TT
^— — 9--*- 9(9«-i«) (2a;— 10) -*-.9(fcw^[3(2a!'- 10)^- 9» -H 1]
-^ 9(9«-i^';^-2«H9«-8^) [^5(2a;--10)»-3(3.9'-7)(2a;--10)], ou
Î7=0,10844-0,01346 (2«'-10)-0,0001 1002[3(2a!'-10)»-80] -*- 0,0000001 1503 [15 (2a;'— 10)»— 708 (2ic'— 10)],
tr=0, 1 0844-0,0 1 346(2z'- 1 0)-0,000 1 1 002 [12x'2-l 20a/+220]
-i-0,00000011503[120«'»— 1800ic'*-i-7588a!'— 7920], ou
on
oi étant égale à ^, on a
Observant que C/ = - , on obtient:
où y est exprimée en pieds et % en sagènes, ou:
où ^ et 3; sont exprimées en pieds.
En calculant au moyen de cette équation les ordonnées qui correspondent aux distances auxquelles elles ont été observées, on trouve y io»'^i8; 18»'f 62; 24^90; 28"t*59; 29»*t**30; 26"^' 65; 20P»«4«26; 9"«*78; — 5»'»*'12!
S'il s'agit de déterminer les coefficients a, 6, c, . . . de l'expression U représentée par la formule
Cr=F(a?).[a-i-6ir-f-ca;'-4-. . . .],
dans laquelle F{x) est une certaine fonction de la variable indépendante x^ et que l'on ait trouvé des observations d'égale précision les valeurs de «* = Wi, «g, Wg,. . . .t*^ qui correspondent à différentes valeurs de a; = fl?i, ojg, a?3,. . .a?^, on peut calculer les termes de l'expression Î7, successivement l'un après l'autre, au moyen de la série
et évaluer en môme temps les sommes des carrés des erreurs avec lesquelles la série représente les observations, quand on s'arrête au 1, 2, 3,. . .X terme, afin de reconnaître celui auquel on peut s'arrêter d'après la valeur de l'erreiu: quadratique moyenne avec laquelle les termes trouvés représentent les observations.
Dans les formules suivantes qui servent à calculer les termes de la série, les sommations s'étendent à toutes les valeurs de l'indice t, depuis i= 1, jusqu'à i = n, et SA^^ désigne la somme des carrés des erreurs dans la représentation des valeurs données de u par la série, arrêtée au terme F{x).Ky^ ^J'x (^)» somme d'après laquelle on trouvera Terreur quadratique moyenne par la formule
Formules déterminant le terme F(x). ^ot]<o(a;). (0,0) = 2[F(^,)]S
V SF(a-,).M< (0,0) '
Formules déterminant le terme F(a;) . fi, <J>j (a;).
l^ SJ'(a;<)x,iq-(0,l)jro
«}.,(a;) = a;— 61, 2A,2 = 2A,''-(l,l)Ar,'».
Formules déterminant le terme F(x).K^<i^^{x).
^2 = Srï)-(5:li. (2,2) = (l,3)-6,(l,2)-a,(0,2),
t^ SF(a.)a<« u.- - (0,2) g» - (1,2) g, '~ (2,2) '
4.3 (j;) = (a; - 62) 4.1 (a;) — a, tJ>o (x) , 2^32 = 2^,2- (2,2) «a».
Formules déterminant le terme F{x).K^^^(x).
iO,b) = S[Fix.)f.x,\ (0,6) = 2[F(a;..)P.a;,«,
*3 = ||-lxïi>(3,3) = (2,4)-63(2,3)-a,(l,3),
j^ -SF (Xj) Xj» M.- — (0,3) Ko - (1 ,8) g, - (2,8) K, ■^J~ (3,8) '
Formules déterminant le terme F(x).K)^^^(x)
{OfiX-ï)=S[F{Xi)]*.Xi'^-\ • (0,2X) = S[F(a-,))».a;,«^,
(2,2X - 3)=(l,2X — 2)— 6, (1,2X — 3) -aï(0,2X-3),
(3,2X - 4) = (2,2X - 8) — bj (2,2À — 4) | (8,2X - 3) = (2,2X - 2) - b, (2,2X - 3) — Os(l,2X — 4), , -a3(l,2X-8),
(X-1,X) = (X-2,X-H 1) -bx i (X-2,X) ' fX-l,X-vl)=(X-2,X+2)-b;^,(X-2,X-»-l) -«X i(X-3,X), ox i(X-3,X-»-l),
(X,X)=(X-l,X-«.l)-bx(X-l,X)-axlX-2,X).
aF(j,)ar,^M.— (0,X^Jro-(l.X)g|-(2,X)A'^-...-(X-l,X)yx-i
«}»x(a;) = (a: — 6x)'I'x-iW — «x'I'x-sW.
Eicmple. Calculer la projection verticale de la trajectoire d'un projectile oblong diaprés les angles de projection obtenus dans le tir à différentes distances. L'équation de la projection verticale de la trajectoire peut être représentée par
y = aa; -4- ^x^ -*- yr* -*- 8x* -♦-...
La première et la seconde dérivées de cette équation sont
Dans le tîr direct, on peut, comme il a été démontré, supposer sans erreur sensible, pour calculer la projection verticale de la trajectoire, que la résistance de l'air est dirigée en sens contraire de la tangente;
dans ce cas on a (n° 33) v^ = -f==> tang = y\ et pour a; = 0, on obtient y' = a, ^=^9, y"=2p, î?i=F,, et par suitea=tang9, P = — 2^- L'équation de la projection verticale de la trajectoire devient
y =r a; tang9 — 2|^5^a;^ -f- Ya:»-f- Jaî*-*- . . .
On obtiendra les angles de projection qui correspondent à différentes portées en posant j^ = , et on aura
t-'^"g9 = 2F4os^a> ^ — ï^— ^^-' • • • ou
sin29 = ^x — 2YC0S^9.a;* — 28cos*9.a;^ — . . . .
Si les angles de projection ne sont pas très grands, on peut remplacer, sans grande erreur, cos^ 9 par sa valeur moyenne dans les limites des angles de projection sous lesquels le tir a eu lieu; en posant par suite
— 2y.cos*9 = ?>, — 28cos^9 = c,. . .
et nommant
yi = «,
on a
sin 2 9 = ou; -4- fcjc^ -♦- CiT^
2/ = a;tang9 — 2^^ [aoî^H-fcr^-i-ca?* -f. . . .].
Dans des expériences &ites avec notre canon rayé de 24\ la charge étant de 2^,866, on a obtenu à différentes distances les angles de projection suivants:
Portées.
Angles de projection
8in29.
Sagènes.
Pieds.
Appliquons les formules d'interpolation à déterminer les valeurs les plus probables de a, h, c^. . .dans l'équation
sin2<p= U=x[a-i
t-bx-t-C3^-1-. . . .],
Dans ce cas
Xg = 6300
Mj =0,21132
Pour exprimer U par un seul terme
Fix).K,.^,ix)=x.K,.r\>,ix),
on prendra
[F{x;if = x,^
. 2J^(*t)-««« A AftAAQQOOl R.1
jyjyjtjKjutjx^a.^
ce qui donne
Pour trouver la
somme de carrés des erreurs 2Ao*, on fera les
calculs suivants:
-(0,0).Xo^ =
ce qui donne pour l'erreur quadratique moyenne avec laquelle le terme trouvé représente les valeurs données de w = sin 29,
et Terreur quadratique moyenne avec laquelle sont représentés les angles de projection donnés est approximativement égale à i2\
Une erreur moyenne aussi considérable n'étant pas admissible, on cherchera le second terme
et pour cela on prendra:
[F(xi)]^,x^^x^
(0,1) = 2 [F(a?e)P «I = 9568587890*; (0,2) = S [F{Xi)]^ a;<« = 13733908940» Oi = (0,0) = 732638840 , — h^ (0,1) = — 12496999690»
6j = |2ll| = 13060,443, (1,1) = (0,2) - b^ (0,1) = 1236909250»
2F(a;,.).a;,.M,. = 374367920 — (0,l)Xo=- 365821564
2F(a;,)a5,.M, — (0,l)fio= 8546356; , .^^ SF(î()«£«ipM^= 0,0000000006909444 ;
tj<, (a;) = a; — 6, = a; — 1 3060,44.
Par conséquent
Fix) . «■, tjj, (X) = — 0,0*9024038 . x -+- 0,0»6909444 .ï?. Pour trouver 2A,* on prendra
2A„2=r 0,00605574 — (l,l)ff/=— 590506 2A,* = 2 V - (1,1)^.* = 0,00015068;
ce qui donne pour l'erreur quadratique moyenne avec laquelle les deux premiers termes de la série représentent les valeurs données de M = sin 29,
et l'erreur quadratique moyenne avec laquelle sont représentés les angles de projection donnés est approximativement égale à 7'.
On peut prendre cette erreur moyenne pour admissible; mais pour montrer la manière de calculer le troisième terme
on déterminera
IFip^i)^ V=^t*-
[F{xt)y.x* = x,».
(0,3) = S [F(Xi)]^ x,» = 20853259801»;
(0,4) = S [F(xi)]*a:i* = 3282119670»*
«^=lii!=^^«^^^^^'
îî;?!- '''''^''
;jij = - 13060,44
F(x;).Xf'u. = Xt'u..
2F{Xf)x''u^ — {0,2)K^—i\,2)K, = — 749680*;
2J'(a.,)Vu.--(02)g;,-(i.2)g.^QQU3736287
= 3? — 23576,23 .ir 4- 1 20453700.
Par conséquent
Fix).K2 ^2 i^) = — 0,0«450050,aî -+- 0,0»0880876.a;« — 0,0**373629. a;»,
et comme
— (2,2)Ka2 = — 280
on trouve pour Terreur quadratique moyenne avec laquelle les trois premiers termes de la série représentent les valeurs données de w = sin29,
et Terreur quadratique moyenne avec laquelle sont représentés les angles de projection donnés est approximativement égale à 6^^- .
En s'arrêtant aux trois termes trouvés de la série, on aura pour l'expression cherchée de Z7=sin29, le pied étant pris pour unité,
^ 0,0*38232. aj
— 0,0*00450 . X -^ 0,0*08809 . a^ — 0,0"37 363 . x' . 8în29 = 0,0*28758. 2^-1-0,0*77903.0;' — 0,0^*37363. a;*.
En calculant d'après cette formule les valeurs de sin 2 9 et de 9 qui correspondent aux portées auxquelles elles ont été obtenues dans les expériences du tir, on trouve
Angles de
Portées.
sin 29.
projection
Sagènes.
ll°17'
L'usage de la machine à calculer: arithmomètre de M. Thomas, de Golmar, pour trouYer les produits, les puissances et les quotients qui entrent dans les formules d'interpolation, facilite beaucoup les calculs.
L'équation de la projection verticale de la trajectoire sera
y = ^tang9 — j-~^[air2-t-6a;«-f'Ca^],
dans laquelle, le pied étant pris pour unité,
On trouvera la vitesse initiale F de l'expression
et on aura
La mesure directe a donné pour la vitesse initiale la valeur de
10g3pi6ai:Beo^
^TVIVEXIE.
