RD » '^' ^ *' RD

et ainsi des autres ; de sorte qu'en appelant T' et T, les durées totales des trajets y pour passer de la vitesse Y à ' la vitesse s^ y on aura

T' = T -sir o^ ;r = "sir • RD T RD

Par conséquent aussi, le rapport des durées des trajets des deux projectiles est égal à celui des produits des diamètres par les densités.

97. Si Ton connaît pour un projectile retendue et la durée du trajet qu'il parcourt pour passer d^une vitesse donnée à une série de vitesses différentes, suffisamment rapprochées et décroissant, pour plus de simplicité , par quantités égales entre elles , on aura les longueurs et les

d32 SECTION IV.

durées pour un autre projectile quelconque en multipliant les. premières par le rapport de&'produits des diamètres par

2c' Jes densités ou par le rapport ^. On trouvera au moyen

des différences et des parties proportionnelles^ ce qui se rapporte aux vitesses comprises entre les nombres de la table. On obtiendrait plus de facilités dans les applications, trop simples pour quHl soit nécessaire de les détailler ici , en calculant une table pour une valeur de 2c exprimée par un nombre rond dans les limites des valeurs de 2r, dDOO*" par exemple, et on la rendrait ainsi indépendante du coefficient du quarré de la vitesse dans Texpression de la résistance de Tair ; mais elle dépendrait encore du rapport de ce coefficient à celui du cube de la vitesse.

En conservant A pour coefficient dtf premier terme de l'expression de la résistance de l'air, on devra avoir

^--r— -=: 1000, ce qui particularise le projectile auquel se

rapporte la table.

Cette table étant calculée pour une valeur déterminée

de - il faudra dans le cas d^une autre valeur regarder

les nombres de la colonne des vitesses comme augmentés dans le même rapport que la nouvelle; alors le rapport

-^ resterait le même, et la valeur de oc qui est x =

2c log ne dépendrait plus que de - et -.

Dans la valeur de t qui est t =z^cl yj — - ou

le second facteur ne dépend que

Mouvement sots les petits angles. 155

du rapport - et =^ , mais le premier facteur variant en raison inverse de r, on voit que le tableau des durées relatives à 2c = 1000"* et la valeur de - des tables ne

pourrait servir pour une autre valeur supposée égale à

~ qu'à la condition de regarder la quantité 2c comme

ayant varié aussi dans le môme rapport que r et qu'elle

fi a pour valeur 2c' = 1000-.

Nous ne donnons pas de tables de cette espèce à cause de cet inconvénient. Les tables des valeurs de x' et x" (Tab. XII et XIY), dont l'application ne dépend pas des coefficients les remplacent avec avantage sous tous les rapports.

98. Application au tir à grandes vitesses sous de très-petits angles de projection. Tant que les portées ne sont pas trés-considérables , que le projectile est animé d^une grande vitesse et que par suite l'angle de projection est très-petit, la trajectoire est très- allongée dans le sens ^horizontal 9 et son inclinaison au-dessus ou au-dessous de Thorizon est toujours très -petite, on peut donc, entre certaines limites et sans beaucoup d'erreur, négliger la composante verticale de la résistance de l'air; la compo-* santé horizontale sera alors la seule force qui agira suivant cette direction, et la pesanteur la seule force verticale. Dans cette hypothèse , ces deux forces seront indépendantes l'une de Tautre ; la première sera considérée comme dans le mouvement rectiligne , et la seconde comme si la résistance de Pair n'existait pas.

Cela posé; soit toujours p Tangle de projection du mobile, y la vitesse initiale, x ei y les coordonnées d^un point quelconque de la trajectoire, et v la vitesse du projectile en ce point ; faisons Y cos ^ = Y, , et conservons à c et à r les mêmes valeurs que précédemment.

Sans Taction de la pesanteur, le projectile se serait mu suivant la direction initiale OA (Fig. 15), par conséquent, après avoir parcouru une longueur OB dont la projection horizontale est or, il se sera élevé de BC = ortangip ; mais pendant la durée t du trajet, l'action de la pesanteur aura fait

abaisser le projectile de la quantité Bm égale à r^^*, et par

conséquent la hauteur mC ou y au-dessus de Thorizontale , sera y =: x tang <p — ^^t* ; or, V, étant la vitesse initiale du mobile suivant la ligne horizontale, on aura t -=.

TT^ipo ^ V,) , et par conséquent pour l'équation de la tra-

jectoire, en faisant V = 2^A,

En comparant cette valeur de / à la valeur exacte (57), on voit qu^elle en diffère en ce que la fonction 4(^, V,) est remplacée par la fonction [x'(^) V,)]*. Elle s'en éloigne plus que celle que Ton obtiendrait en remplaçant 4(^î V,) par [x(a?, V,)]% dont on s'est déjà servi (76, 78, 82, 88), après avoir calculé la différence qu'elle présente avec elle (61). Cette méthode n^a, d^ailleurs, que l'avantage de se prêter facilement à la construction de la trajectoire par points , lors que l'on a la loi du mouvement , abstraction faite de la pesanteur; mais , au moyen des tables des valeurs de 4 (^ > ^i) 9 1^ première formule est à la fois plus facile et plus exacte.

La manière dont Lombard a traité le mouvement des boulets '*' dans l'air revient à celle - ci ; mais cet auteur supposait la résistance de Pair proportionnelle au quarré de la vitesse ; de plus , il ne prenait que les premiers termes

* Traite du mouvement des projectiles , appliqué au tir des bouches à feu, page 409 et suivantes.

du développement de Texponentielle y de sorte que la formule comportait trois causes d'erreurs. On ne doit donc pas s^étonner si , dans les applications qu^on en a faites , on ar trouvé peu d^accord avec Texpérience.

Hypothèse de la résistance de l'air, proportioimeUe au quarré de la vitesse du mobile.

99. Circonstances dans lesquelles la résistance de l'air peut être représentée par un seul terme proportionnel au quarré de la vitesse du projectile, — Simplifications qui en résultent. Lorsque Tangle de projection d'un mobile au-dessus de Thorizon n^est pas plus grand que celui que permet le tir des canons et des obusiers , on arrive , comme on a vu (§ I) à une solution assez facile des diyers problèmes qu^on peut se proposer, sur le tir de ces bouches à feu; mais les formules se simphfient beaucoup encore y dans le cas où la résistance peut être exprimée par un seul terme proportionnel au quarré de la vitesse.

Lorsque le projectile lancé sous un petit angle de projection n^a pas un grand trajet à parcourir, que sa vitesse initiale n'est pas considérable, et qu'en même temps il n^est ni de faible calibre ni de faible densité , il en résulte que sa vitesse diminue peu du commencement du trajet à la fin. Dans ce cas , il est permis de simplifier l'expression de la résistance de Pair et de la réduire à un seul terme proportionnel au quarré de la vitesse.

Dans l'expression générale do^ la résistance de l'air p =

A'TftVfl +-)> la valeur de -est une très -petite frac-

lion , de sorte que , si ç> n'est pas grand , le rapport - ne

sera qu'une petite fraction ; si en même temps il varie peu du commencement à la fin du trajet, on pourra , sans grande erreur, remplacer sa valeur variable d'un point à l'autre par une valeur moyenne regardée comme constante.

Les circonstances de fort calibre , de faible vitesse et de distances peu considérables, se trouvent particulièrement réunies dans le tir trés-plongeant ou tir à ricochet ; ce tir ne s'^exécute qu'avec les boulets ou les obus des plus forts calibres , avec des vitesses assez petites pour que le projectile soit dans sa branche descendante lorsqu^il arrive vers le point à battre et à des distances de la bouche à feu, limitées, à la fois, par les circonstances du service et pour éviter les trop grandes déviations ; dans ce cas , le

rapport - ne sera qu'une petite fraction , et le rapport de la

vitesse initiale V à la vitesse d'arrivée (>', qui d'après l'expression de la force accélératrice de la résistance de l'air p' =

différent de TunKé ; de sorte que [l + -] dans Texpression de la résistance de l'air, pourra être remplacé par sa valeur moyenne 1 -*- -- — ^"5 ^^ ®" faisant A' = Af 1 -1 3~~ )?

cette résistance aura pour expression p = A'';rRV\ La valeur de A' comme celle de v\ et dans certains cas celle de V devront être déterminées au moins approximativement avant Tapplication des formules.

Soit, pour exemple, un boulet de 24, lancé avec une vitesse initiale de d20"", à une distance de 350"*. En prenant A = 0,027, - = 0,0023, pour la résistance de l'air,

MOUVEMENT SOUS lES PETITS ANGLES. 457

12^,01 pour le poids du boulet, 2R = 0™,H85 pour son diamètre, g = 9™,809, on aura ^c = 2674", * =

seront 1,276 et 4,238; elles différent de leur valeur moyenne 4 ,257 Tune et l'autre de 0,01 9 ou ^ de celle-ci en plus ou en moins. Cette faible différence, dans Texpression de la résistance de Fair ne peut apporter dans la forme de la trajectoire et dans les relations des divers éléments^, que des erreurs généralement négligeables ; on peut donc , dans des circonstances semblables à celles de cet exemple , remplacer Texpression binôme de la résistance par lexpreâsion monôme , supposer celle-ci proportionnelle au quarré de la vitesse et déterminer le coefficient de cette résistance diaprés la vitesse moyenne qui devra être connue au moins approximativement. Dans Texemple cité, on aurait A' := 4,237 A, et par conséquent p = 0,03395;rRV' et 2c'

=: 2427'",3, et en général pour Texpression de la

4,257 résistance de Fair p = AVRV, et pour la force retarda-

trice p| ou p' = ^, en faisant Se- = ^,.

La quantité c' est ici la hauteur due à la vitesse à laquelle la résistance qu'éprouverait le projectile dans Fair serait égale à son poids ; car si u est cette vitesse , on devra avoir AVR*w' = P , ce qui donne w' = 2^c'.

Cela posé , en suivant la même marche que précédemment , on arriverait à 1 équation de la trajectoire , à Finclinaison de cette courbe en un point quelconque, à la durée du trajet et à la vitesse du projectile , et ensuite à la solution des divers problèmes que Fon doit se proposer dans Fespèce de tir auquel Fhypolhése peut s'appliquer ; mais il est plus simple de déduire la solution de ces questions des résultats auxquels on est déjà arrivé (§ I) , en