MOUVEMENT DES PROJECTILES
80VB LB8 PBTIT8 AMOLBS DB PROJBCmON.
81 . Simplifications. Les formules qui se rapportent au tir des projectiles sous des angles de projection quelconques au-dessus de l'horizon , peuvent être simplifiées lorsqu'on les applique au tir des canons et des obusiers ; Ton obtient , dans ce cas , une solution facile des problèmes que Ton peut avoir à résoudre.
On ne fait pas usage dans le service de lartillerie du tir des boulets ou des obus sous de très-grands angles de projection particulièrement avec de grandes vitesses , parce que , aux grandes distances où porteraient les projectiles , l'irrégularité du tir résultant de diverses causes déviatrices serait très-grande. Les affûts à rouages ne pourraient pas d'ailleurs résister aux effets du tir des bouches à feu sous de très-grands angles ; aussi ne permettent-ils pas un tir au-dessus de 12'', et ce n^est que par 4es dispositions particulières des plates-formes qu'on peut tirer jusque sou»
no SECTION IV.
des angles de 15° à 16° au-dessus de Thorizon. On peut donc regarder cette dernière inclinaison comme une limite extrême du tir des canons et des obusiers sur leurs affûts et celle de 12° comme la limite dans les cas ordinaires.
Sous les faibles inclinaisons , le rapport de Tare de la trajectoire à sa projection diffère très -peu de Tunité, il ne la dépasse (section III, article 67) que de 0,00127 ou jjj s®"s Tangle de S°, de O,O0S16 ou ~i sous celui de 10% de 0,00745 ou ^ sous celui de 12° et enfin de 0,01184 ou ^ sous celui de 15°. Ces quantités sont très-petites et comme elles n'influent que sur les termes qui tiennent compte de la résistance de Tair , elles pourront être presque généralement négligées, et plus particulièrement avec les faibles vitesses et les gros projectiles. On se fera une idée exacte de leur degré d'importance si Ton remarque qu^en remplaçant par Tunité le rapport a de Tare à sa projection , qui n'entre que comme diviseur des coefficients ^ et r relatifs à la résistance de l'air, c^est comme si la densité de l'air était réduite dans le même rapport ou la pression barométrique diminuée respectivement de 1 , 4 , 6 ou 9 millimètres de hauteur de mercure , quantités qu'on néglige la plupart du temps dans les applications. On pourra donc négliger ces différences dans les formules , avec d'autant plus de raison que ce n'est, en général, que sous les plus petits de ces angles qu'on tire avec de grandes vitesses et que Ton ne s'approche de la limite supérieure que dans le cas du tir plongeant qui s'exécute toujours avec les plus lourds projectiles et avec de petites vitesses, cas où la résistance de Pair a le moins d'influence.
Cela posé , si l'on fait a.=zl dans les formules générales du mouvement des projectiles dans Tair (sect. III), on aura , en conservant les mêmes notations que précédemment (55), pour Téqualion de la trajectoire, pour Texpres-
MOl'VEMEST SOVS LES PETITS ANGLES. 111
sion de l'inclinaison , pour la durée du trajet et pour la vitesse du projectile,
(1) y = x..ng<,-^j-£j- + (x, V,),
(2) unge = Ung^-^j£jj^V(x,V,),
et
82. Solution des divers problèmes. — Le oui étant à hauteur de la bouche à feu. On peut résoudre, au moyen de ces formules , les divers problèmes relatifs au tir des boulets et des obus. Supposons d^abord le but à hauteur de la bouche à feu ; appelant X la portée horizontale , faisant 7 == 0 dans Féquation de la trajectoire et divisant ensuite par X on aura
(5) 2A8in2<î> = X4(X, V.).
Cette équation se déduirait également de la solution générale déjà obtenue (74) en y faisant «4 = 1. Au moyen de celte relation , Ton pourra déterminer une de ces trois choses : la vitesse Y, Tangle de projection ç , ou la portée X , lorsque les deux autres seront connus.
f^itesse. La vitesse V sera, diaprés ce qu'on a vu (73)
Dans ces expressions dont la dernière (éq. 7) se prête au mode de calcul déjà indiqué (75) on a fait pour simplifier ,
(lab. X).
On pourra déterminer Y beaucoup plus facilement au
moyen des tables des valeurs de 4(^9 V.) en essayant
y plusieurs valeurs successives de Y^ = — * de ces tables dans
1 équat. (5) ci-dessus mise sous la forme , = — =^-
= Q 9 jusqu'à ce qu'on en trouve deux dont les quotients de xÇ^i Vi) ps^r Yo' comprennent la valeur de Q et en déterminant la valeur exacte de celle-ci par une proportion entre les différences , comme on Ta déjà indiqué (75).
Dans le cas où la valeur de - est peu considérable et où Ion peut remplacer 4(X, Y,) par [x(^j ^i)]* ^^ [(iH — -)^(â') '*] (art- 60) on aura plus simplement ^ en faisant Y'=\/-r-s-> ^ y 8in 2<p
'il)
■^ *X \ .T V'co»<f
83. Angle de projection. Si l'angle de projection est l'inconnue, on remarquera que cet angle entre dans la valeur de Y, = Ycos^ et par conséquent dans la fonction 4 {x 9 Y,) , mais que cos ^ ne peut pas s^écarter beaucoup de l'unité , puisque les angles de projection sont supposés petits ; on pourra donc regarder son cosinus comme égal à l'unité , sans erreur notable ; en tout cas on pourra lui supposer une valeur approchée et admettre que la valeur de 4(^9 Y,) est déterminée; alors on aura simplement
(9) .in2^ = J4(X, V.).
84. Portée, Si la portée est rinconnue , on cherchera , au moyen de plusieurs substitutions successives et des
parties proportionnelles, la valeur de - qui satisfait à
Téquation (5) mise sous la forme
(10) ?*fi^=Î4(X,V.),
ou bien par le développement en série déjà donné (74) et dans lequel il n^y a qu'à faire a = 1 , X' = 2Asin2p9
—i = Vo on aura pour celte valeur
"■ 2160 \ci
772 + M 41 V. + 805 Vp' -f 6778 V,^ + 2095 V,^ /£\4 "•"^ 25920 \cj
+clc. |.
8S. Angle de chute sur un plan horizontal. Sur un plan à hauteur de la bouche à feu on aura pour Fangle
de chute tang9 = tangf>— j^— q^4'(ar, V,), ou plutôt,
en ne considérant que la valeur absolue de cet angle,
qui est toujours négatif —tango = — — .4'(a;, yj
— tang <p ; or pour atteindre un point situé à la distance X , l'angle de projection ç est donné par la relation
tangip = jj^^4(X, V,), on aura donc pour la valeur
de Tangle de chute
OU, en remarquant que V = 2^A et V, = Vcos^,
(12) -langO = ^[2|'(Xi V.)-4 (X , V.)].
Lorsque les angles de projection sont très-petits on peut remplacer Y, par Y; dans les autres cas, il suffira de connaître approximativement la valeur de ^.
86. L'angle de chute est plus grand que l'angle de projection. En divisant Tune par Tautre les valeurs de tangd et de tang^ on obtient
-lange 4^(X,V,)
Or, d'après ce qu'on a vu (60) , la fonction 4' (X j V,) étant composée avec la fonction représentée par la caractéristique F' comme 4 (X, Y,) l'est avec celle représentée par F, et celle-ci étant toujours plus petite que la première,
■vl'fX V \ il s'ensuit que , ' sera toujours plus grand que l'unité
et que Fangle de chute 6 sera toujours plus grand que Tangle de projection p , les ouvertures étant dirigées dans des sens contraires ] leur rapport sera d^autant plus grand que les portées X et les vitesses initiales Y seront plus considérables.
