I- t«og*9, on aura
d'où
b = aiang<r — îj(l +*"§'♦)>
UDg»<r tang^ + -— 4-4 = 0,
équation qui donne pour tang^ les deux valeurs
ou
Ainsi il y a deux angles de pvojection sous lesquels on peut généralement atteindre le but, lorsque la vitesse initiale est donnée. Ces deux angles se réduiront à un seul lorsque la quantité sous le. radical sera égale à zéro. Si a ou 6 étaient trop grands , les valeurs de 9 seraient imaginaires, c'est-à-dire qu^avec la vitesse de projection donnée il deviendrait impossible d^atteindre le but.
18. Relation entre les deux angles sous lesquels, a^ec une vitesse initiale donnée, on peut atteindre le but. En désignant par <p' et par <p" les deux angles cherchés on aura d'après l'équation S (14)
Ung9' + Ungç" =3 — et tang V . taag V = — r-+ * 1 a tr
par conséquent
tangV-l-tang^'
4 — tangV .tangV'
par conséquent aussi
tang(<j^'-p<,»")(— lange) = 1,
ce qui signifie que 9' + 9" — « = 90"* ou 9'-^ e = 90^ — ^'. Cette relation fait voir que les deux lignes de projection OC, OD (Fig. h) font des angles égaux COB et DOH avec la ligne droite OB qui va au but et avec la verticale OH , et que par conséquent elles s'écartent également de la bissectrice OF de l'angle HOB formé par ces dernières lignes.
i9. Cas OÙ ces deux angles se réduisent à un seul. Pour que les deux racines de l'équation 7 se réduisent à une seule y on devra avoir
et alors on aura pour la valeur unique 9.
Diaprés cette valeur et en observant que - = tangc y Téquation précédente devient
on 9 en complétant le quarré du premier membre et observant que 4 + tang'i = — j- , on aura
taDg<^, — tange = ,
coa t
laquelle se réduit à
ain^, cost- tint COI ^1 = coa ^1 oa 8in(^, -e) := aln(90<^-^,) ,
c'est-à-dire que la ligne de projection est la bissectrice de Fangle formé par la verticale et par la ligne droite dirigée sur le but.
20. Angle de plus grande portée sur un plan mcliné. La direction de cette bissectrice est celle de plus grande portée sur un plan incliné dirigé sur le but.
En effet 9 la portée sur le plan incliné est représentée
par — et elle sera un maximum en même temps que a.
Si on prend la différentielle de a par rapport à ç dans Téquation (6) entre ^ et a (16) et qu'on Tégale à zéro ,
cob(<^— c)coa9— »in(<^ — e)iin^ = 0,
d'où
taDg(<^— f)Ung^ = 4 oa <^ — «+^ = 90 on ^ == ^(90'»+e).
La ligne de projection qui donne la plus grande portée est donc la bissectrice de Tangle formé par la verticale et la droite qui va au but.
On voit que dans la question du tir sur un but élevé au-dessus de l'horizon , on arrive à des résultats analogues à ceux du tir sur un plan horizontal , et en Élisant ô = 0 ou c = 0, dans ceux-là on retombe sur les précédents.
RÉSISTANCE DE L'AIR
21. Influence de la résistance de l'air sur le mouifement des projectiles ; nécessité d'en tenir compte. La théorie du mouvement d^an projectile soumis à l'action de la pesanteur, en négligeant Peffet de la résistance de Pair est , d'après ce qu'on vient de voir, d^une grande simplicité, et la solution des divers problèmes qu'on pourrait proposer serait trés-£sicile. Mais dans la presque totalité des cas de la pratique, on ne pourrait négliger l'effet de cette résistance, sans commettre des erreurs notables et souvent très-considérables. Il n'y a que quelques cas dans lesquels les formules de la théorie parabolique peuvent être appliquées avec une exactitude qui suffit à la pratique. 11 est important de reconnaître ces différents cas par la comparaison des résultats des formules de cette théorie avec les résultats du tir. Faisons le en commençant par ceux où rinfluence de la résistance de l'air est la plus grande.
22. On sait, par expérience, que la plus grande portée de la balle du fusil , tirée avec la charge ordinaire de gaerre , a Heu sous l'angle de 25^ environ et qu'elle est alors d'environ 1000 mètres; or, dans le vide, l'angle de plus grande portée serait de 45®. De plus , avec la vitesse dVnviron 480 mètres par seconde qui correspond à la charge ordinaire de guerre des fusils auxquels ces portées se rapportent,
la portée déduite de la formule du mouvement dans le vide
X = 2A sin 2?) =^ sin 2^ (7) serait de 47 993 mètres ; c est-
à-dire environ dix -huit fois plus grande que la portée réelle.
Sous Tangle de 4 à S'', la portée réelle est de 600 mètres environ. Sans la résistance de Pair et sous Tangle de 4° {, elle serait 3674 ce qui est encore six fois trop grand.
Le tir avec les bouches à feu présente des différences moins grandes ; avec la charge en usage du tiers du poids du boulet dans les canons de 8 et de 12 de campagne, de 16 et de 24 de siège, sous l'angle de 6^, on obtient les portées respectives de 1615 métrés, 1780 mètres, 1850 mètres et 2015 mètres ; or, avec la vitesse initiale de 485 mètres par seconde que cette charge imprime au boulet , la portée dans le vide serait de 4986 mètres , laquelle serait avec la portée réelle respectivement dans le rapport 3,05 , 2,80 , 2,69, 2,47.
Cette comparaison fait voir que Tinfluence de Tair est d^autant moindre que les projectiles sont plus gros. On peut donc prévoir que dans le tir des bombes l'influence de Pair sera encore moindre que dans le tir des boulets.
23« Comparaison des durées observées et des durées calculées dans le jet des bombes. Comme on ne connaît pas à priori la vitesse initiale du projectile , on ne peut pas calculer directement la portée ; mais on peut comparer les durées observées du trajet et les durées calculées d'après ces portées.
Le tableau suivant contient les résultats de Tobservatioix et du calcul des durées dans des expériences * sur les portées des bombes de 22 centimètres et de 28 centimètres , tirées
* Traite dWlillerie, par Scharnhorst. Expëriences faites en Prasse sur des bombes dites de â^l^ (stein) et 501& (stein) , pesant retpecli- ▼ement 29^4 et ^i\Zk.
RÉSISTAKCB DB L^AIR. 17
comparatiTement sous des angles de 45° et de 30® avec les mêmes charges de poudre.
Tableau des portées des bombes sous les angles de k&^ et 30°^ des durées des trajets observées et des durées calculées et après les portées^
oiiNiiàTioa projtctUcs.
POIDS doa
ClAIGSt
de pondre,
Bombe de 22C.
Bombe de 28e.
KîlOR.
PORTÉES aoBi lea angles d«
Mètres.
Mètrct.
