LL -xf^jr, VJ

diamètre , décrivez un demi-cercle et par le point G comme centre avec GH pour rayon, tracez un arc de cercle, il coupera DF en deux points 1,1'; tirez 01 et 01'; vous aurez les deux lignes de projection cherchées.

En effet, puisque GC == A', et que CH = 6, on a GM = h' — 6, et GH ou ses égales GI et GI' égales à

\/hl{hl — b). Si du point G on abaisse sur DF la perpendiculaire G J on aura G J = -J « , d^où IJ = l'J = \/h{h — b) — ja', et comme DJ = A', on aura

DI = A'— \/a'(A'— *)— ja%

ce seront les deux valeurs dejatang^; or AD est égal éi ^a*j donc les deux lignes 01 et OF sont les deux lignes de projection cherchées.

Si le cercle tracé avec le rayon GH devenait tangent à CF il n y aurait qu^une seule solution , et sHl ne coupait pas cette ligne, le problème serait impossible.

On remarquera que, conune dans le cas précédent (1S3), la ligne de projection la moins élevée doit être seule admise (88).

Lorsque le but sera peu élevé au-dessus de Phorizon , on pourra sans erreur appréciable (93) opérer plus simr' plement relativement à la ligne qui va au but, comme si elle était horizontale (153).

155. f^itesse initiale, — IJe but étant à hauteur du point de départ, La distance du but et la ligne de projection étant données, déterminer la vitesse initiale.

Si le but est à hauteur de la bouche à feu, on aura

On obtiendra 2A par le tracé qui est indiqué pour trouver Tangle de projection (153); mais en opérant dans Tordre inverse, ainsi qu'il suit.

Soient (Fig. 27) OD la portée X, et OP la ligne de projection ; faites Pangle MOA double de POA ; du point 0 comme centre avec un rayon égal à l'unité, décrivez un arc de cercle ; par le point M où cet arc coupe la ligne OM , menez une horizontale ; elle coupera la verticale OB en C ; joignez CD ; sur OB portez OL = 4(^ ? V,) ; par

le point L menez à CD une parallèle ; elle coupera en H l'horizontale OA ; OH sera égal à 2^ ; de là on déduira Y. On opérerait de même par le second procédé. - 456, Le but n^étantpas à hauteur du point de départ. Si le but n'est pas à hauteur du point de départ 0 , soient M ce point (Fig. 30), OA l'horizontale, OB la verticale , OP la ligne de projection ; tirez OM , appelons f l'angle MOA sous lequel est vu le but, a ti b étant

les coordonnées AN , NN do point M ; on a tang g = - .

Diaprés Téquation de la trajectoire et la condition que le projectile passe par le point M, on aura

h = aung9— ^ . 4(:r,V.), 4/1 co» ^

d'où Fou tire

a 4 (lang ^ — tang s) cos* 9

OU par des transformations déjà indiquées (16 et i02)

a>|'(jp,V,) ccse 1

"~ 4 'sîn(9 — 0 <508 9*

Prenez OD = ^ON = >, 0K=: 1,00, OL = 4 (a?, V,); tirez KD, et par le point L menez à cette ligne une parallèle qui coupera OA en F; on aura OF

= d±!lJLl. sur OB prenez OG = OF, et par le point

6 menez à OM une parallèle qqi coupera OP en I ; par le point I élevez une perpendiculaire à OP , elle coupera OA en H; OH sera la valeur de h.

En efiet, dans le triangle OGI, on aura

OG ; ai ;: sinorc ; sinoci.

Or, OIG = IOM = ((p — g), et sinOGI = sinMOB

= cosMOA = cos«; donc OI=:-r-: ;> ©l comme

' 9in(9— e)

^« = ~«t<I««OG = "-^, il s'ensuit

qae

OH = '''^^'' ^'^ . cose

* '•in(<f — e).co8<).'

et par conséquent que OH est la valeur cherchée de h.

Si le but est peu élevé au-dessus du point de départ on pourra sans erreur appréciable (93), opérer avec plus de facilité relativement à la Ugne qui va au but comme SI elle était horizontale (154),

457. Déterminer l'angle et la vitesse de projection d'un projectile qui doit passer par deux points donnés.

Soient (Fig. 31) 0 le point de départ, OA l'horizontale. OB la verticale, M et M' les deux points donnés, et dont les distances horizontales et verticales sont ON = « et MN = 6 pour le premier point, aN' = a' et WJi' =. à' pour le second; l'angle de projection <p a pour expression (89, éq. 16)

a>Ka,V.)-«a'4(a',V,) ^ la valeur de h est (89 , k'^ éq.)

1 ces' 9

Pour déterminer tangç, sur OB prenez OK = 1 00 OL = 4(a, V.), ou = 4K VO; tirez KN et pir le point L menez à celte ligne une parallèle qui coupera l'horizontale en n et donnera On = a4(a, V.) 5 opérant de même pour N' on aura On' = a'4 (a'^ Vj, Par le point n élevez une perpendiculaire jusqu'à la rencontre de OM' au point G, on aura Gn = On^. Par le point «' menez une verticale jusqu'à la renconfre au point

G' de OM prolongée , on aura GW = On! - =: «4 («'> V,) - >

joignez GG' et par le point 0 menez à cette ligne une parallèle , ce sera la ligne de projection cherchée.

En effet, si par le point G on mène Thorizontale GQ, on aura

langGGQ - ^Q "" O»'— Oii "" «'4(aS V,)-a4(a, VJ *

Pour déterminer h prenez GR = ^ GQ = 7[^^'4(^^^ V,) — ^4(^9 V,)] ; portez-le de G en S , sur le prolongement de Gn, et par le point S menez une parallèle à OG jusqu'à sa rencontre avec OM en T ; par le point T menez une verticale qui coupera OP en U , et par ce point une perpendiculaire à OP qui coupera Thorizontale OA en H ; OH sera la valeur cherchée de h.

En effet , la verticale TU coupant OM' en T' et OA en f 9 on aura

Tl = 0«- et Vt = 0/-:

retranchant membre à membre et observant que T^ — TV

= TT' = ^GS = I (0/»' — On) , on aura

Ot =

C'est la valeur de Acos'^; et puisque POA^:^, on aura OU = A cos ^ et OV = h.

Si GQ était petit, on opérerait avec GQ au lieu de prendre ^ GQ , et on obtiendrait hh dont on prendrait ensuite le quart.

Ayant trouvé l'angle de projection on pourra aussi opérer la construction comme on Ta fait (1 56) pour faire passer le [Projectile par le point M ou par le point M'

TKACÉ des tHAJECTOIÀES. 32^

iS8. Délermiaer Tangle et la vitesse de projection d^un projectile qui doit passer par un point donné et sous une inclinaison déterminée.

Soient 0 (Fig. 32) le point de départ, OA Thorizontale , OB la verticale, M le point donné, et MC la' direction dû projectile. Si Ton nomme a la dislance horizontale ON, s Tangle MOA d^élévation du but, et 9 Tinclinaison de MC , qui dans la figure 32 est au-dessous de Thorizontale et donnerait 6 négatif, Tangle cherché <}) et la hauteur due à la vitesse de projection Y seront données par les expressions (90, éq. 18 et 4"™°)

2a4^(a,V.)tang«-a>Ka,V.)tapg^ i (tange — tang 0) cos* 9

Sur la verticale OB, prenez OK = 1 ,00, OL = 4 (a, V,) et 0L' = 4'(«î V,); joignez KN et par les points L, L' menez deux parallèles à cette ligne, elles couperont rhorizontale OA en deux points n ei n^\ on aura On = «4 (^^, V,) et On' z=ia\{a^ V,) ; prenez nW = 0«', on aura ON'=:24'(«, V,). Par le point n menez une verticale qui rencontre en G la ligne menée par le point 0 parallèlement à MC ; par le point N' élevez une verticale qui rencontre en G' le prolongement de OM; joignez GG' et par le point 0 menez à GG' la parallèle OP ; ce sera la ligne de projection cherchée.

En effet, d'après la construction, on aura GW == 24' (a, V,) tang 2, nG=za\(a^ V,)tangB. Si on remarque que rinclinaison e»t au-dessous de l'horizon, dans la figure, que 9 est négatif dans la valeur de tang 9, et que par conséquent le second terme du numérateur s^ajoutë au premier, on verra que G'N'-h G/i ou G'Q est le numérateur de la valeur de tang 9 , et que GQ ou nN' qui est

égal à 2a4' {a , V,) — «4 (« ? V,) , en est le dénominateur ; donc 2 = tang^, G'GQ = ^, donc OP est la ligne de

projection cherchée.

L''expression de la valeur de h est de même forme que dans le problème précédent (157); on Tobtiendra par une construction analogue. Pour cela, prenez GR = jGQ = 7 [2^4' («5 V,) — «4(«j VJ]; portez -la de G en S sur le prolongement de Qn , et par le point S menez une parallèle à OG jusqu'à sa rencontre avec OM en T ; par le point T menez une verticale qui coupe OP en U, et par ce point une perpendiculaire à OP^ qui coupera Thorizontale OA en H, OH sera la valeur cherchée de h.

La démonstration étant la même que pour le problème précédent 9 nous ne la répétons pas.

On pourra, suivant les cas, prendre le rayon GR égal à GQ ou à sa moitié, et obtenir pour OU, kh ou 2/i, et en prendre alors le quart ou la moitié. On pourra aussi , après avoir déterminé Tangle de projection , continuer la construction comme pour faire passer la trajectoire par le point M.

1S9. Observations sur le rapport des échelles dans les tracés. Dans les deux derniers problèmes on peut obtenir plus de précision dans le tracé, particulièrement lorsque les angles de projection doivent être petits, en prenant les ordonnées à une échelle plus grande que les abscisses , et en déterminant les inclinaisons par des tangentes mesurées à Téchelle des hauteurs amplifiées. L'inspection des expressions qui donnent les valeurs de h et de tang9 fait voir que les relations ne sont pas changées, n n^y a de différence qu'à partir de la verticale TU. Alors pour diviser le résultat par cos'0, le point U doit être pris sur la ligne de projection réelle , et la perpendiculaire UH élevée par ce point sur cette ligne. Cette

double observation s'applique à plusieurs des problèmes précédents.

460. Portées, durées, vitesses. Lorsque l'on doit déterminer la portée d*un projectile sur une horizontale ou sur une ligne inclinée, on devra déterminer, au moyen de la vitesse et de Tangle de projeetion et par les moyens qui ont été donnés (146 à 148), plusieurs points rapprochés , les uns au-dessus , les autres au-dessous de la ligne , faire passer une courbe par ces points , et , par l'intersection de ces lignes on reconnaîtra la position et la distance du point cherché.

Dans les divers problèmes , on pourra déterminer Tinclinaison de la trajectoire , la durée du trajet ou la vitesse du projectile , par les procédés qui ont été indiqués.

DAIIB LES MOEUBUZ BBBlSTAin».

161. Considérations générales, La eonnaisiance de raction destructive des projectiles lancés par les bouches à feu est d'une très -grande importance. Les effets produits, et en particulier l'étendue des pénétrations , dépendent de la nature des projectiles , de leur vitesse initiale et de la distance du but. Il est donc nécessaire, pour les apprécier, de tenir compte de ces circonstances.

Cette question a dés longtemps attiré Tattention des savants les plus distingués , tels que Jean Bernouilli , Poleni, S^Gravesande , Musschenbrock , Robins, Ëuler, Camus. Mais, des faits épars ou des expériences peu étendues sur de petits projectiles , n'avaient pas jusqu^à ces derniers temps fourni les éléments nécessaires pour la traiter d^une manière satisfaisante et pour arriver à des formules applicables aux divers cas de la pratique, lorsque, par les ordres de M. le Ministre de la guerre^ des expériences nombreuses furent à cet effet exécutées à Metz, en 183^ et en 1835, par la Commission des principes du tir

Nous nous occuperons particulièrement , dans ce qui va suivre , des lois du mouvement et de la profondeur des pé-

nétrations des projectiles djins les milieux résistants dont on forme ordinairement les masses couvrantes à la guerre , telles que les terres , les maçonneriéâ et les bois , et nous en ferons précéder Texposé de quelques considérations physiques qui puissent nous conduire à l'expression de la résistance *.

162. Considérations physiques. Lorsqu^iin projectile pénétre dans un milieu résistant, comme de la terre, il pousse devant lui et déplace latéralement les molécules qui se trouvent sur son passage ou qui en sont voisines» Ces parties , après avoir été comprimées et entraînées d'abord , sont contraintes à glisser sur la surface arrondie du projectile ; elles prennent ainsi une vitesse dont la composante latérale , prise perpendiculairement à la direction du mouvement du corps 9 dépend de la vitesse de ce corps et de rinclinaison de la partie de sa surface contre laquelle elle glisse en surmontant le frottement.

Les molécules qui se trouvent en A (Fig. 33) à la partie antérieure, sur la direction BA. suivie par le centre du projectile ou sur les parties voisines AC ne pouvant surmonter le frottement qu^elles éprouvent^ restent appliquées contre le corps; mais les parties plus éloignées, poussées par une surface inclinée comme la tangente en ce point , glissent et entraînent les molécules voisines. Les composantes de leurs vitesses prises perpendiculairement

* Pour des coDsidëralions plus étendues et pour des rësullats d*expérience, voir le rapport de M. le colonel Poncelet, sur un Mémoire de MM. Piobert et Morin, concernant la pénétration des projeètiles , la k TAcadémic des sciences, le 12 octobre 1835 et iûséré au Spectateur Militaire de novembre suiTant. Voir aussi le Mémoire sur la résIftlMice des corps solides ou mous à la pénétration des projectiles , par BIM. Piobert, Morin et Didion, inséré an Mémorial d*artillerie , N<* i; — Premier et deuxième rapport de la Commission des principes du tir ; — Mémoire de M. le colonel Augoyal, inséré au Mémorial du génie , K« 7.

à la direction BA du projectile , vont en s'accroissant à mesure qu'elles s*éloig^ent du point C; et, lorsqu'elles sont arrivées à un point D , où le rapport de la composante DE à la vitesse du projectile est égale à la tangente trigonométrique de Tinclinaison EDG de la surface en ce point, elles échappent à Taclion du projectile avec une vitesse qui dépend ainsi de celle du mobile. En vertu de cette vitesse , elles entraînent les molécules plus éloignées du projectile en leur communiquant une partie de la forcevive qu'elles possèdent et s'arrêtent en H , lorsque cette force-vive a été détruite par les résistances que présentent les parties du milieu de plus en plus comprimées. Lorsque le projectile se sera avancé jusqu'en A', A'', A"'.... et que sa vitesse sera diminuée , les distances D'ff, D"H", D'^'ff".. que parcourront les molécules qui abandonnent le projectile aux points D', D'', D'"... seront de moins en moins grandes, et le profil HHW'... du vide, se rapprochera de plus en plus de la direction BAA'.... du ' mouvement ; cela arrivera jusqu'à ce que la vitesse devienne assez faible pour que les molécules ne s'écartent pas sensiblement de la surface du {projectile.

Le projectile éprouve ainsi dans son mouvement deux sortes de résistances qui doivent être distinguées l'une de l'autre. La première consiste dans la cohésion du milieu , dans l'effort à exercer pour en séparer les diverses parties , se firayer un passage et vaincre le frottement; elle peut être regardée comme indépendante de la vitesse. La seconde dépend de la force-vive imprimée aux molécules qui s'éloignent du projectile avec Une certaine vitesse proportionnelle à celle du mobile. La force-vive de ces molécules , qui ne peut être acquise qu'aux dépens de celle du corps , est donc proportionnelle au quarré de leur vitesse.

Cette résistance doit encore être proportionnelle à rétendue de la surface suivant laquelle elle s'exerce, et

celle-ci , d'après ce que nous avons dit y n^est pas nécessairement égale à l'étendue d^un hémisphère, elle peut même varier durant le mouvement , ou avec la vitesse du projectile. Mais alors , à mesure que Tétendue du projectile qui reste en contact avec le milieu résistant à plus d'étendue , la dernière zone de la surface est moins inclinée et la composante de la vitesse perpendiculaire à la direction du mouvement, qui varie dans le même rapport que cette inclinaison j est par conséquent en raison inverse de l'étendue de la surface; il y a ainsi à peu près compensation, et le produit de ces deux quantités pourra être regardé comme constant. La force-vive imprimée à chaque instant aux mole* cules du milieu résistant pourra donc être regardée comme proportionnelle à la force-vive du mobile ou au quarré de sa vitesse , et à une section déterminée du projectile. Celle-ci étant toujours dans le même rapport avec un grand cercle de la sphère, on peut la remplacer par ce dernier, et regarder les deux fermes de l'expression de la résistance comme étant proportionnels à un grand cercle du projectile.

Il convient d'autant mieux de considérer la résistance comme proportionnelle à un grand cercle que vers la fin du mouvement, alors que le terme proportionnel au quarré de la vitesse n'a plus qu'une influence très-faible ,. le vide produit par le projectile diffère très -peu d'un cylindre, que la résistance s'exerce réellement suivant l'hémisphère antérieur, et qu'alors la résistance doit être proportionnelle à la section du cylindre ou du grand cercle de la sphère.

Des expériences directes * ont prouvé d'ailleurs qu'aux petites vitesses la résistance éprouvée par le projectile était effectivement proportionnelle à la section du grand cercle des projectiles.

* Premier et deuxième rapport de la Commission des principes du tir.

165. Phénomènes observés. Les considérations qui précédent , se trouvent confirmées par Texamen de la surface des projectiles qui ont pénétré dans les terres et du vide .qu'ils y ont formé. Lorsqu'un projectile est lancé avec une grande vitesse dans les terres , on reconnaît à la surface antérieure de ce projectile des parties du milieu qui y adhérent et qui offrent la forme d'un cône SCC (Fig. 33) d^autant plus obtus que la vitesse de projection est plus grande; au-delà de cette partie , le projectile est fortement sillonné suivant des plans méridiens passant par la direction du mouvement ; ces traces sont parfois assez profondes pour qu'un boulet de 2^ perde en pénétrant dans le sable plus de 15 grammes de son poids; les traces vont ensuite en diminuant et cessent d'être sensibles vers le grand cercle de l'hémisphère.

L^examen du vide produit dans le milieu confirme encore la justesse des considérations physiques dans lesquelles on vient d'entrer, lorsque , comme cela a lieu avec les terres argilleuses , le vide conserve assez bien la forme (Fig. 34) quMl a prise au moment du passage du projectile. En considérant une section faite par un plan perpendiculaire à la direction du mouvement (Fig. 35) elle paraît fendillée sur une assez grande profondeur , les intervalles entre leâ fentes sont lisses et portent des traces évidentes du frottement du projectile. Le développement de ces parties touchées, excepté vers le fond du vide, a toujours été trouvé un peu moindre que la circonférence d'un grand cercle du projectile. Le diamètre des sections, prises à différentes distances de l'orifice, vont en diminuant jusqu'au fond où Ton retrouve le projectile (Fig. 34). La section méridienne du vide est une courbe dont la convexité est tournée vers l'axe , et qui vers le fond diffère peu d'une ligue droite parallèle à la direction du mouvement ; de sorte que le vide a la forme d'un cône évasé dont le fond diffère trèspeu d'un cylindre qui aurait un diamètre égal à celui du

LOIS hE Là pénétration des PROIBCTILËS. 3?SS

projectile. Cette forme indique la dimiDulion de la vitesse de projection des molécules du milieu avec celle du projectile.

La réaction des terres comprimées au moment de la pénétration ^ altère bientôt la forme du vide et en diminue les diamètres.

Des phénomènes semblables à ceux que nous venons d*exposcr se présentent également ^ quoique moins régulièrement, lors de la pénétration des projectiles dans d^autres milieux résistants que les terres argileuses , tels que dans la maçonnerie ; dans celle-ci , la partie antérieure n^étant pas soutenue , se brise plus facilement et forme un entonnoir beaucoup plus évasé que celui de l'autre partie. L*en^ tonnoir formé par le choc d^un boulet dans le plomb est dû aux mêmes causes que dans les terres argileuses et conserve une forme très -remarquable.

i6k. Résistance au moment de la pénétration. En supposant comme on l'a fait que la résistance ne dépend que de la vitesse du projectile à Finstant que Ton considère , et quelle que soit la quantité dont le projectile a pénétré , on commet une petite erreur, puisqu'au moment où le projectile pénètre avec une certaine vitesse, les parties du milieu résistant en contact avec lui n'étant pas encore comprimées comme elles le seraient si le projectile avait déjà traversé des couches antérieures, celui-ci éprouve par là une résistance moindre. De plus , en comptant les profondeurs de pénétration à partir de la partie antérieure du projectile, la surface en contact dans les premiers instants étant moindre que lorsque le projectile a pénétré d'un demi-diamètre ou d^une plus grande quantité , la résistance par là est encore diminuée.

Cette différence dans les résistances pourra n^avoir qu'une très -faible influence quand on comparera entre elles des pénétrations considérables ; mais elle ne sera plus négli^ geable dans la comparaison de faibles pénétrations prove^

nul de vitesses peu considérables. La formule qui ne tiendra pas compte de cette influence donnera par cela même des pénétrations trop faibles ; on voit facilement encore que cet effet sera d'autant plus considérable que les projectiles seront d'un plus grand diamètre 5 tel est particulièrement le cas des obus de forts calibres animés de faibles vitesses.

465. Lois de la pénétratipn. Diaprés les considérations précédentes, Texpression de la résistance qu'éprouve un projectile à chaque instant de son mouvement, dans un milieu comme la terre, est proportionnelle à Tétendue d'un grand cercle de la sphère, et elle comprend deux termes dont Tun est constant et l'autre proportionnel au quarré de la vitesse; de sorte que, en appelant p cette résistance , R le rayon du projectile , 9 sa vitesse variable durant la pénétration , t le rapport de la circonférence au diamètre , on aura

flc et /S étant deux quantités qui dépendent de la nature des milieux et qui devront être déterminées par l'expérience pour chacun d'eux. De cette expression , nous allons déduire la profondeur des pénétrations des projectiles lancés avec diverses vitesses , et nous les comparerons ensuite avec les pénétrations observées pour nous assurer du degré d^exactilude de Texpression de la résistance.

En conservant les notations ci-dessus , soit encore P le poids du projectile , D sa densité, Y sa vitesse au moment où il pénètre dans le milieu , e la quantité dont il a pénétré au moment où cette vitesse est réduite à ^ , ^ le temps écoulé et g la pesanteur.

En égalant la résistance qu'^éprouve le projectile à chaque instant à la quantité de mouvement quMl perd, on aura pour l'équation du mouvement

Or 9 = — , donc en multipliant membre à membre avec

l'équation précédente, on aura p

d'où

-arR'^f a + ^j;'

Celle expression est facile à intégrer, et* en observant qu^elle doit être prise depuis la valeur V, pour laquelle ^ = 0 , jusqu'à V , on aura

e == log.

^^K'g^ ^a + iâp»

Les logarilhraes étant hyperboliques, si Ton veut avoir les logarithmes des tables dont la base est 10, Ton aura

P a4-i3V' ^2,3026Log-^^

166. Pénétration totale. On aura la profondeur totale, de pénétration due à la vitesse V en faisant 9 = 05 appelant £ cette pénétration et observant que pour un projectile sphérique P=:|^R^D, on aura

Si un projectile dont le rayon est R' et la densité D', atteint le milieu résistant avec la même vitesse Y, la pro* fondeur do pénétration représentée par Ë' sera

-2,3026Log(l+^V").

De ces deux équations on tire E RD

c^est-à-dire , que si deux projectiles pénétrent dans le même milieu résistant avec des vitesses égales, les profondeurs de pénétrations seront entre elles comme les produits des

9S6 i£CTION TH.

calibres par les densités. Si les projectiles sont des boulets de même métal , D et D' seront égaux et les profondeurs de pénétrations seront entre elles comme les diamètres ; si les projectiles sont de même diamètre , mais de densités différentes , comme des boulets et des obus de même calibre , les pénétrations seront entre elles comme les densités ou comme les poids des projectiles.

Dans le cas du tir des boulets de fonte dont la densité peut être regardée comme constante et représentée par D = 7032'', ppids du métré cube de la matière de ces boulets, et en faisant

on aura Pexpression

E = K.2R.Log[l.+ (I)'],

dans laquelle K étant un nombre et u une vitesse comme y, E sera donné en mêmes unités que le diamètre 2R.

La pénétration d'un obus ou d'un projectile autre qu^un boulet de fonte, animé de la même vitesse que celui-ci, et du même diamètre , mais dont le poids serait P, et la densité D. se déduira de celle du boulet en la multipliant par le rapport des densités ou des poids ; en la désignant par E, on aura

E. = K.2RLog[l + (ï)*]L ou K.2RLog[i + (Iy]^.

Les pénétrations des projectiles de diamètres et de poids égaux, augmentent avec les vitesses, mais moins rapidement que les secondes puissances de celles-ci; les vitesses étani Y et y, , le rapport des pénétrations E et E, sera

.og(H-^V..)

vitesses -V est lui-même très-faible devant Tunité; or,

mais, lorsque les vitesses sont faibles ou lorsque /3 est extrêmement petit relativement à et , les pénétrations sont sensiblement proportionnelles au quarrô de ces vitesses.

En effet, le rapport - étant toujours très -petit, comme

en le verra plus loin, il en résulte qu^aux très -faibles

fi vitesses -V est lui-même ti

d'après Fexpression connue

7t^ a' e4 log(l + a) = z^- + --- + etc.,

on voit que les logarithmes des nombres qui différent peu de Tunité, sont sensiblement proportionnels à Texcés de ceux-ci sur cette unité ; on aura donc sensiblement dans le cas des faibles vitesses

c*est-à-dire que, quand les vitesses sont faibles, les profondeurs de pénétrations sont sensiblement proportionnelles aux quarrés de ces vitesses. Cette supposition revient â négliger devant et les termes qui contiennent /3 commp facteurs, ou à écrire p!=TR*£e, c'est-à-dire à supposer la résistance indépendante de la vitesse.

Dans cette hypothèse, longtemps admise, on arrive immédiatement par le principe des forces vives à l'expression de la pénétration. En effet, la quantité de travail due à

la résistance p = srR*ct étant Et-RV , et la force vive perdue

P par le projectile étant -V, on aura

SE-irR'c

doù

remplaçant P par

tire

aowRv

OU Es

Celte formule , qui peut convenir lorsque les vitesses sont faibles , indique des pénétrations trop considérables lorsque les vitesses sont grandes.