VALEURS DES FONCTIONS H

de Legendre.

de Français.

de Legendre.

de Françaia.

infiai.

Les valeurs minima des fonctions de Legendre et de Français ont lieu respectivement pour 9 = 3i^ ^5' 54" et pour (p = 3i® 43' 3", et sont respectivement 0,985188 et 0,994 4 "2. On voit par là que dans Tintervalle de 0® à 45'* la première diffère de lunité de jy, et la seconde de ■— seulement. Au-delà de 4^**? ^^i fonction de Legendre va en augmentant jusquà rinfini, celle de Français ne dépasse pas lunité dfc plus de |. Celle-ci l'emporte donc sur la première pour Fexactitude , et elle marche de pair avec elle pour la simplicité.

139. Modification proposée. Les formules de Legendre et de Français sont encore susceptii>les d*un peu plus d'exactitude. En effet, les valeurs de a et de a de ces formules étant déterminées de façon que la densité supposée soit égale à la densité réelle au point de départ et au sommet , il en résulte que dans tout le cours de la trajectoire, la densité supposée est inférieure à la densité véritable de quantités dont le maximum a été

respectivement de jj et

or, si on prend la moyenne de

toutes les valeurs calculées de 5^ en 5^, on trouve^ d après le tableau qui précède, 0,9981 35 pour les premières et 0,997899

kjSsistatïce p&oport. au qvarrjS de la vitesse. 19S

pour les secondes.; ces quantités correspondent à une valeur du tableau, comprise respectivement entre 4o® et 45® et entre iS** et 20** 5 elles seraient environ 4 1* i et 17®; si donc on déterminait « et a par la condition q^ie la densité supposée s'accordât avec la densité réelle pour les valeurs correspondantes de py la valeur moyenne de la fonction serait ramenée h très-peu près à Tunité , et les plus grandes différences ne seraient plus que d'environ la moitié de ce qu'elles sont respectivement dans les méthodes de Legendre et de Français. Ces deux méthodes gagneraient ainsi en approximation.

140. D'après ce qu'on vient d'exposer , les recherches des géomètres sur la loi du mouvement des projectiles dans la supposition que la résistance de l'air est proportionnelle au quarré deja vitesse, paraîtront sans doute assez complètes; si elles n'ont pas amené à des formules à la fois simples et exactes dans le cas général , cela tient à la nature même de la question et il ne parait pas possible , au moins dans l'état actuel de l'analyse , d'arriver à une équation finie de la trajectoire, ni à l'expression semblable des principales relations dont on aurait besoin. Cependant y les méthodes d'approximations qu'on possède seraient assez exactes pour qu'on puisse s'en contenter dans les applications les plus précises y si ce n'était encore la longueur des calculs numériques. Mais, si ces recherches n'ont pas présenté jusqu'à présent l'accord désirable avec les résultats de l'expérience, ce n'est pa» dans les formules qu'il faut en chercher la cause } elle gît plutôt dans l'hypothèse de la proportionnalité de la résistance de l'air au qoarré de la vitesse , hypothèse dont l'inexaetitude est bien démontrée maintenant (section II et art. io4)*

TRACB DES TRAJECTOIRES

Tracé des trigeetoires.

ikl. Trajectoires des bombes . Lorsqu'un point ma^ tériel) par Taction de forces motrices quelconques auxquelles il est soumis, décrit une courbe dans l'espace, on peut le considérer à chaque instant comme se mouvant suivant Parc de cercle osculateur de la courbe en ce point ; et la composante des forces motrices, prise suivant le rayon , qui est la force infléchissante , est égale à la force centrifuge qui résulte de la vitesse du point matériel et du rayon du cercle osculateur à cet instant. Si V est la vitesse

P du point matériel, P son poids, - sa masse, ^ représentant la gravité , y le rayon du cercle osculateur ; la

TRACi DEâ TRAHSCTOlREg. d97

force centrifuge sera , et si ^ représente la composante des forces motrices suivant le rayon , on aura

PV; ^^ =£I1=2A?.

en représentant par h la hauteur r- due à la vitesse Y.

La longueur du rayon de courbure en un point étant connue et sa direction devant être perpendiculaire à la tangente à la trajectoire , ou à la direction du mouvement du mobile en ce point ^ on aura la position du centre de l'arc osculateur, et on pourra décrire cet arc et avoir ainsi le chemin que parcourt le mobile dans le premier instant.

La composante des forces motrices, prise suivant la tangente , a pour effet de retarder ou d^accélérer la vitesse du mobile suivant le sens dans lequel elle agit.

Appliquons au tracé d'une trajectoire les principes qui viennent d^étre rappelés*.

Soit 0 (Fig. 18) le point de départ, OA la ligne de projection du mobile considéré comme un point matériel relativement aux dimensions de la courbe qu^il parcourt , 9 Tangle qu'elle fait avec l'horizontale OB, Y la vitesse initiale du projectile; soit toujours ^ la pesanteur, h la hauteur due à la vitesse V, P le poids du projectile, SR son diamètre.

Si au point 0 on élève à OA une perpendiculaire OC, on aura la direction du rayon du cercle osculateur.

Les forces motrices qui agissent sur le mobile sont : la

* H. Poncelet a indiqué Tapplication dfl ce principe an tracé de la trajectoire d*an projectile, dans les leçons de Mécaniqne indaslrielle qa*il a faites k Mets en 1828 et 1899 (lithographiées à MeU, 1829, deaiîème partie, page 55).

pesanteur, dirigée de haut en bas suivant la verticale, et la résistance de Tair qui agit sur le mobile suivant la direction OA du mouvement, par conséquent suivant la tangente à la trajectoire et dans le sens opposé à celui de ce mouvement, c'est-à-dire de A vers 0.

Soit pris, suivant la verticale, la longueur OD pour représenter le poids P, menons DF parallèle et DK perpendiculaire â la tangente OA, OF sera la composante q suivant le rayon du cercle osculateur. La résistance de Pair étant dirigée suivant la tangente OA , sa composante suivant le rayon OC est nulle, de sorte que q seul doit être égal à la force centrifuge et on aura

y= ou y = 2A-.

Prenons OL = 2A et par le point L menons Tborizontale LC , le point G où elle rencontre le rayon sera le centre du cercle osculateur cherché ; en effet les deux triangles OLC et ODF étant rectangles ei ayant Tangle 0 commun sont semblables et on a

0C = 0Lx^=2A£ = y;

maintenant, si du point C comme centre, avec un rayon OC, on décrit un arc de cercle , on aura la courbe que suivra le mobile dans le premier instant.

Dans le tnijet, le mobile est soumis à Teffet de la résistance de l'air qui diminue sa vitesse. Soit t un temps très -court au bout duquel on veut avoir la position du mobile ; au moyen des formules du mouvement des projectiles abstraction £ute de la pesanteur (94) , on déterminera Tespace s parcouru en vertu de la vitesse initiale y et la vitesse ç que conservera le mobile ; mais , pendant ce même temps, la pesanteur aurait communiqué au corps,

TRACÉ DBS TRAJECTOIRES. 199

abstraction faite de la résistance de i*air, une vitesse égale à gt dont la composante suivant la tangente à la trajectoire est gt sin ^ \ de sorte que la vitesse du mobile , après le temps t^ sera 9 — ^fsinç, que nous représenterons par ¥'•

Si la pesanteur eût agi seule elle eût de même fait parcourir au mobile un cbemin égal à } gf^ suivant la verticale et égal à -^^^""sin^ suivant la trajectoire.

Cela fait, on portera sur lare de cercle, de 0 en 0', une longueur égale ks — ^^f'sincp; le point 0' sera la position du projectile après un temps t \ la vitesse sera Y', la direction du rayon osculateur O'C ; la tangente sera O'A' perpendiculaire à O'C,

On évitera le calcul de ^^sin^ et de ^^^'sin^ en prenant sur OD des longueurs qui représentent gt et ^gf^^ et en les projetant sur OK, ou en mesurant la distance de Textrémité de ces lignes au rayon OC.

On opérera au point 0' comme on Ta fait au point de départ 0 \ on prendra sur la verticale une longueur O'L'

= hl =1 —^ on tiacera Thorizontale VG 5 du point G

comme centre, on décrira Tare de cercle O'O", égal à s^ — {^f'sin 9', décrit en vertu de la vitesse V pendant le temps t\ la vitesse au point 0" sera égale à V — ^^sinç'; 9' étant Tinclinaison de la trajectoire au poi'nt 0'.

On opérera de même à partir du point 0^' et ainsi de «uite pour des intervales de temps consécutifs t égaux ou inégaux, jusqu'à ce que la tangente à la trajectoire soit devenue horizontale , ce qui comprendra toute la branche ascendante; on continuera de même pour la branche descendante, jusqu'à ce que la trajectoire ait coupé la ligne horizontale OB ou toute autre ligne à laquelle devra se terminer le trajet du projectile. On aura de cette manière pour chacun des points considérés 0', 0", 0'",.... , la

vitesse du mobile , la durée du trajet , rinclinaison de la trajectoire ; on aura ces valeurs par interpolation pour les points intermédiaires. La trajectoire du mobile pourra donc être regardée comme entièrement déterminée dans les limites du tracé.

442. Modification gui donne plus d'exactitude dans le tracé. Pour que le tracé qu^on vient de donner soit exact, il faut que la durée ty dont la grandeur est arbitraire, ne soit pas trop grande; autrement, la vitesse du projectile variant pendant la durée du trajet, le long

de Tare que l'on décrit des points C, C, G\

comme centres, le rayon du cercle osculateur devrait changer lui-même avec cette vitesse. On peut tenir compte de cette variation, au moins approximativement. Pour cela, quand on a obtenu après le temps t , la vitesse finale Y, les composantes ^fsin<^ et {gt"* sinç, on considérera Tare comme parcouru en vertu de la vitesse moyenne i (V -*- V) ; on prendra la valeur de h et par suite le rayon de courbure qui y correspondent. De même , la valeur de cp dans les composantes gts\VL<^ et ~gt*sm(p sera remplacée par la valeur moyenne {(^-f-^') 5 c^est-à-dire qu'au lieu de considérer la tangente au point de départ 0 , on considérera la corde qui joint les points 0, 0',... la quelle est sensiblement parallèle à la tangente moyenne. On opérera de même pour les points suivants. Pour ceux-ci, la différence entre les résultats successifs déjà obtenus permettra généralement de déterminer très-approximativement et par une seule opération, la vitesse moyenne à employer pour obtenir le rayon de courbure ; îl en sera de même pour les valeurs de ^^sin^ et de -J-^^'sinç. Par ce moyen on pourra prendre la valeur de t , égale à une demi-seconde ; on pourra la prendre d'une seconde quand Técheile du dessin ne sera pas très-grande. Les durées que Ton prend ainsi restant constantes , celles de gt et de y^f ' le sont aussi ; elles peuvent être portées

TRACÉS DES TRAJECTOIftBS. SOI

une fois pour toutes de 0 en D et de 0 en e/, alors ges\n(p^ ^ts\n(i/y,.. et ^ffe^sin^, -^^'sin ^',.... sont donnés par des perpendiculaires comme DF, df au rajoH du cercle osculateur, ou, sans qu'il soit besoin de les tracer, par une simple ouverture de compas.

La formule qui donne Fétendue du trajet en fonction de la durée est plus compliquée que celle qui donne la durée en fonction de la longueur du trajet. Pour rendre moins ] longs les calculs numériques , on peut se donner la vitesse à la fin d'un trajet de peu d^étendue qui doit être décrit avec un même rayon, chercher le rayon de courbure correspondant à la vitesse moyenne \ (V -f- V) , déterminer^rétendtie x et la durée t du trajet , dans Fhypothèse du mouvement rectiligne (94, éq. 24 et 28) ; déterminer ensuite les composantes ^e sin |^(^ -4- ^') j |^^' sin|^ (jp -*- ç') ; corriger la vitesse finale et l'étendue du trajet , pour avoir ainsi l'extrémité du premier arc décrit avec le rayon y. Continuer de même pour les arcs suivants. Il est encore mieux de se donner la longueur x du trajet ; d'en déduire le temps écoulé t et la vitesse à la fin (94, éq. 22 et 23, et tab. XII et XIY), déterminer la hauteur h correspondante à la vitesse moyenne i (V 4- c) , décrire l'arc , déterminer ^f sin^ (9 -f- 9') et \çt^ sin J- (9 -4- 9') , retrancher la pretniére de c pour avoir V et la seconde de x pour avoir la longueur de Tare. Dans ces deux cas ^i et ^fft^ n'étant plus constants, les produits par siny(^ + ^) ne sont plus aussi faciles à obtenir. Dans tous les cas, les longueurs des arcs doivent être portées par des ouvertures de compas assez petites pour que les arcs et les cordes ne difi^érent pas sensiblement. On simplifiera les opérations en calculant une petito table des vitesses ef des durées, suivant les trajets du projectile donné..

143. Tracé dans le cas de faible courbure. Lorsque la vitesse des projectiles est grande , ou que la direction

de leur moBTement s'éloigne beaucoup de rbomoiktale, le rayon de couribure de la trajectoire est très-grand, et il devient difficile de tracer les arcs de* cercle successifs comme éléments de la trajectoire ; c'est ce qui aurait lieu pour les obus et les boulets animés des grandes vitesses qu'on leur imprime dans le tir sous de petits angles audessus de rborizon , ou , pour les bombes , dans la partie de la trajectoire éloignée du sommet , et qui se rapprocbe de la verticale. Dans des cas semblabes , il convient de tracer la trajectoire par points comme on va l'indiquer.

Soient 0 (Fig. 49) un point de la trajectoire, OP la ligne de projection ou la direction du mouvement du projectile , Y sa vitesse. On calcule quel sera , après un temps très -court f , l'espace parcouru s et la vitesse du mobile v ; on prend OD = ^e et od == {^/' : on mesure d'^après le tracé la composante OL ou DF prise parallèlement à OA ou perpendiculairement au rayon du cercle osculateur, et qui sont DF=^^sin^ et d/'z=^pe^sin(?i on les retranche des quantités déjà trouvées, si le projectile s'élève ; on les ajoute si le projectile s'abaisse audessous de rborizon. On aura ainsi s — :^^^'sin9 pour l'espace parcouru suivant la direction du mouvement^ et on la portera de 0 en A; on aura de même (>— ^^ sinç pour la yitesse restante Y'. Mais, pendant le temps i et par l'efiTet de la pesanteur, le projectile se serait abaissé de {fft''^ si donc par le point A on mène une verticale AO' = Od = ^fft^y on aura la position 0' du projectile après le temps f.

Sans connaître le rayon de l'arc de cercle , et sans qu^il soit nécessaire de le tracer , on sait qu'il doit être tangent à OP au point 0 , et comme en même temps il doit passer par le point 0', 00' sera la corde du premier arcj si on divise cette corde en deux parties égales par une perpendiculaire, celle-ci coupera OA en M; si on joint ce

rtLkCà DES T&AJfiCTOIItES. 203

point et le point 0', MO'A' sera la taiigente et la direction du mouvement au point 0' après le temps /; la vitesse Vest déjà connue et égale à i> — ^^sinç.

A partir du point 0' on opérera comme on vient de le dire , en continuant ainsi , on aura une suite de points 0, 0', 0"..., la direction des tangentes et la vitesse en ces points , et par conséquent tout ce qu'il faut pour tracer la trajectoire.

Afin que Topération soit plus exacte y après une première opération au point 0, on calculera Fespace parcouru et la vitesse perdue en vertu de la vitesse moyenne, et les composantes de la pesanteur relatives à Finclinaison moyenne ; mais pour les autres positions , on rendra Topération moins longue en déduisant à Favance ces moyennes par les différences entre les résultats successifs déjà calculés ; de cette manière , une seule opération suffira pour chaque point.

De ce que les durées et les espaces OA , O'A' doivent être petits , la grandeur AO' étant petite aussi , il en résulte qu^une très-faible erreur sur ces longueurs en produirait une beaucoup plus sensible sur la direction de la tangente HO'. Pour éviter ces erreurs, on portera sur OP une quantité égale à un certain nombre de fois OA, et on prendra sur la verticale menée par Fextrémité de cette ligne un pareil nombre de fois la valeur de |^^' ; on continuera le tracé et on aura une h'gne à laquelle on mènera par le point O' une parallèle qui sera la direction du mouvement en ce point.

Pour tracer l'arc entre deux points 0, 0', on pourra employer une régie ployante; mais on obtiendra trèsapproximativement un nombre n de points intermédiaires aussi grand qu^on voudra, par le procédé suivant : on divisera OA (Fig. tO) en n parties égales OA, , A,A^, A,Aj.... et AO' en n* parties aussi égales entre elles. On prendra 1%

204 fLCTÏOH Tî.

2' OU 4, 3^ oa 9.... de ces parties qu'on portera de A, en M, , de A^ en M,, de A^ en Mj.... ; les points M, , M^ , H3 appartiendront à la parabole osculatrice en 0 qui passerait par le point 0^

Hi, Propriétés générales des trajectoires* Sommet j minimum de la vitesse et du rayon de courbure. Le Iracé de la trajectoire d'une bombe permet de reconnaître dans ces courbes plusieurs propriétés qui ont déjà été indiquées (63 et 65, 109 et 110} , et de déterminer les points particuliers qui en jouissent.

Considérons la figure 21 qui représente la trajectoire d'une bombe de 0"*,22 , projetée sous l'angle de 45^ avec une vitesse initiale de 120"*'% en prenant des intervalles de temps constants égaux à une demi -seconde, et dans laquelle on a conservé les notations de la figure 18 (141). - La courbe C, C, C..., qui passe par les centres des cercles osculateurs représente la développée de la trajec-toire 0, 0', O''.,..; elle a en C, un point de rebroussement qui correspond au maximum de courbure. Le rayon de courbure le plus petit passe par ce point, et il est tangent aux deux branches de la développée.

Si on mène une ligne verticale ST tangente à la développée au point T, le point S où elle coupera la trajectoire sera le sommet de cette courbe \ l'ordonnée SP donnera la plus grande hauteur du jet. On obtiendrait également cette hauteur en traçant une horizontale tangente à la trajectoire ; mais le point de tangence étant difficile à apprécier exactement, Tabscisse du sommet serait déterminée d'une manière moins précise.

Les vitesses en chacun des points O', 0'', O"'.... ont été déterminées à des intervalles de temps égaux pour le tracé de la trajectoire ; on peut donc reconnaître la position de Tare sur lequel se trouve le point où la vitesse est un minimum ; on obtient également ce point par la comparaison

des valeurs de 2à représentées par les lignes OL, O'L', 0"L"..,. Si on mène des tangentes à la trajectoire et à la courbe L, U, L''.,.., les deux points 0,, L, sur la même verticale, qui jouiront de la propriété de donner deux tangentes parallèles , seront ceux où les deux courbes sont le moins éloignées ; la longueur 0,L, donnera la plus petite valeur de 2A , et par suite celle de Y qui est un minimum. On peut reconnaître que le point 0; où la vitesse est un minimum y est plus éloigné du sommet S que le point où le rayon de courbure est un minimum (110).

La trajectoire, dans la partie qui est au-dessous de Vhorizontale passant par le point de départ, et où les rayons de courbure sont très -grands, a été tracée par points au moyen du second des procédés indiqués (143).

14S. ^application du tracé au jet des bombes. Au moyen du tracé qui vient d*ètre indiqué pour la trajectoire des bombes , et connaissant la vitesse initiale et Tangle de . projection , on pourra déterminer la portée du projectile , l'angle de chute, la durée du trajet et la vitesse finale, soit sur une ligne horizontale , soit sur toute autre ligne déterminée de position, pour le cas particulier qu'on a traité. En exécutant sur le même dessin un certain nombre do tracés semblables pour un même projectile sous le plus grand angle de projection en usage, et avec des vitesses variées , depuis celles qui donnent les plus petites portées que Ton veut considérer , jusqu'à celles qui donnent les plus grandes charges de poudre, et que l'on emploie avec les bouches à feu , on pourra résoudre tous les problèmes qui seraient proposés; cela aura lieu, soit que l'une des courbes satisfasse exactement aux conditions du problème, soit qu^on doive opérer par l'interpolation d^une courbe entre deux courbes voisines. Ce tracé s'applique particulièrement au jet des bombes, et pourra être limité aux angles de tir de GQ'' et aux vitesses que donnent les

206 SBCTION YI.

charges de poudre qui remplissent la chambre des mor-^ tiers.

Si Ton se proposait, par exemple , de déterminer Pangle de plus grande portée pour une vitesse donnée, on déterminerait sur chacune des trajectoires le point où la vitesse est égale à la vitesse donnée; on mesurerait la portée horizontale correspondante 5 on opérerait de même pour les diverses courbes 0 ; on reconnaîtrait la portée qui est la plus grande, et on mesurerait Tînclinaison de la trajectoire au point de départ ; on aurait ainsi Tinclinaison cherchée pour la vitesse donnée.

Comme le maximum cherché peut se trouver entre deux des trajectoires tracées , on obtiendra le maximum demandé avec plus de précision par le tracé d'une courbe auxiliaire , en prenant pour abscisses les inclinaisons de la trajectoire aux divers points où la vitesse est égale à la vitesse proposée , et pour ordonnées les portées correspondantes ; l'ordonnée du sommet de cette courbe donnera la portée maximum , et Tabscisse l'inclinaison sous laquelle on peut Tobtenir,

La solution d^un problème sur le jet des bombes peut paraître longue , lorsquMl faut effectuer le tracé de la trajectoire pour chaque cas; mais, pour les projectiles en usage dans le service de rArtîllerie , le nombre des tracés à effectuer est peu considérable , si Ton considère surtout qu'ils sont limités aux angles de 50° à 60"*, et qu'ils sont plus généralement relatif à Tangle de 4S°. Ces problèmes pourraient donc être rendus très -faciles à résoudre au moyen d'un certain nombre de trajectoires tracées une fois pour toutes.

146. Tracé des trajectoires sous les petits angles de projection. Le tracé des trajectoires au moyen des arcs osculateurs consécutifs est très- convenable pour le cas du tir des bombes sous de très-grands angles et avec de faibles

TBACé DES TfUJJBCTOIBES. 207

vitesses , cas dans lequel la grandeur des rayons est eom-« parable aux portées et aux dimensions du papier sur lequel doit se faire le tracé. Mais la trajectoire d^un boulet ou d'un obus lancé sous un petit angle de projection au-dessus de l'horizon, et avec la vitesse susceptible de donner les portées habituelles) étant par cela même très -aplatie^ et ajant par suite de très-grands rayons de courbure , présente beaucoup de difficultés dans l'exécution à une échelle convenable. On peut bien déterminer divers points de la trajectoire les uns d'après les autres , comme on l'a indiqué (143); mais, de même qu'on arrive par des moyens analytiques à une équation finie de la trajectoire, on peut aussi déterminer directement par le tracé autant de points qu'on veut de cette courbe.

Soient (Fig, 22) 0 le point de départ, OB la ligne de projection faisant un angle 9 avec l'horizontale OA, et h la hauteur due à la vitesse initiale Y \ x étant Tabscisse d'un point , Tordonnée 7 de la trajecloke sera déterminée par l'équation

La valeur de c qui dépend de la densité de Tair, du

diamètre et du poids du projectile , étant déterminée , on

X V connaîtra - et — ' soit par le calcul numérique , soit par

le tracé qui sera indiqué plus loin, et on déterminera la valeur de 4(^> V,).

Soit 0D = â7; si au point D on élève une perpendiculaire à rhorizontale OA, la portion DF comprise entre cette horizontale et la ligne de projection OB sera x tangç et représentera la hauteur à laquelle se serait élevé le projectile sans l'effet de la pesanteur. Le second terme de la valeur de /, ou l'abaissement du projectile j>eut être

mis sous la forme

c'est une quatrième proportiomielle aux trois quantités 4/rcos<p, et a:4f^î V,).

Pour ne pas avoir à tracer des lignes trop longues^ prenons sur OA une certaine fraction de kh , le cinquième

par exemple, c'est-à-dire, prenons OC=-r; si par le

point C on abaisse une perpendiculaire CG sur OA, on aura OG = ^cos^; puisque OD = a:, et que DF est

perpendiculaire à OB, on a DF = . Pour avoir ^

X'^'Çx^ V,), prenons sur une ligne quelconque passant par le point 0 , sur la verticale par exemple, une quantité OK égale à une unité de longueur et OL = 4 («a?, V,) ; traçons DK et par le point L menons une ligne parallèle à KD , elle coupera OB en M, et on aura la proportion

OK : OD ;; OL ; om, d^où

OD'OL OM = -jjg- = xHx, V,).

Joignons GM et par le point F menons la parallèle FN , on aura

OG ; OM ;: OF : on, d'oi\

ON = = b—l ,

OG Aheos^

c'est cinq fois l'abaissement cherché; prenons-en le cin* quième et portons-le de F eu P , le point P sera le point cherché de la trajectoire. En opérant de même pour d'autres distances , on aura autant de points qu'on voudra

TRACB DES TRAJECTOIRES. »209

de la trajectoire du projectile, et en faisant passer nne courbe continue par ces divers points y on aura la trajectoire tracée à l'échelle qu'on aura adoptée.

La figure 22 représente le tracé de la trajectoire d^un obus de 0",22 projeté sous l'angle de 16*^ avec une vitesse de ikk^* On a fait la construction pour des points distants de 100« en 100"*.

147. Simplifications. Plusieurs simplificatiilis peuvent être apportées dans Fexécution du tracé.

Pour prendre facilement le cinquième des abaissements trouvés , on prendra 01 égal à cinq fois une quantité quelconque ; du point I comme centre avec un rayon IJ

égal à une fois cette quantité ou -^ , on tracera un arc

de cercle auquel on mènera une tangente par le point 0. Cela fait, au lieu de prendre le cinquième de la ligne OD, il suffira de mesurer la distance du point D à la ligne 01 9 ce qui se fera facilement avec le compas sans tracer aucune ligne.

On pourra construire les ordonnées à une échelle plus grande que les abscisses , afin de rendre la loi des abaissements plus sensible, ce qui sera particulièrement utile dans le cas du tir des projectiles avec de grandes vitesses sous de petits angles de projection. Ainsi, si Ton adopte pour le rapport le même nombre S qu'on a pris pour le rapport de kh , on prendra DF' = 5DF et on tracera OF' ; c'est à partir de cette ligne qu'on portera les abaissements FV = ON tels qu'on les trouvera ; on opérera de même pour les autres points, et on aura une trajectoire dont les ordonnées seront à une échelle cinq fois plus grande que les abscisses. Lorsqu'on voudra mesurer les inclinaisons, on devra le faire par le nmyen des tangentes trigonométriques estimées à Téchelle des ordonnées, le rayon devant l'être à celle des abscisses.

Lorsque Tangle de projeclion sera petit , les lignes de construction du tracé couperont l'horizontale OB sous des angles très - aigus , et il pourra rester de l'incertitude sur les grandeurs cherchées. Pour éviter cet inconvénient , on tracera une ligne auxiliaire faisant avec Phorizontale un angle suffisamment ouvert ^ et on y portera, à partir du

point 0 , les distances représentées par OF, ainsi que

la grandeur OG = h cos ^. On pourra se servir pour cela de la ligne OF' à laquelle sont rapporté's les abaissements pris à une échelle multiple de celle des abscisses. Le tracé pourra donner avec une grande facilité les valeurs

de -5 pour cela on prendra OQ = c; on élèvera au

point Q une perpendiculaire sur laquelle on prendra QR = 1 , et on joindra OR ; la partie DD' de la verticale passant par les divers points, tels que D compris entre cette ligne et l'horizontale OA, représentera à la même

échelle que QR , pris pour unité , les rapports - .

On aura aussi facilement — ^ . Pour cela , soit pris sur

la ligne de projection à une échelle quelconque OS = V, et soit abaissée la verticale 88,5 OS, sera égal à OS cos ^ = V, 5 soit pris encore à la même échelle OT = r , élevons la perpendiculaire TU = i 5 menons OU 5 la partie S,Z

de la verticale limitée à cette ligne sera - • Â Taide d'un

double -décimètre divisé en millimètres et en prenant un ou deux décimètres pour unité, les opérations que l'on vient de décrire deviennent très-faciles et assez exactes.

148., Tracé de la trajectoire pour des points équidistants. Lorsque les distances des points de la trajectoire qu'on se propose de tracer sont arbitraires, et lorsqu^on est maître de prendre des intervalles réguliers égaux , on

TRACÉ DES THâJECTOIRES. 2il

peut exécuter le tracé avec plus de facilité. Pour cela^ on remarquera que les abaissements dans le vide exprimés

par j- — j- croissent proportionnellement à a?', ou comme

les quarrés 1, 4, 9, 16,... des abscisses qui croîtraient comme la suite naturelle des nombres 1, 2, 3, ky..., et que par conséquent de Tun des abaissements on déduira facilement les autres au moyen des lignes proportionnelles. Les abaissements dans l'air seront d'ailleurs égaux au produit des précédents par les fonctions 4(^5 V,)*

Soit proposé de déterminer (Fig. 25) les points de la trajectoire dont les abscisses sont lOO"", 200"», 300°",.... Soient OÀ la ligne de projection , OB Thorizontale passant par le point de départ ; prenons sur cette ligne les points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, distants de 100" entre eux, et OC = A. Abaissons sur OA la perpendiculaire CG; soit OD l'une des distances, celle de SOC" par

exemple; déterminons ,,' , ou rr— ^5 P^^r cela, joi-

gnons DC, et par le point F où la verticale qui passe par le point D coupe la ligne de projection OA , menons FN parallèle à GD ; prenons le quart de ON , et portons-le de F en p] p sera le point de la trajectoire dans le vide à 800°* de 0. Si la ligne Fp était facilement divisible en un nombre de parties égales au quarré da 8, nombre des intervalles égaux que Ton considère, on opérerait directement cette division ; mais comme cela ne pourrait se présenter que par hasard, prenons un rayon plus grand que ¥p et égal au nombre 64 , quarré de 8 , des divisions d^une régie divisée et décrivons un arc de cercle ; par le point p menons une parallèle à OA ; elle coupera Tare de cercle en ç ; menons la droite F7 , et portons sur cette ligne les nombres 1, 4, 9^ 16, 25,

36, 49, 64, 81, 100 des divisions de la ràgle.

Par chacun des points de divisions , menons des parallèles telles que ç^Ps'y ces lignes couperont la verticale FD en des points dont les distances au point F seront avec Vp dans le rapport des quarrés 1 , 4, 9.... de la suite naturelle des nombres , et seront par conséquent les abaissements à 100", 200", SOO"*,,... ces parallèles prolongées couperont les verticales 1 , 2, 3,.... en des points ;?,, p^^ P^y»**' qui sont les points de la trajectoire dans le vide.

Pour avoir les points correspondants de la trajectoire dans l'air , portons sur une ligne quelconque , sur FJ , par exemple, à partir de F, FK = 1 , et ensuite FI , F2,... P5,... égaux â^J.(a:,,VO, ^(ar,, V,) ,... 4(a?5î V,)...; par Fun de ces points de divisions, tel que L^, menons une parallèle à la ligne ^sK, elle coupera F^ en Q^; FQs sera à ¥ç^ comme 4 (^5 j V,) est à 1 , et par conséquent si par Q^ on mène une parallèle à OF, cette ligne coupera la verticale à la distance de 500°* en un point qui sera le point de la trajectoire dans l'air à cette distance; on opérera de même pour tous les autres points. On aura très-facilement par ce moyen des points aussi rapprochés qu'on le voudra de la trajectoire qu'on cherche.

On pourra au besoin rendre plus apparents les abaissements du projectile en ^prenant les ordonnées à une échelle plus grande que celle des abscisses.

149. Tracé des inclinaisons de la trajectoire. Par un tracé semblable au précédent , on détermine l'inclinaison de la trajectoire en chaque point. Cette inclinaison est

donnée par Téquation tang9 =:tang<p — --^4'(a?,, Y.).

En la mettant sous la forme

TRACÉ DES TRAJECTOIRES. ' Sll5

entre la ligne de projection et la ligne menée parallèlement à la tangente à la trajectoire , distance mesurée sur la verticale qui passe par le point proposé , 2^ que le premier facteur du second membre est rabaissement du projectile dans le vide. Il suffit donc de faire le produit de celui-ci par 24' (a:, , V,) comme on a fait le produit par 4 (ar, , V,) pour avoir la trajectoire.

Pour cela, on se servira des divisions faites sur Vg (Fig. 23) , ou on en établira de semblables sur la ligne F^ menée par le point F et par la seconde intersection de la ligne qp^ et de l'arc de cercle tracé du point F comme centre avec le rayon F^ égal à 64 divisions. Par le point F on tracera une ligne quelconque F J' sur laquelle on prendra FK' = 1 ^ et les valeurs de «l'C^o V,), 4'(^a> V,).... et FM = {. Opérant pour la distance de 500'", par exemple , on joindra g^ \ par le point L^' qui correspond à FL5' = 4 (^5 > V,) , on mènera une parallèle à M^5, elle coupera la ligne F^ en Q^', et si par le point Q/ on mène une parallèle â pg, elle coupera la verticale du point proposé au point pf^^ et la ligne Opf^ sera parallèle â la tangente au point pf^ , et donnera par conséquent Finclinaison de la trajectoire en ce point. En joignant par une courbe les points tels que p\^ on obtiendra facilement par son moyen Tinclinaison de la trajectoire en un point quelconque.

150. Durée du trajet ; vitesse. La durée du trajet depuis le point de départ jusqu'à une distance x est donnée par l'expression

Pour la déterminer, soit (Fig. 2k) OP la ligne de projection, faisant avec Phorizontale OA un angle 9. Prenez OC égal à la vitesse Y exprimée par le chemin parcouru dans une seconde à Téchelle des abscisses; par le pointe abaissez la verticale CD; OD sera Ycos^ ou Y,.

A partir du point 0 sur une ligne quelconque OG, sur la verlicale par exemple , prenez OK = 1 à une échelle convenable pour représenter l'unité de temps ; prenez ensuite OL = ;J' (or , V,) l'unité de ces valeurs étant prise à la même échelle que celle du temps ; tirez DL« Par le point F à la distance x menez â cette ligne une parallèle qui coupe OG en T , OT représentera la durée du trajet 5 car on a la proportion

OD ; OL :; OF ; ot,

d'où