V COB

Dans le vide on aurait simplement, comme on sait,

cosO

60. Relations entre les fonctions par lesquelles les équations du mouvement dans l'air diffèrent de celles du mouvement dans le vide. Il y a entre les fonctions par lesquelles les équations du mouvement dans l'air différent de celles du mouvement dans le vidé , des relations qu'il est utile de connaître. Trois de ces fonctions* sont ,

en représentant par z la variable - ,

e% ^ = F'(.) et !lZ^ = F(.).

La première est Texponentielle dans laquelle e est la base des logarithmes hyperboliques, égale à 2,718281828; sa valeur est exprimée par la série convergente connue

La seconde se forme de cette première en en retranchant le premier terme du développement et en divisant le reste par le second terme; elle a pour valeur

* Voir aaz tables les valeurs nuoncriqacs de ces foncUon».

MOUVEMENT DAKS L^ÀIR. 75

La troisième se forme également de la première, ea en retranchant les deux premiers termes du développement , et en divisant le reste par le troisième terme ; Ton a alors

II est facile de voir qu'entre F(^) et F(z) il y a cette relation F (z) = -ift- ^ analogue à celle-ci F'(^) = ^-^ ,

laquelle consiste pour l'une et pour l'autre à retrancher le premier terme du développement , et à diviser le reste par le terme suivant.

Chacune des tiois fonctions «% F'(^), F(;r) a TuniCé pour premier terme de son développement ; les autres termes sont tous positifs. Ces fondions sont donc toujours plus grandes que Tunité , et elles s'en rapprochent d^autant plus que z est plus petit ; elles ne se réduisent à Punilé que quand z est égal à zéro.

Les seconds termes des séries qui expriment la valeur de ces trois fonctions, sont respectivement z^ |^, |^; les troisièmes termes se déduisent des seconds en augmentant Fexposant de z d'une unité et en donnant au dénominateur un second facteur égal au précédent augmenté d'une unité; les quatrièmes termes et les suivants se déduisent des précédents de la même manière. On voit par là , que quelle que soit la valeur de z , hors le cas où celte quantité est nulle , la valeur de F' (z) est plus petite que celle de e", et que celle de F (^) est plus petite que celle de F'(^). Enfin, puisque le développement de ér*est toujours une série convergente , les développements de F' (z) et de F (z) seront plus rapidement convergents encore.

Dans un certain nombre de cas les séries sont assez convergentes pour qu^on puisse se contenter d*un très-pelit

76 SECTION m.

nombre de termes. Ainsi pour F(^)9 61-2^ = 7) le second terme de la série est }, le troisième est égal à ^^^ le quatrième à j~j , . le cinquième à 7—75 ; un terme aussi petit est toujours négligeable ; le quatrième le serait dans beaucoup de cas.

e* est exactement le quarré de *'^; mais si F'(jr) et F(;r) ne sont pas respectivement les quarrés de F'(|j2r) et de F ({;?); ils n'en diffèrent que très-peu. En effet, en prenant les quarrés de ces foùctions, et en les retranchant de ceux de ^\z) et de F(^), on trouve

(n-2)2-' + t "*"2.3.4....(ii + 2)2«-» "•''

de sorte que quand z est une petite fraction , ce qui est le cas le plus général , ces différences sont très-petites.

61, Il existe entre les fonctions représentées par les caractéristiques 4' ^^ x' ^^^ relation analogue à la précédente; ces fonctions sont composées, comme on Ta

dit, des fonctions Y\z^ et du rapport — - que nous représenterons par Vo- Si on élève au quarré x^C^ 5 V,), qui a pour valeur (1 -I- Vp)^"^ — Vo, on aura

celte quantité est composée en e" comme les fonctions \ et 4' I® sont avec F {z) et F' (^) , de sorte que , vu" Tanalogie avec les précédentes, on peut la représenter par

MOUVEMEIST DANS l'aIR. 77

la caractéristique 4" et écrire

Il n'en est pas tout à fait de même relativement aux fonctions F'(^) et F(;r), parce que les valeurs de [F(;;2r)]' et [F(^^)]=* ne sont pas tout à fait égales à celles de F' (z) et de F (z) 5 mais ces quantités ne différent que trés-peu entre elles quand z est petit , et Ton a en repréf^entant par xi^^^i) '^ fonction x'C^j VJ quand on y remplace V(z) par F(;2r)

Ces quantités sont très -petites quand z est une petite fraction, Y^ n'ayant jamais qu^une faible valeur.

Les valeurs dp y^(x^ V,) et de x'(^î ^i) ^® différent entre elles qu^en ce que e* est remplacé par ¥'(z)i

de sorte que pour les valeurs de z* =z — telles que

e" = F' (y), on aura

x"(x,vo = ?c'(*',v,).

On aurait de même

pour les valeurs de x^ telles qu'en représentant — par

z^ on ait V (z^) = e*.

Il existe une relation semblable entre les valeurs des

fonctions représentée^ par les caractéristiques 4 et 4S

et si les valeurs de z = — et z^ z=: — sont telles qu'on

ce ^

ait F(^) = F(z'), la diCTérence entre 4(^> V,) =

(l+V0'F(^)-2Vo(4+Vo)FG;r)+V/ et 4'(a/,Vo)

= (1 4- Vo)' F (^) — 2Vo (1 + Vo) F(i ;^') + Vo' sera

simplement

4 {xy V.) -4' (^', Vo) = 2 (1 + VJ VJFdO -F (iz)] ,

c^est-à-dîre que 4'(^> V,) sera moindre que 4(^> V,) de la quantité (1 + V^) VoX2[F(i^) — Ffi^)].

Or tant que z n'est pas considérable, F'(J;2r') n'est qu^un peu supérieur à F (^ ;2r) et comme Vo ne dépasse presque pas en général une unité , (1 -h Y„) Vo ne dépassera presque pas deux unités ; le produit (1 -h Vo) V© X2[F'({y) — ¥(\z)] sera donc presque toujours une petite quantité.

On a utilisé cette .propriété dans rétablissement des tables numériques des fonctions x ^^ 4* ^î^^î 9 après avoir calculé pour un certain nombre de valeurs de Vo les valeurs de x"(^> ^i) correspondantes à une série de valeurs de ^, ce qui donne une table à double entrée , on a calculé la série des valeurs de V qui donnaient F' (^) = e*^ et on les a inscrites en regard des valeurs de z'^de cette façon, et pour chacune des valeurs de Vo, en entrant dans la table par la ligne des z on trouve les valeurs de x"(^> Vi)> ^^ ®" entrant par la ligne des z' on trouve les valeurs de x'C^î ^i)*

Il en a été de même quant aux valeurs de 4 ^t de 4'* Après avoir calculé pour un certain nombre de valeurs de Vo les valeurs de 4 correspondantes à une série de valeurs de ^ , ce qui donne une table à double entrée , on a calculé la série des valeurs de z' qui donnaient F'(^') =r F (z) 5 et on les a inscrites en regard des valeurs

MOUVEMENT DANS l'aIR. 79

de zi de cette façon, et pour chacune des valeurs de Vo) en entrant dans la table par les valeurs de z^ on a les valeurs exactes de 4(^9 ^i) 9 ^^ quand on y entre par la ligne des valeurs de ^', on obtient une valeur qui n'est supérieure à 4' (^> V,) que de la quantité (l-t-Vo)Vo X2[F(|y)— F(|^)]5 de sorte qu'ayant calculé pour chaque valeur en regard de z et z' le double de la différence F'({j2r') — VQz)y et l'ayant inscrit dans chaque colonne , sous le nom de correction négative , il n'y a qu'à multiplier dans chaque cas cette dernière quantité par la valeur de (1 4- Vo)Vo, et retrancher le produit de la valeur de 40^» VJ donnée par les tables. Cela a permis de réduire les tables numériques à une étendue moitié moindre *.

On aurait pu étendre cette propriété au calcul des valeurs de x(^> Vi) et de celles de 4"(^> V,), si cela eût été jugé utile ; on le ferait au besoin au moyen des tables des valeurs de ^", V'(z) et F (z).

62. Si la résistance de Tair était supposée proportionnelle au quarré de la vitesse, il faudrait faire - = 0,

ce qui donnerait p' =r -- V 5 dans ce cas , les fonctions

composées représentées par les caractéristiques 4 et 4S x' et xf se réduiraient respectivement aux fonctions simples représentées par les caractéristiques F, F' et par <?*, c'està-dire que 4(x, V,) se réduirait à F (7), 4'(^, V.)

àF'(ÎJ), x'(*, V.) à f(ï^), x'C^, V.) à .'% et l'on aurait pour les lois du mouvement des projectiles

* Voir les tables numëriquei de ces fonctions.

JC A aX \ ^ V C08 (p

' ~ VcoT© \^) * ^"""o^' côîîê *

A mesure que x est plus petit, c'est-à-dire à mesure que Ton considère des arcs de moindre étendue , ou que c qui croit avec le diamètre et la densité du projectile est plus grande ;

la valeur de Ff— ], F'^ — j, et e^^ se rapprochent de

lunité; il en résulte que Tinfluence de la résistance de Tair dont ces fonctions tiennent compte , va en diminuant de plus en plus, et que le mouvement se rapproche de ce qui aurait lieu dans le vide. Pour ce cas il faudrait

supposer p = 0, et par conséquent — = 0, alors les

fonctions f(-^)> ^'("7) ®* ^^^ seraient toutes trois

égales à Tunité, et on retomberait sur les formules du mouvement dans le vide..

Ainsi , à mesure que Ton considère des arcs de moindre étendue ou des projectiles de plus fort calibre , ou de plus grande densité y Tare de trajectoire se rapprochera de plus en plus d'un arc de parabole.

63. Propriétés générales du mouvement des projectiles dans Vair. — F^itésse. Nous allons exposer plusieurs propriétés du mouvement des projectiles dans Fair que l'on peut démontrer sans être arrivé à Téquation finie de la trajectoire.

A mesure que le projectile s'élève dans la branche ascendante, la vitesse diminue tant par l'elTet de la pesanteur que par celui de la résistance de Pair. A partir du sommet, la vitesse va encore en décroissant par l'effet de la résistance de l'air ^ mais la pesanteur commence à agir pour

la contrebalancer. Son effet augmente avec rinclinaison

de la direction du mouvement , de sorte qu^à une certaine

distance du sommet, il compense celui de la résistance

de l'air; la vitesse est alors au minimum. Au-delà, la

vitesse augmente par la prépondérance de Peffet de, la

pesanteur qui agit suivant une direction de plus en plus

rapprochée de celle du mouvement du mobile ; mais la

vitesse n'augmente pas indéfiniment , parce que Feffet

de la composante de la pesanteur suivant la direction

du mouvement, a pour limite le poids du mobile. La |

vitesse de celui-ci ne pourra par conséquent pas dépasser 4

celle pour laquelle la résistance serait égale au poids du

corps dans l'air. Cette vitesse sera donc donnée (55) par

Téquation I

ou plus simplement, en négligeant la densité de l'air devant I

celle du projectile, par l'équation 4|

On voit par là , que la limite de la vitesse sera d'autant j

plus grande que 2c qui est égal à — = -— sera lui- a

même plus grand, ou que le projectile sera d'un plus **

grand diamètre et d^une plus grande densité. ^

Ce que l'on vient de dire relativement au minimum de *"

la vitesse se déduit aussi de l'équation du mouvement. En partant de Téquation d^un arc de trajectoire pour lequel on connaît la vitesse initiale Y et Tangle de projection 9 , la vitesse en un point quelconque aura pour expression (59)

On Toit qu'à mesure que le projectile s'élôre dang ta branche ascendante, x augmente ainsi que cos9 et par conséquent que le dénominateur de la valeur de (> augmente et que la vitesse diminue. Mais , au-delà du sommet , cosS va en diminuant quand x augmente, et il y a un point où l'effet de Faccroissement de x compense l'effet de diminution de cos6 et que la vitesse est au minimum. Pour déterminer Tabscisse de ce point , ou substituerait dans

— -, ou dans son égaje \/i -4-;k>% la valeur de p déduite

de Tinclinaison de la trajectoire (58). On différencierait par rapport à a; et on (égalerait le résultat à zéro ; mais Texpression qui en résulterait serait trop compliquée pour qu'il soit utile de la rechercher ici.

64. Asymptote. Dans la branche ascendante la vitesse allant en diminuant, par les deux effets réunis de la résistance de l'air et de la pesanteur , à mesure que le projectile s^approclie du sommet, il s'ensuit que si l'on considère la trajectoire en-deçà du point de départ, la vitesse doit au contraire aller en augmentant indéfiniment à mesure qu^on s^éloigne du sommet ; mais l'inclinaison n^augmentera pas de la même manière.

On fait voir en effet (sect. V) que lorsque l'on suppose la résistance de Pair proportionnelle au quarré de la vitesse, la branche ascendante a une asymptote dont on peut déterminer facilement l'inclinaison; de plus, cette asymptote s^écarte d'autant plus de la verticale que le coefficient de la résistance est plus grand. On comprend donc, que lorsque la résistance contiendra un second terme proportionnel au cube de la vitesse , il y aura aussi une asymptote et que celle-ci s'éloignera de la verticale plus que dans le cas précédent.

On fait voir aussi que dans cette môme hypothèse la branche descendante a une asymptote verticale qui se

trouve à une distance horizontale finie du sommet. Il est facile de voir aussi que quand la résistance sera augpmentée par un terme proportionnel au cube de la vitesse, la direction du mouvement se rapprochera plus rapidement de la verticale , et qu'il y aura aussi une asymptote à une distance finie du sommet moindre que dans le premier cas. 65. Rayon de courbure. L'expression du rayon de courbure est, en regardant dx comme constant,

Or la valeur de p ou de tangS en un point quelconque

, dp

d un arc de trajectoire et celle de ^ qui ont été données

(56 éq. 6 et 58), étant substituées dans la valeur de y on aura en un point dont Tabscisse est x

Ce rayon de courbure appartient à un arc qui diffère un

peu de la véritable trajectoire en ce que , dans Texpression

de la résistance de l'air, on a remplacé le rapport variable

ds *

•^ par le rapport moyen - ou a. Mais, si on suppose

l'arc extrêmement petit, auquel cas « devra être remplacé par ^— , les deux arcs se confondront, et au point de

départ, pour lequel on a ar = 0, x^C^j V,) = 1 , 4'(*î V,) = 1 , on aura

g cof ^

Ce rayon est donc indépendant de la résistance de Pair ;

il De dépend que de la vitesse et de rinclinaison au point donné et appartient aussi à la parabole qui est ainsi osculatrice à la véritable trajectoire.

Du c6té de la branche descendante où la vitesse va en croissant jusqu^â devenir infinie , le rayon de courbure , proportionnel à h , serait infini ce qui est la propriété de Tasymptote ; du c6té de la branche descendante , où 9 va en augmentant jusqu'à devenir un angle droit ^ tangq> devient infini , y est donc infini aussi* Entre ces deux limites il doit y avoir un point où le rayon de courbure est un minimum. Pour connaître ce point y il faudrait considérer Tare qui comprend la portion voisine du sommet et pour lequel 9 et Y devraient être déterminées , prendre la différentielle par rapport à or et Tégaler à zéro , on aurait ainsi une relation qui servirait à déterminer x. Mais cette expression serait trés-compIiquée ; d'ailleurs la valeur de <p étant petite Tare de trajectoire approché s'écarterait trèspeu de la trajectoire exacte; il en serait de môme du point cherché*.

Après ces coiisidérations sur les propriétés générales des trajectoires, nous allons nous occuper de leur détermination , des relations entre les portées , les angles et les vitesses de projection et de leurs propriétés directement applicables au tir des bouches à feu ou des armes' à feu.

66. Rapport d*un arc à sa projection. Dans l'équation que nous avons obtenue pour représenter un arc de la trajectoire , est entré le rapport <t de l'arc à sa projection , pour remplacer dans l'expression de la résistance de l'air, le rapport moyen ds à dx; cherchons ce rapport.

Considérons un arc AM commençant sous l'inclinaison 9

* Nûui indiquerons plus loin (sect. VI) un tracé de la trajectoire ipî donnera le minimum de la viteisc et le roinimom du rayon de courbure.

MOUVEMENT DANS l'aIR. ' 8 S

et se terminant sous Tanglo 9' (Fig. 13). Comparons-le à un arc Am de parabole commençant et finissant sous les mêmes angles 0 et 9', courbe qui appartient au mouvement dans le vide. Choisissons sur Tun et sur Tautre des points rapprochés B, C, D... b^ Cy d... où les inclinaisons soient respectivement égales entre elles , nous aurons ainsi décomposé les deux arcs en éléments AB, BC, CD... ab^ bc^ cdy. commençant et finissant sous les mêmes inclinaisons et ayant respectivement la même inclinaison moyenne. Le rapport entre deux petits arcs correspondants tels que DE , de et leurs projections DE', de' sera sensiblement le même. A Porigine, les arcs élémentaires de la parabole et de la trajectoire auront des longueurs égales ; à l'autre extrémité les arcs de parabole auront un peu plus d^étendue; mais la diflërence sera trés-faible et d'autant plus faible que la résistance de Tair se fera moins sentir. Les rapports entre les arcs élémentaires et leurs projections, étant respectivement les mêmes , il y aura donc à très-peu prés égalité entre les sommes de ces éléments ou entre les arcs AM , Am et leurs projections AM', Aw'. Cherchons ce rapport dans la parabole.

L'équation de la parabole et celle de Tinclinaison en un point quelconque étant

y = xlane(p — cl » = --=tang© — , ,

la longueur d'un arc s sera

d^où, en observant que dp =1 — ^ — ;— , on aura

s = 2Aco8'q?y^V/M-? X tip.

En intégrant cette quantité , on trouvera par les pro-

86 SECTION m.

cédés connus

Cette expression peut prendre une autre forme, en remarquant que ;; =: tang9 , que Vi -^p" = sécfl = — ,

cosO'

enfin que ;; + y/T^Tp = tanff8 + séc 9 = îî^i±i

COSÔ

= tang(45^ + i^) **. On aura ainsi en prenant l'intégrale de façon qu'elle soit nulle pour ;? = 0, c'est-à-dire en comptant l'arc à partir du sommet,

2vC08^d ° C08 6 /

= g [langOsécO + lo? (l«ng45»>- 9 )].

Désignant , par la caractéristique ^ cette fonction de 0 , c'est-à-dire écrivant J.(i!!L?. + log'iî^M = ?(9J ; il en

^ En remarquant que

Vi^p-+p

= iog - =z^H(y/T+p+p), ^^+p'+p

on reconnaîtra que quand j9 change de signe la valeur àe/^dxVi +p^ resle la même au signe près.

*♦ 1? X ji 1 8inô-|-sina lang^(i + a)

En général -r~j~~ = --^l--l-J , el si A = 90» on sin* — sina tang^(ô — a)

i+sina tang(45*>-4-^a)

= UD8'(4So+i„). or i±^ = * + •'"'' ^* + "°''

, i4-sina

donc . = (ang(45o4-{a).

ces a °^ • -« /

HOUYEHENT DATfS l'aIR. 87

résultera que la longueur d^un arc compris entre les points dont les inclinaisons sont 9 et 0 sera

et pour le rapport cherché àes k x^ observant que d'après Téquation de la parabole x = (tangç — tang 9) 2^ cos' 9 , on aura

X UDgif — tangO

On trouvera de la même manière

y l(Ung»(p— tang'^O) ^(tangqp+lange) '

Lorsque Ton considère un arc compris entre le point de départ et le sommet, il faut. faire 9 = 0, ce qui donne Ç (9) = 0 et Ton a simplement

X tang 9 qui se réduit à

Oto = 78ëc(p4-7Col(plog(45'°+7<|>).*

67, Choix des points de division d'une trajectoire en plusieurs parties. Si Ton examine les valeurs de et , on verra que quand les angles sont très-petits comme de 0° à 5^, le rapport de Tare à sa projection ne dépasse Tunité que de 7— environ, que pour un arc de 40'* à 0*, Tare ne surpasse sa projection que de ^ environ, et quVnfin pour des angles de IS'*, limite des angles de tir des canons et des obusiers, Tare ne surpasse sa projection que de ~j environ.

Le rapport variable j- n*est remplacé par sa valeur

* Voir aux tablet les Taleurs namériqncs de ((Ç)) de a^ et de a»

88 SECTION m.

moyenne - que dans les termes qui tiennent compte de la

résistance de Pair, puisqu'il n'y entre que comme diviseur de c et comme diviseur de r. L'erreur que l'on commet par cette substitution ne peut donc affecter que Tinfluence attribuée au milieu résistant ; elle est du même genre que toutes les causes qui font varier la résistance de Tair, telle que sa densité , et sous ce rapport , on peut voir que même en négligeant entièrement la valeur de a dans le tir sous Tangle de IS'', c^est comme si c était augmenté de ji de sa valeur ou si la pression barométrique de l'air était réduite dans une semblable proportion, c^est-à-dire de 8 à 9 millimétrés de hauteur de mercure \ cVst une quantité qu'on néglige habituellement dans les applications. On ne pourrait plus négliger la valeur de l'inclinaison de la trajectoire dans les arcs plus grands; mais il est permis comme nous Pavons fait, de remplacer la valeur

variable de -r- par sa valeur moyenne -.

Poifr faire apprécier Tétendue des erreurs que l'on peut commettre , comparons cette moyenne avec les valeurs extrêmes sur des arcs de différentes grandeurs et de différentes inclinaisons, en. remarquant qu'aux extrémités

des arcs y n'est autre que la sécante trigonomé trique des

angles sous lesquels ils se terminent.

Cette comparaison est établie dans le tableau suivant pour des arcs de 5° en 5° ; pour des arcs de 10° en 10** ; pour des arcs de IS** en 15°; pour des arcs entiers à partir du sommet et variant par 5°.

MOUVEMENT DANS l'aI». 89

Tableau du rapport des arcs s de parabole à leurs projections x ,

r . àâ ....

comparé au raj^

yport i

aux extrémités de ces arcs.

DIFF. DO l»à?P<

DIFF. on %\vv^ Il

BirPOlT -

moyen - aux

BAPPOSr -

moyen

- aux 1

tfi

éhhdpb

te 1

ou sécantes

des arcs

dt v»l"extrêM —

des arcs

▼al" extrê" -^\\

trigooomé-

& leurs

iepuisO».

à leurs

triques.

projections.

moins.

plus.

môius.

plus.

deg

Tî

1 ti

il 50

TTh

tTb

Diaprés rinspection des nombres contenus dans le tableau qui précède, on reconnaît que pour des arcs d'un

même nombre de degrés , la valeur moyenne de — diffère

d^autant moins des valeurs extrêmes, que Tinclinaison au-dessus de Thorizontale est plus petite et par conséquent que pour que les différences soient égales , les arcs doivent avoir d'autant moins d^étendue qu^ils s'écartent davantage de Fborizonlale 5 ainsi , cette difl*érence est de ~ pour les arcs de O'^ ù 20% de 20« à 30« ou de 40^ à 45* ; elle est do ~ environ pour les arcs de 0® à 25^, pour ceux de 15*^ à 30*, de 30^ à 40^ ou de bO*> à 55« ; elle est de ^ au plus pour les anglt3s de 0° à 30% de 30* à 45^ ou de SS'' à 60** 5 elle n'est encore que de ^ environ pour Tare de 0** à 45". Ces quantités sont les différences les plus grandes et elles se rapportent aux extrémités des arcs; mais comme vers le milieu de chaque arc, la différence est nulle, il s'ensuit que la différence entre - et j n'est moyennement que la moitié des fractions que nous avons indiquées. Si Ton remarque de plus, que la différence entre ^ et sa valeur

moyenne est d'abord en moins et ensuite en plus, on verra qu^on prend au commencement une résistance trop faible et A la fin une résistance trop forte , et qu'on altère Tare d'abord dans un sens puis dans Tautrej mais que

comme la moyenne des valeurs de ~ est égale à -, il

dx ° X

en résulte que les erreurs partielles se compensent à peu de chose prés sur Tare tout entier tant qu'on reste dans de certaines limites. Cependant comme à la partie inférieure des arcs dans la branche ascendante, la vitesse est plus grande qu'à la partie supérieure, c'est comme si l'on prenait Jà résistance trop faible ; la môme chose se présentant dans

MOL'VEMENT DANS t\lR. 91

la branche descendante, il s*ensuit qu'en réalité les portées calculées seront un peu trop grandes.

On remarquera aussi que le rapport Ag s à x dans la portion qui comprend l'angle 0^ est commune à la branche ascendante et à la branche descendante, de sorte qu^il s'étend à un nombre de degrés double de celui qui est indiqué par les inclinaisons aux extrémités.

Lorsque les vitesses initiales ne seront pas considérables, et que les projectiles seront de fort calibre et de grande densité , comme dans le tir ordinaire des bombes , où Tangle de projection ne dépasse pas habituellement 45° ni les portées 1 000 à 1 200 métrés , Tinfluence de la résistance de Tair sera assez faible pour qu'on puisse embrasser toute la trajectoire dans une seule formule, en prenant (table V, 2® partie) la valeur de a qui convient 5 dans ce cas,

la plus grande différence entre la valeur variable de -7- et

leur valeur moyenne est ~ en moins au commencement ou à la fin du trajet, | vers le sommet de la trajectoire et moyennement 7^, d*abord dans un sens et ensuite dans Fautre. La simplification ayant pour effet de rendre la résistance trop faible au point de départ et vers le point de chute, et trop forte au sommet, il en résultera une trajectoire qui passera au-dessus de la véritable à partir du point de départ, et ensuite au-dessous dans la partie supérieure; elle s'en rapprochera dans là branche descendante, de façon que vers le point de chute , il n'y aura qu'une trés-faible différence.

68. Faleur de la projection d*un arc en fonction des inclinaisons extrêmes. Pour déterminer une trajectoire , on la divisera en plusieurs arcs limités aux points 01) l'inclinaison est donnée (67) \ on en déduira immédiatement la valeur du rapport et (table V), La projection x de cet arc sera déterminée par la relation

4'(jr, V,) = lang<|» — lange.

2/lC08'<P

93 SECTION m.

Mais X se trouvant en exponentielle en même temps qu'à la première puissance dans la valeur 4-' (a?, V,), on ne peut l'exprimer en quantités finies ; on Taura par approximation, soit par plusieurs essais successifs, soit en développant la fonction en série et en revenant à la valeur de X par le retour des suites.

La première méthode présentera beaucoup de facilité en mettant Téquation sous cette forme

(1) — 4'('» V.) = (langip — taagO)-2^coB^(p. c c

Connaissant a d'après les angles 9 et 9, on prendra la valeur numérique du second membre qui , à Texception du

facteur - , n'est autre que la valeur qu'on aurait pour x dans le vide. Ayant déterminé — -^ on prendra plusieurs

valeurs successives de ~ , et Ton déduira pour chacune

d'elles les valeurs correspondantes de ^^ (^î V.) 5 on fera leur produit , et , lorsqu'on aura deux produits rapprochés qui comprendront les valeurs du second membre , la valeur

de — s'obtiendra facilement, avec le degré d'approximation

nécessaire , par les parties proportionnelles entre les différences. Cette opération devient très -facile au moyeu d'une table calculée de la fonction 4'(^î V,) comme celles que nous donnons (tab. XI et XIII) , pour des valeurs suffisamment rapprochées de — et de — i-. La valeur de —

multipliée par - donnera x.

69. Pour obtenir la valeur de x en série, développons dans le premier membre la fonction 4' ôt les valeurs de

F [j) , F(g) ; faisons (tangç — tang8)2Acos> = j/.

MOUVEMENT DANS L'aIR. 93

qui serait 9 comme on Ta dit, Tabscisse dans le vide;

faisons encore , pour abréger , ~ = Vq , nous aurons T = 7+l<'+-->(f)+ô<«+'->('+î^-)(?)'

+5rôr6<'+''-'('+ï5^-)(")+'" +•■■■

De là , par les formules connues du retour des suites , on

trouvera la valeur de ~ en fonction de —, puis celle

de 07, comme il suit

câL 6c 48 \ c /