H71gVo+ii40Vo»+520Vo» /«x
Si Ton supposait la résistance simplement proportionnelle au quarré de la vitesse, alors - et par conséquent — ^ ou Vo se réduiraient à zéro et Ton aurait
-Tc[*-37+lb)-5(T)+H- Cette expression sera d'autant plus convergente que la fraction — sera plus petite. Il en sera de même de la série précédente, parce que en général, dans Fapplication , la valeur de — ' sera plus petite que l'unité. On sera d'ailleurs toujours le maître de considérer des arcs assez petits pour que la fraction — soit assez petite ellemôme et qu'elle rende la série suffisamment convergente.
9k SECTION III.
Mais, dans presque tous les cas, au moyen des tables des valeurs de 4-(^) V,), la méthode par différence que nous avons indiquée en premier lieu sera beaucoup plus rapide.
70. Calcul des arcs. Maintenant , on va voir comment on devra se servir des diverses formules pour résoudre le problème de la trajectoire dans une application donnée.
Supposons qu'on connaisse Tangle de projection ^ (Fig. i 4) et la vitesse initiale Y, dont est animé un projectile de diamètre et de poids connus , pour lequel on connaît ainsi la valeur do c (table VI). Si la valeur de ^ est de 45**, par exemple, et que l'on veuille obtenir une grande précision , on divisera la trajectoire en trois arcs ; on les choisira ainsi : le premier de 45^ à 50**, de la branche ascendante ; le second de 50** de la branche ascendante, jusqu'à 50** de la branche descendante ; le troisième de 50** à 45**, et au poi^t de chute. On opérera ensuite de la manière suivante:
1** On déterminera les valeurs de a (tab. V, 3*^ partie) qui seront pour le premier et- pour le troisième arcs 1(45°) — f (30°)
lang4o° — langSO" et pour le depxième
langSO» ' '
2'* Dans Téquation (58)
tang6 = la„g(p--^^4'(^,V.),
on fera ip = 45**, 0 = 30**, V,=:Vcos9, 2^cos'^ =
if
et on déterminera la valeur de x qui satisfait à l'équation ; ce sera- l'abscisse ar' du point extrême du premier arc ;
3** Connaissant x' on déterminera la valeur y de Tordoiméc du point m' au moyen de la formule
MOUVEMENT DANS l'aïR. 95
4** On aura la composante horizontale Y/ de la vitesse du projectile à lextrémilé ni de Tare, au moyeu de la formule
5° On aura la durée du trajet par la formule
Le premier arc krrl est ainsi complètement déterminé.
Pour déterminer le deuxième arc w'm", on opérera absolument de la même manière, en faisant 9 = SO'', 6 = — 30** et en remplaçant V, par la valeur de V/ qu^on vient de déterminer : on obtiendra ainsi les coordonnées or", y du point de la branche descendante de la trajectoire où rinclinaison est 9" =: — 30", On en déduira ensuite la composante horizontale Y/' de la vitesse, et la durée f.
Pour déterminer le troisième arc rri^ni^^ on fera 9 = — 30° et 9 = — 45"* et au moyen de la valeur Y/' on aura de la même manière que précédemment les coordonnées or'" et y du point de la branche descendante de la trajectoire , où Tinclinaison est — 45* (y sera négative). On déterminera aussi la valeur de Y/" et la durée ^'•
Ce dernier point m''' sera toujours plus élevé que le point de départ, et si Ton veut obtenir le point de chute sur un plan KL (Fig. 14), situé à une certaine hauteur h au-dessus du point de départ , on devra encore faire une dernière opération.
71. L^élévation du dernier point au-dessus du plan de chute est égale à y "4-7"-*- y — b ; cette quantité pourra être positive ou négative : si elle est négative y c^est que le . point de chute est plus élevé que le dernier point m'"; il fait
donc partie du dernier arc el il faudra faire y c= y -^^ y~ h
dans l'équation 7= ortang^ — jr — r"'^(^5 VJ qui s^y
rapporte et déterminer la valeur de x qui j satisfait. On pourra trouver la valeur de x soit en série , par le moyen du retour des suites, comme on va le dire, soit au moyen des tables des fonctions, 4 ^t des parties proportionnelles comme on Ta indiqué pliîs haut^ on ^trouvera par les formules précédentes les valeurs de (> , 8* et ^ qui y cor> respondent.
Si y^y^y" — ^ est positif, le point de chute sera situé en dehors du troisième arc ; s'il doit être peu éloigné de m''', on le regardera comme sur le prolongement de ce troisième arc et on le calculera comme on vient de le dire; mais s'il devait en être trés-éloigné , on estimerait approximativement Tangle de chute sur le plan diaprés la différence entre les deux hauteurs. Soit, ç*^ cette valeur approchée,- on déterminera la valeur de J^j qui est
*'" = .a!gp-!iTi5' ^*^' ' *' ^ ^ p*^'") '' •'*'»"*""''
de ce nouvel arc sera *
Dans cette équation ou fera <p = 9'", V, = V/",
y nii
2Acos*9=— ^— . On déterminera x au moyen des tables
et des parties proportionnelles , en mettant pour plus de facilité Fexpression de 7 soiis la forme
(3) -tang(p -— -• (-) 4 C^, V, = y,
CK ° c 4/<a'co8 9 \ c /
et en essayant successivement plusieurs valeurs de !ii prises
dans les «tables. ^
On obtiendra aussi la valeur de 7 en série par le retour
MOuy&UENT DANS l'aib. 97
4a/l 2âeA
des suites, en faisant — sinçcosç ou — sin 2<|> = ^ti ; on trouvera alors (4) ^ = -ï-\i+^L- + li+t(i+^Al J!l
+N-('+"f)+S('+v')('+5T')]<«fer.
+[»--('+^)+S{'+^)"(»+i^') +«('+"-?){'+l^)]pé5!+-i
Tant que y sera petit et h assez grand , cette formule sera sufQsamment convergente et facile à calculer. On devra faire attenGon que dans le cas dont il s^agit / est négatif, de sorte que les termes où il entre à la première et à la troisième puissance sont négatif; il en est de. même quant à m lorsque comme ici <p est négatif.
Connaissant ainsi cette dernière valeur de x que nous désignerons par af^j on aura comme précédemment la valeur de l'angle final de Tare , lequel sera ici Tangle de chute } on aura aussi la vitesse finale et la durée ^^^ du parcours de Tare ; on aura, enfin pour la portée totale
et pour la durée totale
72. Trajectoire des bombes considérée comme un seul arc. ]>ans les circonstances ordinaires du tir des projectîles , la solution sera plus facile que celle que Ton vient de donner, et Ton obtiendra une précision sufiSsante en considérant la trajectoire comme un* seul arc. Tel est le cas du tir des bombes aux distances habituelles ; il permet d'arriver très -facilement à des relations en termes finis entre les difiérentes quantités que, Ton doit calculer.
Lorsque Ton considère la trajectoire comme un seul arc , celui-ci se termine en général sous un angle différent de langle de départ ; la différence sera en général assez faible , particulièrement si le point de chute est un peu élevé au-dessus du point de départ. La valeur de et dépendra donc de la distance et de la hauteur de ce point. Cependant on pourra déduire a de Fangle de départ au
moyen de la table des valeurs de «„ = : mais il
sera mieux de prendre pour <p une valeur moyenne entre Fangle de projection connu et Tangle de chute présumé ou déterminé par une première approximation.
72. Solution de dhers problèmes sur le jet des bombes. — Portées. Si on connaît la vitesse et Tangle de projection d^un projectile dans l'air , on peut déterminer sa portée sur un plan horizontal élevé d^une quantité queN conque, en b au-dessus de la bouche à feu.
y étant la vitesse initiale et ^ Pangle de projection , après avoir déterminé tt comme on Ta dit (67) , connaissant la loi de la résistance de Tair (*^1), le poids et le diamètre du projectile, on aura r et c qui s'y rapportent (voir la table VI). On aura aussi Vo = î-^2îf . La portée du projectile sera déterminée par Féquation de - la trajectoire y = artang^ — — — r"4(^5 V,) dans laquelle on devra faire y t=i b] on la résoudra facilement au moyen des tables calculées de la fonction 4 ^^ des parties proportionnelles , en la mettant sous la forme (éq. 3)
:'*"«^-T-i&?w;-i7J 4 (or, V,) = * et essayant successivement plusieurs valeurs de ^ prises dans les
tables, comme on l'a déjà indiqué (68).
Pour obtenir la valeur de x en série , on ne peut pas
MOUYEMENT DANS L AIR. 99
faire immédiatement usage du développement qui a été donné précédemment (éq. 4, 71), parce qu'il ne se rapporte qu^à la branche de la trajectoire à laquelle appartient Porigine des coordonnées , et qu'il ne donnerait , dans le cas actuel , que le point où le projectile traverse le plan proposé en s^élevant au-dessus de lui et non pas le point de chute. Il faut d'abord déterminer la projection horizontale de l'arc qui se termine sous une inclinaison égale à Tangle de projection , au moyen de Féquation 1 (68) en
faisant a = — — , ou du développement en série (éq. 2, 69) ,
en observant que l'angle S sous lequel se termine l'arc est égal à 9 et de signe contraire; cette équation deviendra
eue et u.
(5) — 4'(^, V.) = U.lang<|>«o»> = 2^!:iin2<|». ce c
On déterminera ensuite Tordonnée / de ce point au
moyen de l'équation y z=z xiangf — rr — 7-4(^> V,).
Si cette valeur était égale à la valeur de b proposée , le problème serait résolu ; si elle est plus grande d'une quantité B, on déterminera la distance horizontale qui sépare ce point du point de chute au moyen de la valeur de X de l'équation k (71) ou ^ est négatif et dans laquelle on fera j = B.
74. Si le point de chute doit être sur le plan horizontal passant par la bouche à feu , on devra faire / = 0 ; on aura deux valeurs de x dont Tune qui est x = 0 peut être négligée parce qu^elle n^apprend rien ; quant à l'autre, en divisant par x^ en remarquant que 4Atang^C08*^ = 2Asin2^ et en appelant X la portée cherchée on aura
2A»in2^ = X>KX, V,).
En opérant comme précédemment, par le moyen du
iOO SECTION IIÎ.
retour des suites, en nommant X' ]a quantité SAsinS^^
«V ou la portée dans le vide , et en faisant — i = Vo , on aura
i36 + S<5y.+627Vo»-|-250yo' /«^
772 + 4i4iye+8052Vo3 + 6778Vo» + 209gVo* / «X^ > "^ 25920 l c i
+ elc.].
Dans le cas ordinaire du tir des bombes où ces formules sont applicables y la valeur de Y^ ou de -—^ ne dépassera pas I, de sorte que les puissances supérieures à Tunité, iront
aX'
en décroissant rapidement *, comme en même temps —
sera plus petit que Tunité 9 il en résultera que la série sera assez rapidement convergente pour qu'on puisse se contenter des termes que nous donnons. En général, il sera plus facile de résoudre Téquation en X au moyen des tables des fonctions 4 ^^ ^^^ parties proportionnelles , en la mettant pour cela sous la forme
(r; 2A?tin2<^=Î^X4(X, V.).
Le calcul se réduira , comme on Ta dit , à la multipli**
cation de quelques valeurs de -X par la fonction ^(X, V,)
correspondante, et à opérer ensuite par les parties proportionnelles. Les premiers termes du développement ci-dessus donneront toujours , au besoin , une valeur trés-approcbée qui servira de point de départ.
Ayant la portée X , on aura l'inclinaison et la vitesse au
MOUVEMENT DANS l'aIR. 101
point de chute ainsi que la durée du trajet , par les formules données plus haut (S8). La valeur absolue de 9, qu'on trouvera par ces formules , ou l'angle de chute nécessairement négatif) sera toujours plus grande que ç.
75. J^itesse initiale. Si Ton veut déterminer la vitesse initiale que doit posséder un projectile pour être projeté à une distance donnée X sur un plan horizontal sous un angle p^ il faudra tirer la valeur de Y de Téqualion
2A8in29 = X4(X, V.).
Mettant r- à la place de h et 2tang<pcos'cp à la place de Îsin2<p, se rappelant que V, = Vcos95 on aura . «yx [
2r' UDg 9 I
D'où, en feisaat pour simplifier 5
on aura 9 en remarquant que la vitesse doit être positive
et ne prenant que le signe plus devant le radical , %
Cette forme d'expression se rencontre dans la solution de plusieurs autres questions ^ or en nommant y le terme
ajouté à l'unité sous le radical , la valeur cherchéo sera
aco8 9 Q — M
une table des valeurs 1 -4- \/l -h y et des valeurs correspondantes de y ou de leurs logarithmes , calculée une fois pour toutes, serait applicable à la solution d'un grand nombre de questions ; les calculs numériques , surtout quand on calculera par logarithmes , seront considérablement réduits.
On peut encore déterminer Y beaucoup plus facilement au moyen de tables des valeurs de 4(^) V). En effet, en faisant 7 = 0 dans Téquation de la trajectoire , divisant
par X, remplaçant 2^Acos'(p par V,' et — - par V^,
on aura
4(X, V.) ^ 2r> Ungj
On prendra dans les tables les valeurs de 4(X> V,)
aX
(tab. XI ou XIII) pour la valeur proposée de — et pour
plusieurs des valeurs de Y^ qui sont dans ces tables et se rapprochent de celle qu'on présume être la véritable; on les divisera ensuite par les valeurs de Vo' 5 lorsqu'on aura deux quotients qui comprendront la valeur exacte de Q, on trouvera celle de V^ qui y correspond, au moyen d'une proportion entre les différences; la valeur
de V sera égale à V„ . — .
° ° aco8 9
On simplifiera les calculs en commençant l'opération
aX
avec la valeur de — des tables qui est immédiatement
inférieure à la valeur proposée.
