cette vitesse n'est pas inférieure à 280"'*, on obtient la vitesse initiale F de la formule
et comme (n° 53)
on a
2av^V
En développant (l — ^^) ^^ série et en se bornant, par suite
la petiti on obtient
de la petite yaleur de ^^, aux deux premiers termes de la série,
142. Tir direct à vitesses initiales moindres queJS80^''\ Possibilité d'appliquer les formules qui se rapportent à ce cas au tir avec des vitesses initiales jusquà 325'^'^. La courbe (JS) représentée sur la figure 8 par un trait continu exprime la relation de p'= ^^ et des vitesses v à partir de t;= 280"'' jusqu^aux petites vitesses; l'équation de cette courbe est (w^ 27)
p' = 0,012[lH-(j^)'].
La distribution des points (p', v) autour de la courbe {E) h\i voir qu'on peut la prolonger, comme l'indique la ligne pointillée, jusqu'à la vitesse de 325"-' et qu'on peut se servir de la dernière expression de p' depuis la vitesse de 325"*'* jusqu'aux faibles vitesses.
Par conséquent on peut résoudre les problèmes du tir de toutes nos bouches à feu actuelles de place, de siège et de campagne, qui impriment aux projectiles, avec les charges en usage, des vitesses initiales moindres que 325"°'', en adoptant pour la résistance de l'air dans le sens contraires à l'axe de figure des projectiles l'expression
^=rw=é[i-S].
où, en posant II = n,,
et :
' Les angles de projection n'étant pas très grands dans le cas du tir direct, on peut calculer la trtgectoire sans la diviser en parties, et poser a ^ 1 quand les angles de projection sont compris entre
et 8°, et tt = j^^ quand les angles de projection dépassent 8°.
Le point de chxUe étant à une hauteur h au-dessus de la bouche à feuy on aura la portée a à l'aide de la formule (n° 88)
*-tang9.;.-5^.«(^,F„«).^ = 6,
où. = ^«. K^={^)\
En essayant successivement plusieurs valeurs de g, prises dans la table des valeurs àe9{gj Fq*), on trouvera deux valeurs du premier membre de réquation^ assez rapprochées, entre lesquelles est comprise la valeur de h et on aura la valeur cherchée de z au moyen de parties proportionnelles; on obtiendra la portée en multipliant
£?par^.
Le point de chute étant à la hauteur de la bouche à feu^ on aura la portée x à l'aide de la formule (n° 88)
.$(.,Fo^ = î^sin29,
.=^,Fo»=(îny.
Après avoir calculé la valeur du second membre de l'équation, on trouvera la valeur de ;? à l'aide de la table des e9{Zy Fo*), comme on l'a exposé au n^ 60. En multipliant z par ^on aura la valeur de la portée cherchée.
La vitesse initide d'un projectile, tiré sous un angle de projection 9, qui doit toucher un point donné (a, b), sera déterminée au moyen de la formule (n° 89)
0Ù.= ^,ç=^^'.îî5O^,tangs = |.
Après avoir calculé la valeur de V^ à Taide de la table de F(jff), on obtiendra la valeur de la vitesse initiale cherchée V, en multipliantF.parj^.
Si le point à battre est à la hauteur de la bouche à feu , on a 6 = et 6 = 0.
Il angle de prcjectùm (9 — e) rapporté à la ligne gui va de la
louche à feu au &u< est donné par la formule (n"* 93)
sin(9-e) = ^«(^, Fo^.
Le point de chute étant à la hauteur de la bouche à feUy on a
sin2 9 = ^«(^, Fo«).
A Taide des deux dernières formules on calculera d'abord la valeur approchée de 9 en posant ^ = ^, ^0' = 75-» ©t Puis, s'il le faut, une valeur plus précise, en cherchant a qui correspond à la valeur trouvée de 9 et en posant ^ = ~, V^ = ^ — ^^-^ •
V angle de chute est donné par la formule
teng6^ = tang9 — ^,3(ir, V^^.
La vitesse de chute est donnée par la formule
F cos 9
t?(^, Fo^ me
La durée du trajet est donnée par la formule
On déterminera la dérivation latérale z d'après les formules du n^ 128. Si les vitesses sont faibles au point que l'on ne puisse pas négliger 4 devant l'unité, on calculera les dérivations z à l'aide des formules du n° 130.
143. Déterminer la vitesse initiale diaprés celle que le projectile possède à une petite distance de la houdie à feu. Si l'on connaît la vitesse v en un point de la trajectoire à une petite distance de la bouche à feu, et si cette vitesse est moindre que 280""", on aura la vitesse initiale de la formule (n"^ 92)
y='\}--hi}-m
144. Comparaison des résultats fournis par les formules avec ceux du tir. Four comparer les résultats fournis par nos formules avec ceux du tir, on a calculé, pour différentes distances et différentes charges, les angles de projection de nos canons rayés de tous les calibres, ainsi que les durées des trajets et les dérivations ktéraies des projectiles de 24^ (152"") tirés avec la charge de 2^866 de poudre à canon et de ceigc de 229"" tirés avec la charge de 21^,294 de poudre prismatique^ Les résultats obtenus sont insérés dans les tableaux suivants, où l'on a mis en regard les angles de projection et les durées obtenus dans le tir. Les dérivations observées sont ponctuées sur la figure 26 et les courbes des dérivations calculées sont représentées sur cette figure en traits continus, les portées étant prises pour abscisses et les dérivations pour ordonnées.
3ts
OT
1^ ir-< O M ^ Ol
