Le but n'étant pas à hauteur de la bouche à feu

— f^itesse initiale. Si le but n'est pas à hauteur de la bouche à feu, soit a sa distance horizontale et b son élévation au-dessus du centre de la bouche. En faisant

- = tange on aura, comme dans le cas général (77), en

supposant seulement « = 1 et faisant — (tangi? — tangs)

on aura, comme dans le cas où le but est à hauteur

de la bouche à feu,

La dernière expression présentera la facilité de calcul déjà indiquée (75) ; on pourra aussi déterminer très -facilement la valeur de Y par celle de Y^ qui satisfait à Téqua-

Uon mise (77) sous la forme i^ = S^('»°8^-'"80 = ç^ puis celle de V qui est égale Yj, .

Dans le cas où - serait peu considérable, on aurait plus

simplement (78), en faisant Y' = l/r — , , "^ r,

V'cos^'

88. Angle de projection. Les coordonnées a et 5 étant celles d^un point de la trajectoire , devront satisfaire

à 1 équation de celle courbe, qui, en y remplaçant

par 1 +tang'^, deviendra

aH fX V V

h = ataogç \/ (i + tang'^),

ou, en faisant jJL^^ = /,',

M' kfib

Ung'<^ Ung9 + -- — \ri -— 0.

Celle équation donnera pour <p d«ux valeurs , mais la plus

H6 SEcnoN nr.

petite seule devant être admise, puisque le tir n^a lieu que sous de petits angles de projection on aura

tai,g<^ = Va'-\/a'(V-4)-£).

Cette équation ne diffère de celle qui aurait lieu dans le vide qu'en ce que h est remplacé par N = -— — =-r.

Cette solution siqppose qu'on peut déterminer 4 (^ 9 ^,) quoique Y^, qui est égal à Ycos^, contienne Tinconnue ; mais, comme on Ta déjà fait observer, on a supposé Fangle de projection assez petit pour qu'on ait pu remplacer A par 1 , par conséquent on peut dans Y cos ^ remplacer cosç par Tunité, ou au moins par une valeur approchée.

89. Fitesse et angle de projection â^ un projectile qui doit passer par deux points donnés. Deux problèmes qui ont une importance particulière dans le tir plongeant ou tir à ricochet des canons et des obusiers , peuvent aussi être résolus ; le premier est le suivant : Trouver la vitesse initiale et Tangle de projection d'un projectile qui doit passer par deux points donnés.

Soient a ei b les distances horizontale et verticale de Fun des points à la bouche à feu , V et b^ celles de Tautre point ; Y et ^ étant la vitesse et l'angle cherchés.

Puisque la trajectoire doit passer par le point dont les coordonnées sont âr et d, on aura

d^où

b a tang<p =-- r- + («> ^«)-

De même , puisque le second point doit se trouver sur la

trajectoire , on aura

retranchant ces deux équations membre à membre, on aura

d OÙ , en observant que 2^A = V et que V cos ^ = V, , ll fg^ ^'4KV,)-a4(a,v.)

rî ■" 2ra b b*

Mettant à la place des fonctions 4 leurs développements

et ordonnant par rapport à -^ , on aura une équation du

second degré en — 5 en donnant à M, N, les mômes

significations que précédemment, à M', N', les valeurs

analogues par rapport à a' et d'y et faisant ^' = — f ^, ji

Ton aura , en ne conservant que la valeur positive ,

Cette équation peut être mise sous la forme [is] 1:= " '

xj'V^

Les divers termes de celte expression , A Texception de

€i\ sont fonctions de - et -, et ne contiennent plus les grandeurs absolues a et ci. Une table de ces fonctions servirait donc pour la solution de tous les problèmes de ce genre. On l'a établie (tab. X) pour les valeurs de - F ^? V

-N , - M , de sorte que le calcul de ces termes, en apparence

compliqués , se réduira à des différences à prendre entre les nombres d'une même table. Ces quantités se déduisent d'ailleurs facilement des autres tables , car on a

='{;) ==[''(!)-']■ :"=^K)-']-*Wè)-'} :«=:+="-*[■'(:)-']■

Connaissant — ' on déterminera les valeurs de la fonction

4 {a , V,) et celle de 4 («^ V,) ; alors , en divisant l'une par Fautre les équations premières , ^cos'^ disparaîtra et Ton aura pour la valeur de ^

(16) ^^,,=.'[^;^^2Èil!:ï:lA

)^on en déduira ensuite la valeur de Y qui est égale à

r co8<^'

90. Vitesse et angle de projection d'un projectile qui doit passer par un point donné, sous une inclinaison déterminée. Trouver la vitesse initiale et l'angle de projection d'un projectile qui doit passer par un point donné et sous une inclinaison déterminée *.

Soient a et b les distances horizontale et verticale du

"^ La solation de ce problème n^avaik pas encore e'té docaée jusqu*ici , inéme en supposant, ce qui est beaucoup plus simple , que la résistance de Tair esl proportionnelle au quarrc de la vitesse du mobile.

MOLYËMENT SOVS LES PETITS ANGLES. 119

point donné , et 0 Finclinaison de la trajectoire en ce point. La trajectoire devant passer par le point dans les coordonnées sont a et 6, on devra avoir

d^oû y en faisant - = tang e ,

La trajectoire devant avoir au point donné Tinclinaison 9 , on aura (art. 81 , éq. 2)

Retranchant ces deux équations Tune de Tautre , on aura

Ung « - tang e =; ^^,- P 4' (a, V.)-4(a, V.].

Remplaçant Acos'^ par -r^ , muUipilant les deux membres par r*, remplaçant les fonctions 4 et 4' par leurs déve^ loppemenls en F[-] et F'(-), ordonnant par rapport à

-^j on aura une équation du deuxième degré , de laquelle

on retirera la valeur de — ; faisant , pour simplifier ,

servant à M et N les valeurs qu'elles avaient dans les

problèmes précédents, et faisant ç" = — (tang e — tang S),

on aura en ne conservant que la valeur positive , la seule qui convienne,

Cette équation peut être mise sous la forme

Les divers termes de celte expression , à l'exception

de g" y sont fonctions de -, et ne contiennent pas la valeur

absolue de a. On a calculé leurs valeurs dans toutes les limites des applications ; elles font partie de la table X.

Au moyen de celte valeur on pourra calculer 4 («j V,) et 4'(«, V,) ; puis, en divisant les deux premières équations membre à membre , on aura pour la valeur de ?

^,8) tang9 = -—^-^—^^—^ ,

Ton en déduira la valeur de V qui sera égale à —

On devra remarquer que dans le cas du tir plongeant , la valeur de 6 étant négative , le second terme du numérateur sera positif.

91. Si Ton faisait abstraction de la résistance de l'air, les fonctions 4 ^t 4' se réduiraient à l'unité, et l'on aurait , en ne considérant que la valeur absolue de 8 ,

taDg9 = 2taDgt -{- langO;

si les angles sont petits ils pourront remplacer leurs tangentes , et Ton verra que Fangle de tir sera à très-peu prés égal à l'angle de chute augmenté du double de l'angle d^élévation du but au-dessus de Thorizon.

Si le sommet de la trajectoire devait se trouver au point m , on aurait 0 = 0, et dans le vide tangip = 2 tang g. C'est la limite inférieure de l'angle de projection qui peut donner un tir plongeant. Dans Pair, avec cet angle et la

vitesse qui ferait passer le projectile par le point donné , ce projectile serait encore dans la branche ascendante de la trajectoire , et le tir ne serait pas plongeant.

92. Inclinaison, durée, vitesse. Dans les problèmes qui précédent on aura Tinclinaison de la trajectoire, la durée du trajet et la vitesse du projectile en un point quelconque et en particulier au but, par les formules qui ont été données:

tang9 = tang^-5^^'(a, V.), . = ^;e(«,V.),

Dans le tir sous les très -petits angles de projection pour le point de chute ou pour les points peu élevés au-dessus de la bouche à feu , cos ^ et cos S différent peu Tun de l'autre et Ton aura sensiblement

On obtiendra la vitesse initiale en fonction de la vitesse du projectile à une distance quelconque en tirant la valeur de V, de l'équation 4 (81) qui , en y remplaçant x" (^> V J par sa valeur, est

d*oû, après avoir divisé les deux termes du second membre par —i , Ton tire

f;, f> COSQ

Ces formules sont analogues aux précédentes , au signe près de a: , et on aurait pu les en déduire directement en considérant le mouvement d'avant en arrière, c^est-à-dire

i22 SECTION lY.

en changeant le signe de x et en mettant p, ou pcosd à la place de Y, ou Vcos(^ ; ce qu'on rend encore plus évident en mettant la relation de Y, à p, sous la forme

Dans le cas où les trajets parcourus sont très -petits le calcul de la vitesse peut être rendu beaucoup plus &cile. En effet , en développant la puissance de ^, après avoir effectué la division de la valeur de Y, mise sous la

forme ç^ ^ en négligeant la deuxième puis-

sance de ^ devant l'unité , et4a différence insensible entre cos^ et cos9, on aura

Cette dernière expression donne immédiatement la quantité Y — p à ajouter à la vitesse connue p ; elle est particulièrement applicable à la recherche des vitesses initiales au moyen du pendule balistique , pour ramener les vitesses mesurées à une petite distance de la bouche à *feu à ce qu'elles seraient au point de départ.

93. Dans le tir habituel des canons et des obusiers, l* angle de projection rapporté à la ligne qui va de la bouche à feu au point à battre, est sensiblement indépendant de l'élévation de ce point. L^expression de l'angle de projection d'un projectile qui doit atteindre un objet situé à une distance et à une hauteur déterminée audessus de la bouche à feu (87) est plus compliquée que dans le cas où Tobjet à battre est à la même hauteur (83) ; mais elle peut devenir aussi simple dans les cas ordinaires, ceux où l'angle d'élévation du but et l'angle de tir ne sont pas grands.

£d effet) si a et 6 sont les distances horizontale et verticale du but , pour que le projectile passe par ce point on devra avoir

Divisant par a, observant que si s est l'angle d^élévation

du but on a tangg =-, remplaçant cos'9 P^^ rr T'

on aura

tang<|.-^taDge a

Dans cette équation y le premier membre ne diffère de

tang(<p — 0 qui est ^^^al^TuDgs^ ^'''®" ^® ^"® ^® dénominateur tang*<p est remplacé par tang^tange. Or, si 9 et 6 ne sont pas grands, ces quantités sont trèspetites et leur différence est négligeable devant Punité; on aura donc sensiblement

(20) lang(<p-e)=^ + (a, V).

Diaprés cette formule , Pinclinaison sous laquelle on doit tirer sera donnée par rapport à la ligne qui va au but sans qu^on ait besoin de considérer l'élévation du point à battre au-dessus de la bouche à feu.

On arrive à une expression du même genre en met--

tant la première équation sous la forme 7t4(^9 VJ = (tang9 - tange) cos' 9 ; alors, par une transformation déjà

effectuée (16) , le second membre devient sin Qp — e) .

on aura donc

or, lorsque les angles e et 9 sont petits, leurs cosinus

et par conséquent le rapport de ceux-ci , différent trés-pea de Tunité, on aura donc sensiblement

expression qui ne dépend plus que de la différence des angles ^ et e et oà l'angle de tir ^ — s est rapporté à la ligne qui va au but.

C^est sur ce théorème important qu'est fondée la théorie du tir au moyen de la hausse, le plus habituellement pratiqué avec les canons et les obusiers.

L^erreur que Ton commet est une fraction de l'unité représentée par tang'cp — tangçtange qui est négligeable dans le tir avec de grandes vitesses et sous de petits angles au-dessus de l'horizon des canons et des obusiers. Ainsi avec un canon de campagne de 12 à la distance de 1000*" sur les pentes que Ton rencontre ordinairement , Terreur correspondrait à une différence de moins de un diamètre de boulet sur l'élévation du point frappé.

Mouvement des projectiles , abstraction faite de l'effet de la pesanteur.

94. Mou9ement des projectiles, abstraction faite de V effet de la pesanteur. L'action de la résistance de Pair s^exerçant toujours dans la direction môme du mouvement du projectile ne peut changer cette direction. La pesanteur seule produit cet effet. Ou obtiendra les formules du mouvement dans l'air, abstraction faite de Teffet de la pesanteur, en p.artant des formules gérérales que nous avons obtenues (57) et en y faisant^ = 0. L^équalion de la trajec-

toire , après y avoir remplacé h par sa valeur ^, et avoir

remarqué qu'en faisant ^ = 0 le second terme disparait , deviendra

y = arlangç,

qui est Téquation d'une ligne droite, laquelle est ici la ligne de projection elle-même.

La formule de l'inclinaison (S8) donnerait aussi

tangO ==: tang^.

Les valeurs de ^ et de c en fonction de x seront données par les deux équations (58 et 59)

' = rib;[{'+=^)-'(S)-^]

et

Mais comme dans ce cas le rapport et de Tare â sa projection est égal à , on verra que «eV, est égal à V

et que tLX ou est le chemin parcouru suivant la ligne

de projection ; on pourra compter les longueurs suivant cette ligne en continuant de les représenter par x^ ce qui revient à faire ^ = 0 ; remarquant aussi que cos 9 = cos^ on aura simplement pour le mouvement rectiligne

et

En tirant de la deuxième équation la valeur de x en

fonction de (^^ on aura

(24) e^ = — — et « = 2clog— —.

On pourrait tirer des équations 22 et 23 la valeur de t en fonction de (^ ; mais on peut la déduire directement de celle qu'on a déjà obtenue (S8) , en y faisant et = 1 et remplaçant f , et V, par (^ et Vj on aura alors

La valeur de retendue du trajet en fonction de la durée résultera de l'équation (22), mais elle ne peut être déduite que par approximation. On y arrivera promptement par

la substitution de valeurs successives de ^ et au moyen des

parties proportionnelles, en mettant l'équation sous la forme

Cette opération sera rendue très-facile au moyen de tables calculées des valeurs de x'(^> V.) (tab. XII et XIV)-

On obtiendra x en série en mettant pour FM r-j son

développement , en prenant la valeur de r- au moyen du

retour des suites , et en remplaçant pour abréger - par Vo ;

* M. le colonel Piobert était dëjk arrive k ces deux expressions de la valeur de / et de x en fonction de t' , dans un Mémoire présenté en 1857 an concours pour le grand prix de mathématiques de Tinstitut, par MM. Piobert, Morin et Didion.

on trouvera

i + VofV , 2+5Vo+5VoV<V>

- *vr4-i±Liïa.!±ïIi±ïlL/'îlV "" L 2 2c"^ 2.3 \2c/

6 + 26Vo + 25Vo' + 45Vo^ / /V \ ^ 2.3.4 \^)

24 + i54V,+ 340Vo»+3i SVo' + 105 Vo^ / rV >

— elc. .

Connaissant x on trouvera la vitesse du projectile au moyen de Féquation (23) ci-dessus.

On s^est assuré par des applications numériques que dans les limites de l'emploi ordinaire des projectiles , cette formule est assez convergente pour que le nombre de termes donnés ci-dessus soit suffisant.

95. Les longueurs et les durées des trajets de deux projectiles différents qui passent d'une vitesse donnée à une autre vitesse donnée, sont proportionnelles au produit des diamètres par les densités. Dans les formules (24) et (25) qui donnent or et ^ en fonction de la vitesse , et qui sont

les valeurs de or et de ^ sont proportionnelles à la quantité 2c qui dépend du diamètre et de la densité du projectile, et d'une certaine fonction de la vitesse initiale et de la vitesse du projectile.

Supposons deux projectiles dont les demi -diamètres soient respectivement R et R', et les densités D et D', on aura (56 et 55)

4 ^B}D 4ED ^ UK'D'

'^ "" 3 AflrRV "" 3 A<7 ^ ~ 3 A^ *

Si ces projectiles partent avec la vitesse connnuné V, lorsque leur vitesse sera réduite à t' , ils auront parcouru des trajets dont les longueurs respectives x et a:' seront

X = 2clog: li et x> = Sc'log. ^ *■'

le rapport de ces deux longueurs sera , en admettant que la valeur de A ne varie pas en passant d'un projectile à l'autre , ou que la résistance de Tair est proportionnelle à la surface d'un grand cercle, ce qui, dans certaines limites, ne s'éloigne pas beaucoup de la vérité (Si)

Si t et f' sont les durées de ces trajets , on aura également

f 2c RD ? "^ 2c' *~ R'D''

d'où l'on déduit ce théorème important.

Lorsque deux projectiles différents partent avec la même vitesse -et arrivent avec des vitesses égales , les longueurs et les durées des trajets sont proportionnelles au produit des diamètres des projectiles par leurs densités.

Si les densités sont les mêmes, comme lorsqu'il s'agit de boulets de même matière , les longueurs et les durées des trajets sont proportionnelles aux diamètres. Si les diamètres sont les mêmes, comme lorsqu'il s'agit de boulets et d'obus du même calibre , les longueurs et les durées des trajets sont proportionnelles aux densités.

Ce théorème fait voir immédiatement l'avantage que

* M. le colonel Plobert avait dëjk appliqaé ce principe en 1835 , dans ses leçons aux élèves de Técole d'application , sur le projet de bouches à fea.

présente, sous le rapport des vitesses à diverses distances, la grandeur des diamètres ou des densités des projectiles. La vitesse des petits projectiles est promptement diminuée, à moins qu^ils niaient une grande densité, comme celle du plomb des balles de fusil ; et Ton n'emploie les projectiles creux en fonte, dont la densité varie de moitié à deux tiers de celle de ce métal , que sous le calibre des plus •gros boulets.

96. Démonstration directe. On peut démontrer ce théorème d^une manière élémentaire , sans passer par les formules du mouvement des projectiles , et Ton voit qu'il est indépendant de Texpression de la résistance çn fonction de la Altesse, pourvu que cette résistance soit proportionnelle à la superficie d^un grand cercle du projectile.

En effet , considérons un projectile animé de la vitesse initiale V, et soit V, , V,, V3.... , les vitesses qu'il conserve après avoir parcouru des trajets élémentaires successif et très-petits, «, , ^,, e^ Si P est le poids de

ce projectile , R son rayon , et D sa densité , la force vive perdue durant le trajet ^. , en passant de la vitesse Y à la vitesse V, sera

Ces deux vitesses étant trés-peu différentes Tune de l'autre , la résistance n'a pas sensiblement varié durant le trajet , et elle pourra être représentée par la résistance p, qui

correspond à la vitesse moyenne — ^— ^ ; en désignant

par la caractéristique f la fonction de la vitesse qui représente la résistance^ de telle sorte que celle-ci soit

CV4-V \ ^ j, la quantité de travail con-