MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE YIDB

5. Utilité clés lois du mouvement des projectiles dans le vide. Qaoiqa^oB ne puisse s'empêcher de reconnaître que Tair ait une influence souvent considérable sur le mouvement des projectiles , il est utile néanmoins de rechercher les lois de ce mouvement comme si cette influence n'existait pas ; parée que ces lois sont une premi^^ approumation et une indication utile dans plusieurs cas de la pratique. La comparaison des résultats des formules du mouvement dans le vide et dans Taîr, avec ceux de lobservation , fera voir l'importance de la connaissance exacte des lois de cette résistance.

4. Exposition de la théorie du motm^ement des pro^ jectiles dans le vide. Supposons un projectile lancé dans une direction quelconque , avec une vitesse initiale donnée* Il est d^abord évident que la pesanteur étant la seule force qui agisse sur le projectOe et la direction de celle-ci étant verticale 9 la courbe ou la trajectoire que suivra ce mobile sera toute entière dans le plan vertical de tir ^ celui qai passe par la tangente menée à la U*ajectoire au point de départ et que Ton nomme ligne de projection.

Cela posé : soit Y la vitesse initiale du projectile \ h la hauteur à laquelle est due cette vitesse ; <p Tangle de pro- JectioD, au-dessus du plan horizontal (Fig. l);^Ia pesan*

dt^

dt^

dx dt ""

dy

dt "

teur ou la vitesse acquise par un corps au bout de la première seconde de sa chute dans le vide ; o? et 7 les coordonnées horizontale et verticale d'un point quelconque m de la trajectoire ; t le temps écoulé depuis Torigine du mouvement. Puis^^il n 7 a pas d'autre force accélératrice que la pesanteur et que celle-ci agit verticalement dans le sens opposé aux ordonnées positives, les équations du mouvement sont

En intégrant on a

Ces équations font voir que les mouvements suivant les axes des x et des y sont indépendants entre eux, et ne sont nullement modifiés Tun par l'autre ; le premier , suivant l'axe des x^ est uniforme et la vitesse constante est égale à C ; le second est uniformément retardé et le même que si le projectile avait été lancé verticalement avec une vitesse G. On aura la valeur des constantes C et G en considérant qu^â l'origine du mouvement, ou quand r = 0 , on a

— = Vcoi(p et ^ = Viinç;

par conséquent on aura pour les équations du mouvement

(1) ^ = Vco«<|.5 ^ = — 5r/ + Viin<?.

Intégrant de nouveau et remarquant qu^au commencement du mouvement ou quand /=:0, on a 07 = 0 et/=iO et que par suite les constantes sont nulles , on aura

5. Équation de la trajectoire dans le vide. En éliminant t entre les deux équations du mouvement 9 on aura une relation entre les coordonnées or et/ ou l'équation de la trajectoire; elle sera

^ "" 2V»cos»<p"*"'*^cos9'

Remarquant qu'entre V et A il y a la relation V* = ^gh et en remplaçant ^ — par tangç, on aura pour Téquation de la trajectoire

(3) y=,U„gÇ__jL.

6. La trajectoire dans le vide est une parabole dont l'axe est vertical. A Tinspection de cette équation , on reconnaît qu^elIe appartient à une parabole. On peut , par une transformation des coordonnées la mettre sous la forme habituelle et reconnaître immédiatement plusieurs des propriétés de la trajectoire.

En effet 9 dans cette équation mise sous la forme , 4A/cos'^ = 4^arsin^cos9 — x^y en rendant le deuxième membre un quarré parfait en ajoutant — (S^sinçcosç)*, on aura

4Acos'9(/t8in'<p — y) = (SAsinÇcotqp — ar)\

Faisant Asin'9 — y = y et SAsincpcosç — x = ar', l'équation de la trajectoire devient

c^est celle d'une parabole rapportée au sommet comme origine des coordonnées. Les coordonnées de ce sommet par rapport à Torigine primitive, sont SAsin^cosç pour la distance horizontale, et ^sin*<p pour la hauteur audessus du point do départ. On voit immédiatement : 1^ que le sommet correspond au milieu de Tamplitude, puisque

la €0iii4>e est symétrique par rapport à k verticale du sommet (Fig. 2) ; 2"" qae rélévatioe du sowmet , ou la hauteur du jet , est moitié de Tordomiée oorrespoiiéaote à la ligne de projection, puisque Tabscisse est aipitié de la sous -tangente; 3^ que la branche ascendante AS et la branche descendante SB sont semblables ; 4° que l'angle de chute DBA est égal à Tangle de projection CAB.

On peut résoudre plusieurs questions fondées sur les prc^étés de la trajectoire.

7. Amplitude et hauteur du jet. Soit X Tan^tude du jet ou la portée horizontale AB égale à 2AH (Fig. 2) , et Y la hauteur HS du jet.

Pour avoir la portée horizontale X , £adsons / = 0 dans Téquation de la trajectoire elle deviendra

Cette équation est satisfaite par X = 0 , ce qui devait être ; et n^apprend rien , mais après avoir divisé par X et en remarquant que 2sinçcos^ = sin2^, on aura

(4) X = 4A8inÇcos9 = ^AsiaSç.

8. La hauteur du jet n^étaut autre que la hauteur du sommet, on aura, diaprés ce qu^on vient de voir (6).

Y = Ailn'(p.

On arrive directement au même résultat, en égalant

à zéro la valeur de ^ tirée de l'équation de la trajectoire

ce qui donne

d'où

X =: SAiinqpcosqp.

Cette valeur substituée dans l'équation de la trajectoire

donne pour TordonnéeT da sommet la Yaleur déjà obteaue

Y = A lin» (p.

Cette équation &it Toir que la hauteur du jet croit avec l'angle de projection ^ jusqu'à devemr égale à h y lorsque le projectile est lancé verticalement , ce qui devait être par la définition même de h. Pour <p = AS"*, on a

pour ^ = 30®,

Y =: hêiuH^^ = |A,

Y = ih.

9. Sous des angles de projection 'également éloignés de k&^, les portées sont égales. Puisque X = 4Asm 9 cos 9, on voit immédiatement que si au lieu de 9 on prend son complément) le sinus se changera en cosinus et réciproquement, et que la valeur de X restera la même; par conséquent, sous des angles également éloignés de 48®, comme 50® et 60® par exemple, les portées sont égales entre elles.

10. Angle de plus grande portée et tMleiur de cette portée. La valeur de la portée (éq. 4) mise sous la forme X = 2Asia2q), sera un maximum pour 29= 96® ou pour 9 = 45® et cette portée sera X = 2A ou le double de la hauteur due à la vitesse initiale. Cette vitesse déduite de la pcHTtée sous 45® est^ puisque Y* = ^gh ,

V = VgX.

On arrive directement à l'angle de plus grande portée

en égalant à zéro la valeur de -rr-.

H. Propriétés de l'angle de plus grande portée. L^angle de plus grande portée est évidemment celui sous lequel on doit tirer avec la plus petite vitesse et par conaéqaent avec la plus petite charge de poudre pour atteindre

à une distance donnée. Il procure en outre cet avantage , que de petites yariations dans Tangle de projection, soit en plus soit en moins , ne produisent pas de différences notables dans les portées ; cette propriété a pour effet d'augmenter la justesse du tir.

12. Rapports entre les portées ^ les vitesses initiales et les angles de projection* Si deux projectiles sont lancés sous le même angle 9 , avec des vitesses différentes V et V, les portées étant X et X', on aura

X = 2Aiin2(p = ^linS^ et X! =s — sinSç, 9 9

de là,

X V» V Vx

Donc, sous le même angle, les portées sont entre elles comme les quarrés des vitesses, et réciproquement les vitesses sont entre elles comme les racines quarrées des portées.

Si X'' est la portée d'un projectile lancé avec la même vitesse Y que le premier , mais sous un angle 9", on aura

= -"n29", et par contëquent, = -j— -,

c^est-à-dire que les portées des projectiles lancés avec la même vitesse , sont entre elles comme les sinus du double des angles de projection.

Si on appelle X, la portée sous Tangle de 45®, on aura

X" = X,»in2(p".

Comme sin30® = {, on voit que la portée sous 15® est moitié de la portée sous 45"*.

X" On a aussi la relation sin29'' = — , au moyen de

laquelle on déterminera Tangle de projection qui donnera

une portée proposée , lorsqu^on connaît la portée sous 48®. C'est sur cette relation entre les angles de tir et les portées qu'ont été calculées les anciennes tables de tir, au moyen desquelles, connaissant par une épreuve la portée sous un angle donné , on déduisait l'angle qui , pour la même charge , répondait à la portée proposée. Ces tables , auxquelles on aurait pu substituer de simples tables de sinus , pouvaient présenter quelque utilité, tant qu'il s'agissait de gros projectiles, comme les bombes, lancées à de moyennes distances ; elles étaient tout à fait inexactes dans les autres cas.

13. f^itesse du projectile en un point quelconque. La vitesse du mobile en un point quelconque est la résultante des deux composantes ^ ^t j^ . On aura donc en appelant v cette vitesse

''^ "^ ( J)'+ ( J)' ^ V*(co8»(p + 8in>(p) -25r(Vr 8in (p -i^r') , et comme / = — ^^r' + V^sinç, on aura

f»* = V— a^fy ou p = V^V — 2^y oa enfin ç =a V^S^'CA-y).

On voit par là , que la vitesse du mobile ne dépend que de la hauteur à laquelle il s'est élevé , et que cette vitesse est égale à celle d'un mobile tombant de la hauteur h — y. Cette vitesse sera au minimum quand la valeur de y sera au maximum , c'est-à-dire au sommet de la trajectoire \ or cette valeur représentée par Y (8) est égale à Asin^ç^ on aura donc

ç = V^V— 2%iin»(p = VV^l — «n»9 = Vco»(p.

Celte valeur n'est autre que la composante horizontale de la vitesse Y; ce qui devait être.