S IV

Blédiodés d'approximation.

134. Méthodes d'approximation. La méthode d'Ëuler et le» formules qui donnent par des séries les valeurs qu'on doit déterminer dans les problèmes de balistique , exigeant des calculs très -longs, les géomètres ont cherché une autre voie et ont taché d'obtenir des formules plus faciles et donnant en même temps une approximation suffisante.

Méthode de Borda. Borda % considérant que l'équation

—^ = —86 refuse à l'intégration, a pris pour la densité de

l'atmosphère ^ qui entre dans le coefficient dé la résistance , une fonction de Finclinaison telle que l'intégration devint possible et qu'en même temps la densité n'éprouvât pas d'anomalies trop considérables. C'est une voie dans laquelle sont entrés après lui plusieurs géomètres qui y ont apporté de grands perfectionnements. La fonction qui a conduit Borda aux équations les plus

simples est celle-ci : ■■ ' , dans laquelle a est une quantité

arbitraire. Remplaçant donc la densité S de l'air par ■■

Vi+P^

ou - par T==, 9 il détermine « de manière qu'au point de

projection où p = tang <p la densité qui résulte de la supposition soit égale à la densité véritable, c'est-à-dire qu'on ait

* Mémoires de PAcadëmie des sciences de Paris, poar rafinëe'i769; sur la courbe décrite par les boulets et les bombes ^ en ayant égard à la résistance de Tair.

iS8 sBCTioN r.

1 , d'où résulte « = . Par là, la densité de raif

est variable en chaque point et égale à 5 .

Par la substitution de == à «*, l'équation ci-dessus,

en remarquant que ds =i dœ^^ i +i>', devient i/*;? 1 ds i dx

et par l'intégration Borda a obtenu pour l'équation de la trajectoire

La force retardatrice — — est suppo?ée exacte aux environs c cosç

du point de départ; mais elle est trop grande dans la partie

supérieure de la trajectoire ; elle redevient exacte dans la branche

descendante au pomt où la courbe a même inclinaison qu'au

départ, puis elle est supposée trop petite dans la partie qui suit

jusqu'au point de chute. Borda pensait par Ik que les erreurs

étaient assez bien compensées ; cependant l'amplitude et la hauteur

du jet sont trop petites. Mais si Ton calcule séparément la bran-^

che descendante , en partant de la vitesse au sommet qu'on peut

calculer directement, on diminue l'erreur sur l'amplitude totale.

Cette formule de Borda peut être ran^enée k celle que nous

avons déjà donnée (loo) en y introduisant la caractéristique F ;

elle devient alors

X lang (Ç — ;-'^ , F { ^ ]. à-h cos' (0 V c C08 (P /

h-h cos' qp

155. Formule de Bcsout. Besout* est arrivé k des équations de même forme que celles qui résultent de la méthode précé-

* Coars de mathématiques à Tusagc du corps royal d^arlillcrie. — Mouvement des projectiles.

IlésiSTÀNCE PROPORT. AU QVARRÉ DE LA VITESSE. 189

dente ^ mais par des considérations compliquées^ elles reviennent à remplacer par une quantité constante une quantité variable avec Imclinaison des diverses parties de la trajectoire, c'està-dire que Besout représente par a la quantité

|tang'^e + -i^tang^lB+^tang^ie + ctc.

1— tang^iO

et qu'il choisit pour 0 la plus grande valeur qu'elle peut avoir, c'est-à-dire ^. L'équation qu'il obtient peut se ramener comme la précédente à la forme suivante

y = xtaDg(p-

kh cos'

Il montre ensuite que la quantité a est équivalente à

i séc9 + ^cot<Plog (45° +i<P) ,

que nous avons représenté au moyen de la caractéristique î par

tangip*

Besout donne ensuite une table de ces valeurs et il propose un moyen d'avoir égard au changement de densité de l'atmosphère; mais, par ce moyen, l'erreur sur l'amplitude est plus grande que quand on suppose la densité invariable.

136. Méthode de Legendre. Legendre* a proposé plusieurs méthodes d'approximation pour obtenir l'équation de la trajectoire, en faisant une supposition sur la variation de la densité

de l'air. La principale est fondée sur cette formule — .

de façon que dans l'équation --^ = — , on remplace - par "^"^.^ ou S par S *^°^^ ce qui la transforme en celle-ci

* DisseruUon sur la qaeslion de balislique, proposée par rAcade'mie .royale dcB seiences et bellcs-leUres de Prasse , pour le prix de 1782 , par Legcndre.

i90 SECTION V.

Il détermine « de manière qu'an point de départ où jp:âstang (p la densité soit exactement celle qn'on doit avoir, c'est-à'-dtre

quil fait — ======== 1 doù a^

V'i+unfcp i + co8(p

Par cette méthode , la densité supposée est égale à la densité réelle aux trois points où Ton a ;> = tangcp, |> = o et p = — tang <P. Dans les autres positions , elle sera plus petite que la véritable.

Le mmimum aura heu au point ou v = =

et le rapport de la densité supposée à la densité réelle sera

V^i — tang4i(p, quantité en général peu diflFérente de l'unité; car, lorsque <P est successivement 3o°, 4^®? ^®% ^® rapport est respectivement inférieur h l'unité de 7^0? T7> IT'

Cela posé, l'équation edp^^^dpdsy en y remplaçant & par

dxV i +jp% devient

ctPp = (i+ap^)dx.dp.

De cette équation, en faisant B = ^ — r — hlangqp-Hstang'ç,

déterminant C par l'équalion cubique ^C'+C — B = 0,

C'+ ->= m, déterminant enfin les valeurs

des angles A et P par les relations

langA = — ^^^^ et taûgP = C L-i- .

on aura

C — P . , cosP . 3C,

r+Ok \ '"^ C — lang^"

et

On observera 1® que G doit être calculé avec précision au moyen des fausses positions, 2® que les logarithmes indiqués

sont hyperboliques et que A — P désignant la longnear absolue d*un arc, devra , après avoir été estimé en degrés, être multiplié

par jTT. On aura ainsi les valeurs de a; et de y pour autant

de valeurs de p que Ton voudra.

Cette méthode et plusieurs autres que Legendre développe ont le mérite d'une grande exactitude ; mais on ne saurait disconvenir qu'elles n'ont pas la simplicité nécessaire dans les applications et qu'elles conduisent à des calculs trop pénibles.

Legendre fait une application numérique et il compare sa formule à celle de Borda ; mais les données de l'exemple qu'il choisit sortent des limites de la pratique; car il prend ^ h= loe et l'angle de projection de 45®. Or, pour des bombes de o",32 ou o"',22 de diamètre, la valeur h= loc indiquerait des vitesses respectives d'environ 460™ et 36o™ par seconde, qu'on ne peut obtenir avec les mortiers : il ne peut pas plus être appliqué aux canons qu'on ne thre pas sous des angles aussi grands.

Cet exemple était très -propre, sans doute, à faire ressortir l'exactitude relative des méthodes de Legendre et de Borda; mais il induirait en erreur sur leurs valeurs réelles, considérées sous le rapport des applications au tir des projectiles.

137. Méthode de Français. Français**, tout en reconnaissant le mérite de la fonction de densité employée par Legendre , lui veproche de manquer d'homogénéité ou d'égalité de dimensions par rapport à p^ entre le numérateur et le dénominateur, de

i + ap^

sorte que p étant infini la fonction ^ le devient elle-même.

Par cette considération il lui préfère celle-ci

i+ap^

Vi + bp^.V'i+P^

Si l'on y supposait a = 5 = i , elle serait rigoureusement égale k l'unité. La condition principale à remplir étant que

* Ouvrage cité, page 21.

** Hecberches sur le mouTcment des projecUles dans les milieux rësîstanls, par Français ; manuscrit de l'ëc. d'applicAt., an XIII, p. 134.

réquation €d*p=dpdsde\ierïne intégrablc, après qu'on l'aura mul-

i + ap^

tipliée membre à membre par Téquation i = ■- — , :

Vi+bp^.Vi+p^

on y satisfait en faisant 6 = ^ a. Posant pour seconde condition, que cette fonction soit rigoureusement égale à l'unité pour pz=ztàXig<Pf on y satisfait en supposant

, 3 — V'9 — 88in^9 a zzz i --7-^ .

En remplaçant dans l'équation différentielle de la trajectoire

1 1 i + ap^ ^ , . .

" par === z=z=. et ds par dx V i +p , on aura

^Vi+j,ap^.Vi+p-

1 + ap»

cd^p = — — ebcdp^

V'i + ia/»'

d'où l'on tire par l'intégration la valeur de -^ puis celles de dy et de dx et enfin celles de x et de ^^ en faisant

représentant par ^ un angle constant tel que cot2iS = feV^aa, et par Ç et y des angles variables tels qu'on ait

tangç =^^ — ' ^ T' —

vUng/3

et

tangqp\/^a+V^l+|atang'<p tangy = ■ — = — = ° — ,

/tang^

x['«->'-'(^-r)^'<:rg:::',^;a

* Éqafttion 110, manuscrit cite.

RÉSISTANCB PROPOET. AV QUABRÉ DE LA VITESSE. 193

y = c.*.i«2i3r-l-logiî=L5+log22!(êlI«lf2l(£±9l ^ '^Lco82^ ^Ungy^ ^cosO — y).cog(^ + y)J

On a ainsi les coordonnées a; et y en fonction de la variable p.

La supposition de sin^ = cos K rend les valeurs de x et de y infinies négatives; cette hypothèse répond k une asymptote de la branche ascendante. Français fait remarquer que l'angle asymptotique qu'on en déduit ne diffère de Tangle obtenu par les formules exactes que de quelques secondes dans les cas les plus défavorables 9 ce qui atteste un grand degré d'approximation ; il trouve de même l'existence d'une asymptote verticale dans la branche descendante et sa distance finie au point de départ; il trouve aussi les relations qui^ dans cette hypothèse de la densité^ donnent la portée horizontale ^ l'angle de chute etla durée du trajet.

138. Comparaison entre le degré â^ approximation des méthodes de Legendre et de Français. On jugera du degré d exactitude des méthodes de Legendre et de Français y par la comparaison des résultats numériques relatif au cas discuté par Legendre, 9 = 45^9 pour lequel on a dans son hypothèse « = o,4i4^'4 ®^ dans celle de Français a = o,6i8o34> les valeurs des fonctions proposées par ces deux géomètres, lesquelles sont respectivement

ont été calculées pour des valeurs de 9 de 5^ en 5% et sont contenues dans le tableau suivant.

Tadleav des valeurs comparatives des fonctions de Legendre et de Français pour diverses inclinaisons.

TâLICta

YALECRS DES POIfCTIONS

TALEUM

de