MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS L'AIR

54. Considérations générales. La solution générale de la question du mouvement d'un projectile dans Tair , a été regardée comme un des plus difficiles problèmes d'analyse. Il a été 9 à plusieurs reprises, proposé au concours par les sociétés savantes , et 1<3S géomètres les plus distingués ont essayé de vaincre les difficultés qu'il présente ; Euler, Lambert, Résout, Rorda, Tempelhof, Legendre, Français, Tout attaqué par des méthodes savantes et profondes , dans Thypothése que la résistance du milieu était proportionnelle au quarré de la vitesse du mobile ; cependant aucune méthode rigoureuse n'a pu jusqu'ici exprimer une relation finie entre les angles de projection, la vitesse initiale et l'amplitude du jet; peut-être même ne pourra-t-on jamais résoudre cette question dans toute sa rigueur ; aussi Ton a dû recourir à des méthodes d'approximation. Dans les unes , on a rejeté des quantités qui embarrassent le calcul et qui ne semblent pas influer d'une manière sensible sur les résultats ; dans les autres , les résultats ont été exprimés au moyen de séries qu'on est dans l'impuissance de remplacer par des expressions finies.

Si les difficultés du problème du mouvement des projectiles , dans un milieu résistant , ont été aussi grande»

lorsqu'on a supposé la résistance simplement proportionnelle au quarré de la vitesse , quelles ne devront pas être celles que présenterait ce même problème y dans Phypothése d^une résistance exprimée par deux termes. On ne peut donc espérer de le résoudre que par approximation.

Dans l'espèce et le degré d^approximation que nous rechercherons j nous aurons toujours en vue les applications utiles et nous éviterons de compliquer outre mesure les formules , dans le seul but d^embrasser des cas qui ne se rencontrent pas dans Tapplication. C'est peut- être pour n^avoir pas été assez, pénétrés de cette idée , que les géomètres distingués qui se sont occupés de balistique, et en particulier Legendre , n'ont pas amené cette science au degré d'utilité qu^elle aurait pu atteindre.

Nous ne négligerons cependant pas de considérer le cas le plus général du tir, sous de très-grands angles de projection et avec de très -grandes vitesses, quoiqu'on n'en fasse presque pas usage à cause de l'incertitude qu'il présente , mais nous nous attacherons plus particulièrement au cas des vitesses modérées , les plus habituellement usitées dans le tir sous les grands angles de projection , et à celui des grandes vitesses sous les petits angles. Dans ces deux cas , il n'est pas possible de représenter la résistance par un seul terme proportionnel au quarré de la vitesse, même en déterminant le coefficient de la résistance pour chaque cas particulier ; car la vitesse est trop variable depuis le point de départ jusqu'au point d'arrivée. Dans le tir sous kb"^^ par exemple, même à de petites distances, cette vitesse varie dans un rapport plus grand que celui de 1 à v^, ou d'environ 10 à 7 ; par suite , les formules auxquelles sont arrivés les savants géomètres que nous avons cités , reposant sur une loi inexacte de la résistance de Pair, ne peuvent pas représenter exactement le mouvement des projectiles. La question analytique, sous ce rapport, pré-

. « dy

BinO= -^

ds'

rfi'

MOUVEMENT DANS L'aIR. 61

sente donc des difficultés nouvelles plus grandes que celles que Ton a déjà surmontées.

55. Equation différentielle de la trajectoire. Soil 0 la poibt de départ du projectile (Fig. 12), V sa vitesse initiale suivant OA, ^ Tangle de projection au-dessus du plan horizontal, h la hauteur due à celte vitesse, P le poids du projectile, R son rayon , D sa densité, x eix Tabscisse et Tprdonnée d*un point quelconque M de la trajectoire ; soit de plus , s la longueur de l'arc OM , t le temps employé à le parcourir, p la vitesse en ce point, 9 l'inclinaison de Télément de la trajectoire ou de la direction du mouvement du

projectile arrivé en ce point ; faisons /? = ^ , on aura /!== lange, co80 = — ,

soit toujours ^ la pesanteur, ou la vitesse acquise par un corps après la première seconde de sa chute dan& le vide , et p Texpression générale de la résistance de Pair , que nous savons être représentée (51) par une expression de la forme

p = nt^M 1 + -) , dans laquelle n = A.wR" et où A = 5-'

— étant la masse du projectile, la force accélératrice

due à la résistance de Tair sera

que nous représenterons par p'^ les composantes horizontales et verticales de celte résistance seront dx dy

La direction initiale du projectile étant comprise dans le plan vertical des coordonnées , la pesanteur agissant dans ce plan , et aucune autre force que la résistance de Tair n'ayant action sur le projectile , celui-ci ne sortira pas de ce

plan ; on^ura donc pour les deux équations du mouvemsiit ; parallèlement à chacun des axes des coordonnées

dx • dx

Observons que si le poids P était celui du mobile mesuré dans le vide , le poids dans l'air serait diminué du poids d^un volume d^air égal à celui du corps et repré-

sente par P--, et par conséquent -le poids P devrait être remplacé par P[l — ^j et la force accélératrice due à la pesanteur par ^(l — -j. Mais pour les projectiles

de Tartillerie le rapport =r est assez petit pour qu'on puisse

le négliger devant l'unité.

Effectuant la différentiation en regardant dx comme constant, on tire de Téquation {a)

d't ,dt ^ . , ,

. Observant que dy =: pdx et que par suite d'y = dpdx , la différentiation de l'équation (b) donnera

dpdx ,dyd^t dy dt dt* "^^ds

\-^-^dt + gdt=zO',

ajoutant membre à membre à cette équation la précédenta multipliée par dy^ on aura

(1) -£p-4-^i/fr=0 ou dpdx + gdt^ = 0.

Cette équation , comme on voit, est indépendante de

MOL'YEHENT DAMS l'aIR. G5

p' et subsiste quelle que soit la relation de la résistance à la vitesse.

En différenciant cette équation , puis en tirant la valeur de ^V, divisant celle-ci par la valeur de de^ tirée de Téquation (1) elle-même, on aura

Soustrayant cette équation dePéquation (c), on aura,

^ ds 2dpdt

Or en fiariisant 2c =; ~ et en remplaçant {> par -5 on a

ng '^ *" dt

ids^f^ . ids\

'^'rcdrV+rdi)^

l'équation p'^zzr^gj devient

tirant de cette équation la valeur de jj et élevant au quarré, on aura

<//«■" \dsdp J '

en substituant à dt^ sa valeur tirée de Téqualion générale dpdx 4- Sfdc^ = 0 , on aura

V dsdp J r* dpdx *

Enfin remplaçant ds par sa. valeur dxyi +/?% puis p

du dp d^y d*p dy^

d^ la trajectoire

64 SECTtON lîl.

[dpVT+pdx. ) "-" "^P

Cette équation est trop compliquée pour que les moyens

connus d'intégration permettent d'arriver à une expression

finie entre ;r et 7.

Si l'oa fait - = 0, ce qui est le cas de la résistance

proportionnelle au quarré de la vitesse, Téquation précédente devient simplement

(2) ctPp — dpdx Vi +/i' = 0.

Cest sur le système des deux équations (1) et (2) qu*ont été fondées jusqu'ici les recherches entreprises pour la solution du problème balistique. Elles n^ont pu conduire, même dans ce cas simple , les grands géomètres Bernouilly, Euler, Lambert, Tempelhof, Français, qu'à des valeurs approximatives ou exprimées par des suites infinies, dont ils ont calculé un certain nombre de termes, et qui forceraient dans les applications numériques à des calculs très -pénibles. Ces difficultés n'ont pu être évitées par Borda , Besout , Legendre et Français , qu'au moyen de formules dont le degré d^pproximation a dépendu des complications auxquelles ils ont consenti à s^astreindre. Nous essaierons de suivre une marche différente et qui nous conduise plus promptement aux résultats que nous cherchons.

56. Equation différentielle d*un arc de trajectoire. Reprenons les équations (a) et (d) du mouvement

Effectuant la différentiation en regardant dt comme constant, remplaçant p' par sa valeur ^^(l +;)> ^ *^*"

p sant comme précédemment 2^ = — , on aura

L'équation (4) par la substitution de la valeur du facteur de — de Téquation (3) devient

£V d'x ds dy d*x dy

dt* """"^"^i/<» dsds """"^"^S^S*

Or on a dy^=.pdx ou '£ = p^^ d'où en différenciant^

rf*i/ d^x dp dx ^ , , . d^y

— i = /)— +^— et par conséquent, en substituant-^

^^ dt dt

Pour faire disparaître la valeur du temps et avoir une équation de la trajectoire, reprenons l'équation (3)

rf/V 2c \ ^ rj ds

La valeur de ^ qui représente le rapport d'un élément

de Parc de la trajectoire à sa projection est variable d'un point à l'autre de la courbe ; mais lorsque Ton ne considérera qu^une certaine étendue de l'arc décrit , on pourra

remplacer la taleur variable de j- par sa valeur moyenne

dans l'étendue de l'arc , c'est-à-dire par le rapport de Tare entier « à sa prejection x; soit a ce rapport. Puisque la

ds ds dx • dx

vitesse p est égale à — ou à — ^ 5 on aura aussi v = «t — ; diaprés cela , Téquation d^un arc limité de longueur sera

en représentant par p, la composante horizontale r^ delà vitesse en chaque point, on aura

et puisque -- z=: p. , on aura aussi en divisant membre EL membre

Ces équations donnent la valeur de dx et de de en fonction de (>. et on peut les intégrer; en effet on aura par les procédés connus

2c d(f^ ^c /dpy a dox \*

dxi

= — J^Tlog^'i — logTl + ^f', jj+consi

ac, • r '

= — log — — — -4- const.