Vx
"^ Si TeipressioD de la résistance de l'air contenait d*aatres pnissaneei de la vitesse qae la deuxième et la troisième , on obtiendrait également la valeur de dx en fonction rationnelle de p, et son intégrale.
HOUVEUEKT DANS L^AIR. 67
Déterminant la constante par la condition que la vitesse initiale soit V, c'est-à-dire qu'à la fois x soit 0 et que la valeur de ç>, soit la composante horizontale de cette vitesse ou Vcos9, que nous représenterons par V, on aura
dx d'où Ton tire la valeur de v. ou de -r
* dt
dx Y,
élevant cette quantité au quarré et divisant membre à membre avec Téquation (5) , on aura pour Téquation d'un arc de la trajectoire
S7. Equation finie d'un arc de la trajectoire. Faisant passer dx dans le deuxième membre, développant
le quaiTé et remplaçant ^ ou ^^^ par 5^, on
aura
Intégrant et déterminant la constante par la condition qu'on ait à la fois x = 0 et ;o = tang<|>, on aura^
puisque P = -,
Faisant passer dx dans le deuxième membre, intégrant et déterminant les constantes par la condition qu'on ait à la fois X =: 0 et / = 0, on aura
— .'-dr-4.^('+=^)F-?-')
Cette expression peut se mettre sous la forme
Îax {* + — ) i .
\ r J r i /ax\
En représentant par une môme caractérisque F la forme des fonctions de x qui multiplient (l 4- ^^) et ^1 -i- '!LJ.\
et qui ne différent entre elles qu'en ce que — est rem-
our
placé par — ; c^est-à-dire en écrivant
MOtJVEUffiNT BANS L AIR.
réquation de la trajectoire deviendra
Telle est Téquation d'un arc de la trajectoire dans Pair, lorsque la résistance de ce fluide est exprimée par deux termes proportionnels , l'un au quarré , l'autre au cube de la vitesse.
Si Ton compare cette équation à celle de la trajectoire
or»
dans le vide qui est , comme on sait , / = ortangç — ihcoB'^(p on verra qu'elle en diffère en ce que le second terme est multiplié par une certaine fonction de x et de V, divisés
respectivement par les quantités constantes - et -.
En représentant cette fonction par 4 (ar , V,) c'est-à-dire en écrivant
réquation de Tare de la trajectoire deviendra simplement
58. Inclinaison, durée, viY^^*^. La valeur de Tinclinaison de la trajectoire en un point quelconque s'exprime aussi très-facilement au moyen de la valeur précédente de p qui n'est autre que tango ; on aura donc
expression qu'on peut mettre sous la forme
ûur
Je
\ r J r ax r'
En représentant par la caractéristique F' les fonctions de X qui entrent dans les termes sous la parenthèse, c^est-
ax «£
à-dire en écrivant î^=^ = F f-) et î!llll=:Ff^),
«X \ c / eue \2c/^
on aura
■"'• = '""-il£;r4('+"-î^)V(?)
Enfin, en remarquant que la quantité comprise entre
parenthèses est composée avec F' ^^] comme la fonction
4 qui se trouve dans Péquation de la trajectoire Test
avec F T— j, nous pourrons la désigner par 4'(^) V,)
^el écrire
MOUVEMENT DANS l'aIR. 71
L'expression de la tangente en un point quelconque de l'arc de la trajectoire sera donc simplement
tango = tang(p — -1 4'(,, y,)*.
Dans le vide, on aurait comme on sait
tange = tang<?>— - "^ .
2acos^9
L'expression de Tinclinaison dans l'air ne diffère donc
de celle-ci qu'en ce que l'abaissement angulaire — ^
° 2AcoB»(p
doit être multiplié par la fonction 4' (or, V,).
La durée du trajet en fonction de la vitesse du projectile se déduit (56) de l'équation
d'où Ton tire par les procédés connus
rff = .
2c dPt
2c /dff^ *ÎÎ51Lj*' "^^i
et en intégrant
Déterminant la constante par la condition qu'au commencement du mouvement t soit égal à zéro et que i», soit la composante horizontale de la vitesse initiale ou Vcos<}>=:V, , on aura
en vertu de la valeur déjà trouvée (56) de x , celle de t se simplifie et devient
Si de plus on substitue à ç>, sa valeur en fonction de x et de V, (56) , on aura pour la valeur de t
On arrive plus directement à celle relation en parlant de la valeur de v, ou J (56); en la renversant on obtient
dx y, \ '' J ^
En intégrant et déterminant la constante de façon qu'on ait à la fbis 07 = 0 et ^ = 0, il vient comme ci-dessus
En mettant cette expression sous la forme
ax
MOUVEMENT DANS l'aIR. 73
aV
on reconnaîtra que le facteur de.1 h ' est ce que nous
avons représenté par la fonction F' f^V de sorte qu'on aura, en se rappelant que V, = Vcosç
' = vi-,[(' + "-)^(g)-"-^]-
Si Ton compare cette expression de la durée à celle qui
aurait lieu dans le vide , qui est comme on sait t = = ,
on verra qu^elle n'en diffère qu'yen ce que celle-ci doit être multipliée par le facteur entre parenthèses qui est une
fonction particulière de F' f — j et de ^^, que nous représenterons par ^'j c'est-à-dire que nous écrirons
diaprés cela l'expression de la durée sera
