FOBMULES D'INTERPOLATION PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS

Il arrive souvent que dans des questions pratiques on ne connaît pas la forme de la fonction U qui exprime la relation entre les inconnues qu'on détermine. Dans beaucoup de cas on prend alors pour U une fonction entière et Ton pose

où l'on calcule les coefficients a^h^ c. . . d'après les valeurs observées de u = f^|y u^j . . .le^ qui correspondent à différentes valeurs de a? = aPj, ajj, . . .x^.

Si le nombre des observations n est plus grand que celui des coefficients inconnus a, 6, c,. . ., ce qui arrive ordinairement, ou peut déterminer les valeurs les plus probables de ces coefficients par la méthode des moindres carrés; mais pour le &ire on est obligé de résoudre tout un système d'équations pour chaque supposition particulière sur le nombre de termes, ou, ce qui est tout un, sur le degré de l'expression cherchée. Cela présente d'autant plus de difficulté qu'il arrive de répéter plusieurs fois de pareils calculs, avant

d'ôtre amené à une ^expression qui représente les données ayee une précision suffisante, car il est difficile de préYoîr d'avance le degré de cette expression.

Le membre de notre Académie des sciences F. Tchebycheff a donné les formules d'interpolation qui fournissent les polynômes avec les coefficients les plus probables , successivement de tous les degrés, en partant de celui de zéro, et permettent de voir le nombre de termes auquel on peut se borner dans l'expression cherchée. Ces formules se rapportent à deux cas: l'un, plus simple, celui où les valeurs de la variable qui correspondent aux valeurs connues de la fonction interpolée sont équidistantes; l'autre, plus compliqué, celui où les valeurs connues de la fonction correspondent à des valeurs données quelconques de la variable.

Nous donnons les formules pour ces deux cas.

S'il s'agit de déterminer les coefficients les plus probables a, 6,c,... de l'expression U représentée par la formule

(1) î7=a-*-&i;-H ca?-+-. . .,

et que l'on ait trouvé des observations d'égale précision les valeurs de tt = Ui, Ug,. . .u^ qui correspondent aux valeurs équidistantes de ^ = A, 2A, . . . nA, on a pour la fonction cherchée la série suivante:

co

co

co

crT

ta

dans laquelle:

1^, les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs de i\ depuis t =- 1 , jusqu^à i = n;

2°, A«, = w^, — «, ; A\ = Au^^j — àu^ ; A^u^ = à\^^ — A\.; et ainsi de suite;

3^, en formant le tableau connu sous le nom du triangle arithmétique de Pascal, dans lequel chaque nombre est la somme des deux termes correspondants de la ligne précédente:

CombintisoDS

et remarquan

t que

^ t(i-4-l)(w^f)(n--t~l) 1.2 (n-l)(ii-2) 2.8 (h-2) (n-8) ^ 1.2.1.2 1.2' 1.2 "*"l.2' 1.2

3^ (w— 8)(it-4) 1.2' 1.2

et ainsi de suite ,

onvoitmifi'-i - - .i^ ^ 5^

uu Mvii que. ^ > j > ^ 1 > 172» 172 > 172 » »

.et ainsi de suite expriment les nombres de la seconde, tmsième, etc., colonne verticale de haut en bas jusqu'aux nombres qui correspondent à la n""" ligne horizontale de la l'"" colonne verticale;

xanaisque-^-,-Y-,^-, ^7^ , — j^^ » 1.2 » »

et ainsi de suite expriment les nombres de la seconde, troisième , etc.^ colonne verticale, de bas en haut à partir des nombres qui correspondent à la n"' ligne horizontale de la l''* colonne verticale.

Excnipk. Calculer Péguafion de la trajectoire d^un prqjectUe sphérique^ d'après les ordonnées observées à des distances équidistantes. Dans des expériences faites à S*-Pétersbourg en 1858, il a été tiré 22 boulets de 24 à la charge de 3^,876 sous une inclinaison constante, et les hauteurs de chacun d'eux ont été observées sur des cibles en ficelle aux distances de 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400 et 450 sagènes *) du canon. On a obtenu les ordonnées moyennes suivantes:

sag.

pieds.

♦) 1 sagène = 7 pieds = 2", 1336.

Pour caleuler, d'après ces données, l'équation de la trajectoire, représentons-la par une expression de la forme

et divisons les deux membres de l'équation par x pour lui donner la forme de l'équation (I) *)

as

En ei^rimftnt x en sagènes et y en pieds, nous obtiendrons:

= J00 Mj = 0,1885

En prenant 50 sagènes pour unité des abscisses que nous représenterons par af pour les distinguer des abscisses x exprimées en sagènes, on doit poser dans la formule (U)h=l, n = 9 (nombre des ordonnées observées) et remplacer x par af.

*) En diTisant les deux membres de l'éqaation par a, on est conduit & appliquer la méthode des moindres carrés aox erreurs relatives des ordonnées

aa lieu de les appliquer aux erreurs absolues des ordonnées A} = F| — ^i, Af s= F, — y^y . . • Af = Fy — y^, ce qui affaiblit un peu ^importance des ordonnées observées aux grandes distances.

Formons le tableau suiTant:

«rf-

àUi,

àhif.

-Su,. ,

Il est aisé de voir que les différences à*Uf seront plus grandes que les troisièmes et que par suite il faut se borner aux troisièmes différences et limiter l'expression de U au terme affecté de fc*.

Calculons:

•^^Au,.= 1.8. — 0,0135 = — 0,1080 = 2 . 7 . — 0,0240 = — 0,3360 = 3 . 6 . — 0,0211 = — 0,3798 = 4.5. — 0,0258 = — 0,5l60 = 5 . 4 . — 0,0279 = — 0,5580 = 6.3. — 0,0316 = — 0,5688 = 7.2. — 0,0337 = — 0,4718 = 8 . 1 . — 0,0366 = — 0,2928

<(i^i)(»-f)(ii-i-i)^^ = 1.28.— 0,0105 = — 0,2940 = 3. 21. -H 0,0029 = H- 0,1827 = 6.15. — 0,0047 = — 0,4230 = 10. 10. — 0,0021 = — 0,2100 = 15. 6. — 0,0037 = — 0,3300 = 21. 3. — 0,0021 = — 0,1323 = 28. 1.-0.0029 = — 0,0812

2i(Hi)(5=JiÇ=î=l)^2 = 1,2878 « (^i)«^a)(»-i)(»-i-i)i(n-<-2) ^, j 5g^ 0,0134=H-0,7504

L'équation (II) devient: