IV

remplaçant <? par c' calculé jrs , les fonctions composées se réduisent respectivement à nctiona y^^a,^ v.) et /(or, V.)

é^ulea»i aa l'hy^j^othèse de la .v,o„„e//e «^ ^^.^^^é de la vi-

». ^.^'''ï^^^^^' on trouve pour ,' „ '««^^"aison , la durée et la conservant lc«i w« ^ (lia <>^ naemes notations

«" accentuant la valeur de c

tango =- lang,p

SACOB

•y Cos «ï> 4 <508 8 * X '

«se

« ** ^'■ajpctoire et

r^mes que celles ouV»^* ?^^ autres valeurs sont ,„ ^ sont devenues K ^**'*^ées divers auteurs*, «* PS qui*?"""""^ ^-^-^«''o'^'.T'^ plus Simples, par Solution des 7.°"*^"t *^«>«Pte , ,^ P*' ^^' caractérisdre s' K,- ""^ P^«Mèrv, ^ ^^ résistance del'air.

'«> «obtiendra de . **^^-s que l'on peut avoir à

fuies riA -A ""fittie /

«« déjà obtenues ^§ ^ ' "^^ disant ; = 0, dans

^ï Cours dct JW -

o 4'îiruil **^33 ^^ Ï^E^I- Poisson , Cours de Méca-

'^*^i<i, 1844^' ^ ^'Ol^^^*^*-^*lUe, lithographie de Técolc * *•»&**. *^^"^*;), *'^'^iïn et divers auteurs (Aide-

loi. Solution de divers problèmes entre les portées, les vitesses initiales et les angles de projection. — Le but étant à hauteur de la bouche à feu. Lorsque le but est à hauteur de la bouche à feu , on a 7 = 0 ; appelant X la portée horizontale , Féquation de la trajectoire , après avoir divisé par X, deviendra,

0 == ung <?)—.-- — j-pf-)

d'où Ton lire

2A Vc'/* 28in2<î> Vc'/ ^ sin2<]> \c^ )

Puisque pour obtenir la même portée l'angle ou la vitesse de projection doivent être plus grands dans l'air que dans le vide, il s'ensuit que, sous des angles et des vitesses de projection égaux , la portée dans Pair est moindre que dans le vide ; on obtiendra cette portée au moyen de la table X (4^ colonne) et de l'équation ci-dessus mise sous la

forme 7 F f— j = -^ sin2<p ; on l'obtiendra en série par le

développement de Ff jj et par le retour des suites, ce

qui donnera, en appelant X' la portée dans le vide ou 2/isin29,

Durées. Sous des angles et des vitesses de projection égaux, les durées des trajets dans le vide et dans Pair

sont respectivement T' = et T = r^ F' 1^:7] ;

^ VC0B<|) VC0B<|> \2c'/ ^

et comme on a XF(p) = SAsinSç = X'5 on aura

i40 SECTION IV.

+ ctc.

Uc»/ '^2 2c''*"2.3 4c"'^2:3:4 8.c'^'^*''''

En comparant le numérateur et le dénominateur terme à terme, on voit que le premier est plus grand que le second ; par conséquent la durée du trajet est plus grande dans le vide que dans l'air ; le rapport de ces durées , déduit de Texpression ci - dessus , est 4 X 1 X» 4 X5 * + 42 7'+'48?^ + 36Ô?3 + ^**^-

Sommet de la trajectoire. Appelant ocf et y' les coordonnées du sommet de la trajectoire , observant qu^en ce point l'inclinaison est nulle on aura, en remplaçant les

fonctions F et F' par leurs expressions en e^' , les deux équations

• d^où l'on tire

x* z=z c'log^4-+--8m2<?))

y = x'(ung9+^^^)-caan6ç.

jéln^le de chute. Il y a entre l'angle de chute et l'angle de projection le rapport suivant, déduit de celui qui a déjà été donné (86)

— lange ^^l?) , , 4X 4 X^ , 4 X^ 4 X4

p ::s: «-_____ .4 — 4J-- — -A- -4- — -4- — —, '+• etc.

lang9 ^/Xx * — *^3 c'^48 c'>^270 c'3^3240 c'4^

102. Le but n étant pas à hauteur de la bouche à feu. Lorsque le point à battre n^est pas à hauteur de la bouche à feu 9 aei b étant les coordonnées de ce point, on a

h = atang^-

l'inconnue ,

en faisant - = tang s on aura , si la vitesse initiale est

4coB^<^(taog<}> — taoge) \d J

^ 2 cos'<f (tang <? — lang ej \ c/ / '

et par des transformations connues (16)

^ ^ a C08 e / a \ • / ag cos e / a \

JiaUï(jif-t)* cos<^ Vc'/ ^ 2sin(<^~s)*co8<^ \?J'

Si l'angle de projection 9 est Tinconnue y. on aura deux valeurs dont la plus petite seule peut être admise, et en

faisant = A', celle-ci sera ,

tang

103. Lorsque la trajectoire doit passer par deux points donnés dont les coordonnées sont a et b^ a! et b\ on tire la vitesse et Tangle de projection des deux équations qui doivent exister en même temps ,

lang<? = 5^ , langç • = — j— .

a 4A 008^9 ce 4/«co9'<|>

En divisant Tune par Taulre ou en retranchant Tune de Tautre membre à membre, on obtient respectivement

tang9 = ; ; el A = r Tf

puis

La table X (4*^ colonne) donnant les produits p*' (p)

rendra les calculs très -faciles.

Lorsque la trajectoire doit passer par un point donné dont les coordonnées sont a et 5 et faire en ce point un angle 9 avec Thorizon , on déduira la vitesse et l'angle de projection des deux équations suivantes

& = atang« — r- F ( - ) et UnsO = tangÇ — t-, r-F'(-:)>

qui doivent exister ensemble ; ou , en faisant - = tang e ,

lang<? — lange = et tang^ — tango = c .

4ftC0B'<|> 2« 008^9

Divisant Tun par Pautre et retranchant Tun de Tautre les membres de ces équations on obtiendra pour ç et pour h , puis pour V = \/2^A ,

2F'(-^)tange-F(^)langO

langc^ =

/♦cos""* lang£ — lang<|>

La table X (8** colonne), donnant les valeurs de 2F'(^)

— V(-\ rendra les calculs très-faciles.

Dans chacun de ces problèmes , on déterminera la durée et la vitesse du projectile , par les valeurs de ^ et de o données plus haut (101).

La solution des principaux problèmes qu'on peut se proposer dans le tir plongeant , se trouve ainsi très-facile dans Thypo thèse de la résistance de Tair proportionnelle au quarré de la vitesse du projectile ; mais il est nécessaire, comme on Ta dit, de déterminer la valeur de (/ pour chaque cas particulier, ce qui force à chercher, quand elles ne sont pas données , la vitesse initiale et la longueur du trajet , d'où dépend la vitesse moyenne , et par suite celle de A' et de (/. Cette méthode n'est pas sans inconvénients, à cause des opérations préliminaires qu'elle exige ; on trouvera préférable , en général , d'employer les formules directes (§1) qui ne demandent aucun calcul préparatoire.

104. Inexactitude de l'hypothèse dans le tir à grandes vitesses. La méthode que Ton vient d'indiquer, pour le cas des petites vitesses , des gros projectiles et des courtes distances, ne pourrait être appliquée, sans des erreurs notables , lorsque ces circonstances ne sont pas réunies ; tel est le tir des boulets aux grandes distances et avec les vitesses qu'on leur imprime ordinairement ; la vitesse du projectile varie trop rapidement , et le terme proportionnel au cube de la vitesse a une trop grande importance pour qu'on puisse ne considérer que le quarré delà vitesse. Ainsi, un boulet de 24 ayant 0'",1485 de diamètre, pesant 12^,01, et animé d'une vitesse initiale de 500" ', conserverait, d'après la loi de résistance de l'air que nous avons trouvée, aux distances de 500™, 1000", 1500'", 2000"^, des vitesses de 3G0™,

270™, Sia-», 169"». La valeur du coefficient i + '^ serait

respectivement 1,988, 1,882, 1,818, 1,768, et celle de A' qui doit multiplier tRV, devrait être respectivement aussi 0,0537, 0,0502, 0,0491 , 0,0472, et aller ainsi en diminuant. Il résulte de là que si , sans tenir compte de cette diminution, on voulait chercher les vitesses initiales qui , sous des angles observés , ont donné les portées de SOO'", 1000™, 1500™, 2000™, on devrait adopter le coefficient qui satisferait à l'observation d'une de ces portées , celle de 500™ par exemple , et qui donnerait une certaine vitesse ; cela reviendrait , puisque les coefficients relatifs aux autres portées devraient être plus petits , à supposer la résistance de Pair trop grande, et par conséquent conduirait à trouver des vitesses initiales d'autant plus grandes , que les portées ou que les angles de projection , dont elles sont déduites , sont plus considérables *.

Il résulte , de là , que les formules qui ont été données au § I , présentent à la fois et dans tous les cas , plus d'exactitude et plus de simplicité.

* Cest ce qui esl arrive presque constamment, notamment dans les expériences d^artillerie exécutées a Gavre, de 1830 h 1840, par ordre de M. le Ministre de la marine (Imprimerie royale , 1841) , dans celles de Toulouse , en 1833 , et dans celles de Valence , en 4843 (Archives du dépôt central de Tartillerie) *, c'est à tort qu^un en a conclu que la vitesse d*un boulet lancé avec des charges égales de poudre , augmentait avec l'angle de projection (Aide -Mémoire d'artillerie, 1844, page 430).

MOUVEMENT DES PROJECTILES ■M avnoBMXT lA nÈsanuKcm bb x,'air nmroBiamamam

AU Q1UBBB DB KA ▼RBHB SU MOmB.

Propriétés générales des trajectoires.

'' 105. Exposé. Les expériences qui ont été faites pour déterminer la loi de la résistance que Faîr fait éprouver aux projectiles en mouvement (sect. II) ^ ont montré que cette résistance peut être représentée par deux termes ^ respectivement proportionnels au quarré et an cube de la vitesse ; le second de ces termes a une valeur assez grande pour qu'aux vitesses dont sont généralement animés les boulets son influence ne soit pas moindre que celle du premier terme. Il n'est donc pas négligeable.

On a vu que quand les vitesses sont faibles ^ les distances peu considérables 9 les angles de tir peu élevés ^ et lorsqu'en même temps les projectiles sont de fort calibre , la vitesse éprouve peu de variation depuis le commencement du trajet jusqu'à la fin, et que Ton peut, avec une exactitude suffisante (99), représenter la résistance de Tair par un seul terme proportionnel au

quarré de la vitesse , à la condition cependant de déterminer le coefficient de cette résistance dans chaque cas particulier. Mais cette exactitude n'existe plus dans le cas du tir habituel des boulets sous de grandes vitesses initiales (io4). Il en est de même dans le cas des grands angles de projection ^ comme celui du tir des bombes, parce que Faction de la pesanteur sur le projectile se joignant à celle de la résistance de Fair pour en retarder la vitesse dans la branche ascendante ^ la vitesse varie beaucoup depuis le point de départ jusqu'au sommet de la courbe ; elle varie de même dans la branche descendante et la variation est d'autant plus grande que l'angle de projection est plus élevé au-dessus de l'horizon et que la vitesse initiale est plus considérable.

On ne peut donc pas dans ce cas regarder la résistance de Fair comme proportionnelle au quarré de la vitesse dans toute l'étendue de la trajectoire, même en adoptant un coefficient particulier pour chaque cas.

Or, c'est en se fondant sur cette loi que jusqu'à présent les géomètres ont traité le problème de la balistique. Les résultats de leurs savantes recherches deviennent par ces raisons moins susceptibles d'application ^ mais cependant , sous le rapport analytique sur tout, ils conservent encore leur valeur, à cause de l'analogie qu'ils présentent dans bien des cas avec les formules fondées sur une loi exacte ; aussi nous croyons devoir donner un résumé de ces travaux, pour compléter ce Tratté de balistique. D'ailleurs, quelques-uns d'entre eux, dus à une haute analyse, et encore manuscrits, présentent un grand intérêt, et plusieurs méthodes peuvent recevoir de nouveaux perfectionnements ; eu même temps les notations que nous avons adoptées et les tables que nous avons calculées , donnent à la plupart des résultats une forme plus simple et en rendent Fapplication beaucoup plus facile. 106. Diverses méthodes d'approximation. Les méthodes qu'ont employées les géomètres pour résoudre le problème de la balistique sont de trois espèces. Par les unes, on arrive à des relations exactes entre certaines quantités qui appartiennent à la trajectoire, et au moyen desquelles on peut arriver aux relations dont on a besoin en calculant numériquement les diverses parties de cette trajectoire. L'approximation peut être augmentée à volonté en

RÉSISTANCE PBOPORT. AU QUARRÉ DE LA VITESSE. ik7

multipliant le nombre des parties et les calculs numériques. Telle est la méthode des quadratures et la méthode d'Ëuler.

Par d'autres méthodes, on obtient les valeurs qu'on cherche en séries développées suivant les puissances des quantités données. Elles donnent une exactitude d'autant plus grande que les séries sont plus convergentes et qu'on emploie un plus grand nombre de termes. Ces méthodes ont été. successivement employées par Lambert 9 Borda , Tempelhof, et en dernier lieu par Français et quelques autres géomètres.

La troisième méthode consiste à remplacer les expressions qui se refusent à l'intégration par des expressions approchées qui soient intégrables, de façon qu'on arrive à des relations en termes finis entre les quantités que Ton a besoin de considérer ; les valeurs qu'on obtient ainsi ne sont qu'approchées et l'on n'est pas le maître d'augmenter à volonté le degré de l'approximation ; Fexcellence de la méthode dépend du choix plus ou moins heureux de l'expression introduite; celle-ci doit à la fois donner une exactitude suffisante à l'objet qu'on se propose et rendre les calculs assez faciles dans les applications numériques.

Telle est la méthode ingénieuse imaginée par Borda y dans laquelle est entré après lui Besout, et qui a été ensuite perfectionnée par Legendre et Français.

En exposant les résultats de ces recherches analytiques y nous indiquerons sommairement la marche des calculs ; quant à quelques démonstrations et aux développements , nous renvoyons aux ouvrages que nous citerons *. Pour qu'il soit plus facile de saisir les

^ Les ouvrages principaux qui ont traité de la balistique et dont nous rësnmons en partie les résultats, sont les suivants:

Recherches sur la véritable courbe que décrivent les corps jetés dans Tair ou dans un autre fluide quelconque, par Euler ; insérées dans rilistoire de FAcadémie royale des sciences et lettres de Berlin, année 1755, page 321 et suivantes.

Mémoire sur la résistance des fluides avec la solution du problème balistique, par Lambert; inséré dans les Mémoires de FAcadémie de Berlin pour 1767, page 102 k 188 , réimprimé au Journal des armes spéciales, 1845, avec des notes de M. Rieflel.

Sor la courbe décrite par les boulets et les bombes en ayant égard

iU8 SECTION V.

rapports que les résultats présentent entre eux ^ nous adopterons pour tous des notations communes et nous traduirons en conséquence les formules données par les divers auteurs.

Nous exposerons d*abord les propriétés générales de la trajectoire.

à la résistance de Tair, par le chevalier Borda ; inséré dans les Mémoires de TAcadémie des sciences de Paris , puar Tannée 1769 , réimprimé au Journal des armes spéciales, 1846.

Cours de mathématiques à Tusage du Corps royal de Tartillerie, tome ly, par Besont , de TAcadémie royale des sciences , année 1788. — Mouvement des projectiles , page 138 à 197 de Tédition de 1788 , et appendice.

Dissertation sur la question de balistique proposée par TAcadémie royale des sciences et belles -lettres de Prusse pour le prix de 1782 , par Legendre ; réimprimée au Journal des armes spéciales , 184î>.

Mémoire sur le problème balistique ou sur le mouvement d*un corps dans un milieu résistant en raison du quarré des vitesses , par M. de Tempelhof; inséré dans les Mémoires de TAcadémie de Berlin pour les années 1788 et 1789, page 216 à 299, ou le Bombardier prussien, par de Tempelhof, capitaine d'artillerie au service de Sa Majesté le roi de Prusse; Berlin, 1791.

Traité du mouvement des projectiles, appliqué aux bouches à feu

par J. L. Lombard^ professeur aux Ecoles d'artillerie d'Auxonne, 1796.

Mémoire sur la théorie du mouvement des projectiles dans les milieux

résistants, par le capitaine Moreau; inséré dans le Journal de TEcole

polytechnique, 11® cahier, 1802.

Recherches sur le mouvement des projectiles dans les milieux résistants , par F. Français , professeur de mathématique k l'Ecole d'artillerie de La Fère; an XIII; ouvrage manuscrit appartenant k la bi~ bliothèque de l'Ecole d'application de l'artillerie et du génie , k Metz , et dont copie a été adressée k l'Institut de France.

Balistique. — Indication de quelques expériences propres k compléter^ la théorie du mouvement des projectiles de l'artillerie, précédée de l'analyse nécessaire , par A. M. d'Obenheim , professeur de mathématiques k l'Ecole d'artillerie de Strasbourg , 1814.

Traité de mécanique, par S. D« Poisson. — Mouvement des projectiles dans le vide et dans un milieu résistant.

Cours de balistique k l'usage des élèves de l'Ecole d'application de l'artillerie et du génie , par M. Persy, professeur ; lithographie de l'Ecole d'application, octobre 1833.

107. Notations , propriétés générales de la trajectoire. Soit 0 le poini de départ du projectile ^ V sa vitesse initiale suivant OA (Fig. i5)y ^ Fangle de projection au-dessus du plan horizontal ^ h la hauteur due à cette vitesse ^ P le poids du projectile , R son rayon 9 D sa densité ou le poids de l'unité de volume de ce projectile ^ a? et y Fahscisse et l'ordonnée d'un point quelconque M de la trajectoire ; soit s la longueur de l'arc OM^ t le temps employé à le parcourir^ ç la vitesse au point M ^ js la hauteur due à cette vitesse j e Tînclinaison de l'élément de la trajectoire ou de la direction du mouvement du projectile arrivé en ce point; nous

du dx du

ferons prr-—, on aura donc |) = tang6. cosOss — , sinO = -r

dx ds ds

et p:^-7 ; soit encore g la pesanteur ou la vitesse acqmse par un dt

corps après la première seconde de sa chute dans le vide, La

résistance p sera représentée par ns^^'j dans cette expression

n = A«»R* (5i) 5 on a aussi A = —, 5 étant la densité de

l'air et A; un coefficient déterminé par l'expérience. La masse du

P mobile étant - , la force retardatrice ^ due à la résistance de

1 air sera p — ou ~ <* en faisant 2c = — = •■ = = -rr- .

^ g "le ng A<arR'^ 3 AS

Note sur la formule employée par Lombard , pour le tir de bat en blanc et pour la formation des tables de tir, par M. Bellencontre , lieutenant-colonel dVtillerie. — Voir ansai l'Âide-Mëmoire d!artillerie de iSU , page 642.

Formules balistiques et tables de tir, par M. Ghiniac, chef d'escadron d^artillerie. — Yoir aussi rAide-Mëmoire d^artillerie de 1844 y page 642.

Tables balistiques gënërales et tbëorie matbëmatique du tir à ricochet, par Otto, traduit de rallemand par M. Rieffel, et Journal des armes spéciales, année 1844.

Mémoire sur la trajectoire des projectiles de lartillerie , par le comte de Graswenilz , traduit de Tallemand par M. Rieffel , «t Journal des armes spéciales, 1844.

dx ' p* dx

En partant des deux équations du mouvement <^T'= — o" T ^^

du V* dy

et d-- = — r T ^^ — 9^^ faisant dy:=pdxy et supposant dt 2c ds

dx constant , ces équations deviendront comme on l'a fait voir

(55, éq. 1 et a)

(a) dxdp = — ^rf/» et cd'p = dpds. (Jb)

La seconde de ces équations est celle de la trajectoire , la première donnera la vitesse et le temps du mouvement. La densité de

Tair et par conséquent - étant constants, l'équation cd*p^=zdpds

aura pour intégrale 7- = Bc** dx

Pour déterminer la constante B , on prendra l'équation dp dt^

dpdx = — gdi^ qui donne t" = — 9~ri 7 c* conmae au point

dx de projection la vitesse horizontale est — -=Vcos<ï>, on aura

donc

dx 2Acos'<)»'

on aura aussi , en divisant membre à membre avec l'équation (a)

dx* « . « - ACOS'^ -- CO8O -r-

-rr =2ûfAcoB*<?e* on a= r— c " et j; = V -c 2e.

rf/' ' coB*e CO86

Le second membre de l'équation (i) qu'on vient de trouver étant multiplié par ds et le premier l'étant par la quantité égale dicV i +p*, on aura « — c'n^ = 2A 008* ^ dp VT+p,

d où en intégrant et en appelant ? (6) l'intégrale fdxV 1 + p^

RÉSISTANCE PROPORT. AV QUARRÉ DE LA VITESSE. i51

= ipV/7+7* + il*g (P + V^i +!?')> laquelle (66) changera de signe dans la branche descendante ^ où p et tango sont négatifs, on aara

(2) — e* = — co8«<|>[f(e) — C].

La constante — C est déterminée par la condition qu'à Torigine du mouvement on ait « = 0 et 0 = <p, on aura donc

Ainsi la trajectoire a pour équation

Si le mouvement avait lieu dans le vide^ il faudrait faire -= o^

et on aurait, comme on sait, une parabole. En mettant l'équation précédente sous la forme

«*-.i 2Acos^

TiH9)-mh

remarquant que pour - = 0 le premier membre, d'après son

développement connu (60), se réduit à l'unité, et en nommant

$* l'arc correspondant de la parabole, on aura

on aura donc

/ = 4+i oa f = log(l + -), c c \ c /

relation très-remarquable entre les deux arcs s de la trajectoire et s' de la parabole qui se terminent en deux points dont les inclinaisons sont respectivement égales.