OL' : OD :; 1 ; OM
d'où
___ OD VcoB<;>
OM
OK' x"(^.,V)'
c'est la projection horizontale de la vitesse. Si par lepoint 0 on a tracé (149) la ligne OQ faisant avec OB un angle 6 égal â l'inclinaison de la trajectoire à la distance F, et que par le point M on élève la perpen-
diculaire MU, OU sera égal i — i-, et par conséquent
égal à g. La courbe qui passerait par les divers points détenninés comme U sera la courbe .polaire des vitesses.
TRÀCé DES TRAJECTOIRES. 215
On peut exécuter les tracés avec ceux des trajectoires et des inclinaisons 9 reporter sur les verticales de chaque point les longueurs qui représentent les durées et les vitesses et tracer des courbes par leurs extrémités ; par leur moyen on obtiendra facilement, pour une distance quelconque, la position du projectile, la direction du mouvement, le temps écoulé et la vitesse. La grandeur des échelles pourra varier suivant les données , Tétendue que Ton doit considérer, et le degré de précision qu^on veut obtenir* L'échelle de O^jOOl pour un métré pour les distances horizontales et les vitesses, 0^,100 pourlunité des valeurs de 4 5 'l'S xS x'S ®t 0™,050 pour une seconde, conviendront dans le plus grand nombre des cas. On aura besoin aussi avec les grandes vitesses de coilstruire la trajectoire avec des ordonnées amplifiées , dans le rapport de 5 à 1 , par exemple.
151. Courbes des valeurs des fonctions 4, 4'j x'? ;^". Dans les tracés qui ont été indiqués , on a eu besoin d'exprimer par des longueurs de lignes les valeurs des fonctions 4) 4-'? xS ^ ^^^ ^^^^ données par les tables. On a pu éviter les calculs numériques qui restent à faire , et on facilitera les opérations graphiques en construisant une fois pour toutes les courbes qui représentent ces fonctions.
On l'a fait (Fig. 24) à l'écheUe de 0",100 pour une
unité ; on a pris les valeurs de Yq ou -^ des tables pour
abscisses, et on a construit une courbe avec les diverses valeurs de 4(^> V,) qui correspondent à une même valeur
de - ou ;r : on a fait de même pour les diverses valeurs
de z de la table XI ; chacune d'elles représente les mêmes valeurs de 4' pour les valeurs de ^ correspondantes des tables. Quant à la correction qui s'y rapporte, elle est toujours très -faible dans les limites des applications
des tracés , et il a suffi de la construire pour quelquesunes des valeurs de Zy telles que z = 0,50 , z = 0,75 , ^ = 1,00, en prenant les diverses valeurs de Vo pour abscisses. En la traçant du même côté que les valeurs de 4(^o ^i) ®^ ®" remarquant que la correction est négative , on verra qu'une seule ouverture de compas donnera directement les valeurs de -i'C^, > V). Lorsque la valeur de z proposée ne sera pas Tune des valeurs exactes des courbes, on estimera la différence entre les deux courbes voisines, soit à vue soit par un autre moyen plus précis.
Lorsque dans le cas du tracé d'une trajectoire on sera maître du choix des distances, on les prendra de façon
que les diverses valeurs de - soient celles des courbes ,
alors une ligne tracée par le point dont l'abscisse est la
valeur proposée de -i, parallèlement aux ordonnées,
donnera immédiatement par son intersection avec les diverses courbes les valeurs de \{x ^ V,) ; il n'y aura qu'à les porter sur la feuille du tracé de la trajectoire. On obtiendra de la même manière les diverses valeurs de '^ (a? , V) , mais pour des valeurs différentes de x.
Les courbes des valeurs de x"(^«> ^) construites de la même manière, donneront également les valeurs de X'(a:, V), et serviront à la détermination graphique des vitesses du projectile, et des durées du trajet.
Afin qu'on puisse éviter la transformation des valeurs des
vitesses en celles de -, on a écrit ces vitesses sur la ligne
des abscisses, aux points correspondants, pour la valeur adoptée de r.
Il est également possible d'éviter la transformation des
valeurs de ar en -, en écrivant à c6té des valeurs de - de
- TRACé BBS TRAJBCTOIRES. 2(7
chaque courbe la valeur de x qui y correspond pour les divers projectiles auxquels on doit en faire l'application.
Pour éviter les trop grandes dimensions, on pourrait reporter les courbes les plus élevées sur elles-mêmes. On faciliterait de même la réduction des vitesses Y en hauteurs dues à ces vitesses au moyen d^une parabole tracée avec ces valeurs pour ordonnées. Avec des précautions convenables pour éviter l'altération des dimensions du tracé de ces courbes, on obtiendra une exactitude suffisante dans les applications ordinaires.
On peut aussi déterminer par des tracés les valeurs de 6», F'(jr)5 F(^)) puis les fonctions représentées par les caractéristiques xS x'S ^j 4'5 n^ais nous ne les donnons pas parce qu'avec les tables numériques que nous avons calculées, ces tracés ne sont pas nécessaires.
Solution graphique de divers problèmes de balistique.
152. Solution graphique de divers problèmes de balistique. On peut par des tracés très-simples résoudre la plupart des problèmes de balistique.
Afin d^éviter la répétition de plusieurs constructions élémentaires, nous les rappellerons en commençant.
Soient OA une horizontale (Fig. 26) , OP une ligne de projection faisant un angle 9 avec OA en un point quelconque dont les ordonnées sont OC = a et MC = b , et soit OD une distance quelconque égale k x\ si du point D on abaisse sur OP une perpendiculaire DF, et du point F une perpendiculaire FG sur OA , on aura
OF =: jrco9<? cl OG = tcos'<P
et réciproquement
cos ^ cos' 9
Si on joint OM qui coupe la verticale DI en H on aura
- = (angMOC = Ung6, DI := jrlang<^| a
DH = xtangc, ÏH = j:((ang(^ — *ange)
et réciproquement
IH
tang^ — tangs
Dans les solutions qu^on va donner, on déterminera les valeurs des fonctions 4 ^^ 4' comme on Ta dit précédemment ; mais dans le cas où la vitesse sera Finconnue , on devra supposer que Ton a une valeur approchée de la projection horizontale de cette vitesse qui permette de déterminer les fonctions 4? 4'- I^^ solution ne serait rigoureuse que dans le cas où Ton représenterait la résistance par un seul terme proportionnel au quarré de la vitesse ; mais comme c^est particulièrement au tir à de petites vitesses que ces solutions sont applicables , une petite différence sur la vitesse n''aura qu'une influence trés-faible sur la valeur de 4(^î V); on pourra d'ailleurs toujours déterminer celle-ci par une première approximation. Il en est de méme^ mais à un degré dHmportance tout à fait négligeable , de la valeur de ^ qui entre dans V, = VC0S9.
153. Déterminer l'angle de projection sur un plan horizontaL Etant données la vitesse initiale Y et la portée X sur un plan horizontal passant par le point de départ ^ déterminer Tangle de projection 9.
L'angle de projection est donné par la formule suivante dans laquelle h est la hauteur due à la vitesse Y
Pour déterminer Tangle de projection , soient (Fig. 27) O le point de départ , OA Phorizontale , OB la verticale ; du point O comme centre , avec un rayon OK = 1 , tracez un arc de cercle, prenez 0L=:4(^?^^)? 0H=:2/r, OD = X : tirez HL et par le point D menez une parallèle à HL. Par le point d^intersection C avec la verticale, menez Phorizontale GM qui coupera en M le cercle du rayon 1,00; Tangle MON sera égal à 2?, et la ligne OP qui le divisera en deux parties égales sera la ligne de projection. En effet, on a la proportion
OH ; CD ;: OL : oc-, donc
OC ou sinMON = ^4(x, V,), MON = 2<j> et PDA = <f».
La seconde intersection M' de Thorizontale GM et de Tare de cercle donne pour sinOM et OP une seconde solution , mais elle appartient aux angles plus grands que 45*, et n^est pas applicable au cas que nous considérons.
Si dans la construction 2A est trop grand , prenez OH = h ou Ofi[ = { A , et par compensation prenez OK = 2,00 ou OK = 4,00 5 on augmentera ainsi Texactitude dans la détermination de tp.
Si Fangle de projection devait être très-petit , on aurait plus de précision par le procédé suivant.
Partant de Féquation 2Asin2? = X4(a:, VJ, soit OA (Fig. 28) rhorizontale, OD = X, 0H = 2A. Sur la verticale OB , prenez OK = i et OL = 4 (ar, V,) , tracez KD et par le point L menez à KD une parallèle qui coupera OA en F; OF sera égal à X4(ar, Y,), menez à OA une parallèle à une distance égale à OF, et décrivez un arc de cercle du point 0 comme centre avec un rayon OH ; joignez le point dHntersection M au point 0 , divisez l'arc MH en ^eux parties égales par la ligne OP ; OP sera
220 SECTION Vf.
la %De de projection ; car MO X s*» 2P0A a pour mesure MN qui est égal à X^ (ar , V.).
iS4. Déterminer l'angle de projection du projectile qui doit passer par un point donné. Ëtant donnée la vitesse initiale V, on peut déterminer l'angle de projection d^un projectile qui doit passer par un point donné.
Si M (Fig 29) est le point donné ^ h la hauteur due à la vitesse Y, et que a ei ô soient les distances horizontale OC et verticale MC du point M au point de départ, Tangle cherché sera donné par les formules
OU
dans lesquelles on a fait h' = rr—^rr*
Par le point M élevez la verticale CB = hy et par le point D milieu de AO la verticale DF. A partir du point C sur une ligne quelconque, prenez CS. = 1,00 et CL = 4 (^ ) V J , tirez LB et par le point K menez à cette ligne une parallèle ; celle-ci coupera la verticale en G ;
CG sera égal à 7?=- ou -77 — =-, = A'. Sur CG comme
