Jusqu'au milieu du seizième siècle, l'artillerie fut

* Le* h:f <lu mouvement des projectiles dans Tintérieur des bou- * j fr-j ftat été traitées par M. le général Piobert dans la partie • ri'^'io de son Court d*artillene à TÉcole d*Application de l'Ar- ' 'r*e M <iii Gf^nie ; lithograp. à l'École en 1841 et en i846.

^ PREUMIXAIRES.

traitée d^uoe manière empirique; on a cm longtemps que les boulets se mouvaient en li^e droite et que la trajectoire décrite par les bombes se composait d'un arc de cercle et de deux lignes droites. Tartaglia, le premier qui s'occupa de recherches scientifiques sur cet objet, démontra qu'aucune partie de la trajectoire n'était une ligne droite, et que l'angle d'élévation du tir de 45^ donnait la plus grande portée. Torricelli se livra à des expériences; Galilée démontra que la trajectoire était une parabole, mais seulement lorsque la résistance de l'air ne la modifiait pas.

La loi de la résistance de l'air devint l'objet de beaucoup de recherches. On admit généralement l'hypothèse de Newton, d'après laquelle celte résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, du projectile, et les plus grands géomètres s'occupèrent de la recherche des lois du mouvement des projectiles. Robins, Ilutlon, d'Arcy, Borda, firent des expériences nombreuses pour déterminer la loi de cette résistance aux petites et aux grandes vitesses. Ces expériences ont été reprises dans ces derniers temps et ont conduit à des résultats importants.

On trouvera dans la section V de ce Traité une analyse des principaux travaux des géomètres sur celte partie de la science du mouvement des corps.

On s'occupera d'abord des lois du mouvement dans le vide, lois très-simples et qui peuvent être appliquées dans quelques cas de la pratique ; on s'occupera ensuite des lois du mouvement dans l'air, particulièrement dans le cas du tir des canons et des obusiers. On donnera, pour ces divers cas, des applications numériques qui feront mieux comprendre l'emploi des formules.

«■BNT MBS rS^JECTILES DANS LE VIDB.

3. VtilHé des lois du mouvement des projectiles dans le UiU, Quoiqu'on ne puisse s'empêcher de reconnaître que Lirait une influence souvent considérable sur le mouve- L. ut des projectiles, il est utile néanmoins de rechercher !- luis de ce mouvement comme si cette influence n*eiis- L.t [las; ces lois sont, en eflel, une première approxi- 1. :i('D et une indication utile dans plusieurs cas de la :r.iti|fj«.*. Ha comparaison des résultats des formules du "^ 'jiemrnt duns le vide et du mouvement dans Tair avec ' A de rob^ervation fera voir Timporlance de la conr .^-anre exacte des lois de celte résistance.

i ETjH'$iiion de la théorie du mouvement des projec- * M dans U videK Supposons un projectile lancé dans -.1- JifKt lion quelconque, avec une vitesse initiale don- : '. Il t-«t d*aliord évident que la pesanteur étant la seule •; fjui a;:i^>p sur le projectile, et la direction de celle-ci ' --t \iiii(al«*, la courbe ou la trajectoire que suivra ce

' l'ia* mr-Q Cours vUmentaire de lUiUsliquc, adopté par M. le

ï 'rç il*» la Csw^Tve pour IViUît'igncincnt d«»s t'*l«**\es de l*École

:i..L'jari' de Saiiit-G>r, j'aidoiint* la (liéoric du mouvement

•- " / ijle» dans» le vide et dans Tair d'une manière trés-élé-

« vi:? '.In-i*, 3« édition, 1859.)

mobile sera toul entière dans le plan vertical de tir : ce plan contiendra nécessairement la tangente menée à la trajectoire au point de départ et que Ton nomme ligne de projeclion.

Cela posé : soit V la vitesse initiale du projectile; 9 l'angle de projection, au-dessus du plan horizontal (Fig. 1); g h pesanteur ou la vitesse acquise par un corps au bout de la première seconde de sa chute dans le vide; xeiy les coordonnées horizontale et verticale d'un point quelconque m de la trajectoire ; t le temps écoulé depuis l'origine du mouvement, et v la vitesse du mobile à cet instant.

Si l'on nomme h la hauteur à laquelle est due la vitesse initiale V, dans une chute supposée verticale et dans le vide, on aura la relation connue V* = ^gh qui sera trèsfréquemment employée.

Puisque la pesanteur est la seule force accélératrice et qu'elle agit verticalement dans le sens opposé aux ordonnées positives, l'accroissement de la composante verticale de la vitesse v, relativement au temps, devra être égale à la pesanteur. Cette composante étant le rapport de l'accroissement de l'ordonnée verticale y,

dy

relativement au temps ^, lequel est—, et l'accroissement de cette composante relative au temps, devant être égal à la force accélératrice , qui agit ici dans le sens des ordonnées négatives, on aura

La composante horizontale de la force accélératrice étant nulle, la composante horizontale de la vitesse du

mobile étant — , et son accroissement , relativement au

dt

MOUVCIISNT DANS LE YIDE. 5

temps f devanl aussi élre nul , on aura

En întéjrrant ces deux équalions cl en nommant C et C' •I* iiY constantes, on aura

Ces équations font voir que les mouvements suivant les ai>^ Ses X et des y sont indépendants entre eux et ne Knt nullement modifiés Tun par l'autre; le premier, suinnt Taxe des or, est uniforme, et la vitesse constante est

• ;'jle â C ; le second est uniformément retardé et le même <] j^ si le projectile avait été lancé verticalement avec une y/.t^se C On aura la valeur des constantes C et C en ( nMdônint qu'à l'origine du mouvement, ou quand ^ - 0, on a

---s:\co89 et -f-ssVsinç:

; T conséquent on aura pour les équations du mouvement

dx du

lit ai

I'! vranl de nouveau et remarquant qu'au commencer ni du mouvement, ou quand (=0, on a x=0 el y=0, -i que par suite les constantes sont nulles, on aura

5. Expiation de la trajectoire dans le vide. En élimi- : .;r.t / entre les deux équalions [(1) et (2)] du mouvement,

• n aura une relation enlre les coordonnées 2; et j/ ou ■ ' ;tiation de la trajectoire ; elle sera

5Vcns*p CORP*

b SECTION I.

En rcroarquaut qu'entre V et A il y a la relation V'=2f^A,

et en remplaçant par lang 9, on aura pour 1 equ;i-

lion de la trajectoire

(3) ys=a;tangç —

4/icos*9'

6. La trajectoire dans le vide est une parabole dont Vaxe est vertical. A l'inspection de cette équation on reconnaît qu'elle appartient à une parabole. On peut, par une transformation des coordonnées, la mettre sous la forme habituelle et reconnaître immédiatement plusieurs des propriétés de la trajectoire.

En effet y dans celte équaiion mise sous la forme 4%cos"f = 4/ixsinçcos9 — x\ en rendant le deuxième membre un carré parfait, ce que Ton obtient en ajoutant — - (2 A sin 9 cos ç)% on aura

4/1 cos'Ç (/isin* ^ — y) ss: (2/i sin ç cos 9 — «)*.

Faisant Asin*9 — y — !/' et 2Asin9C0S9 — « = a:', réquation de la ti*ajectoire devient

c'est celle d'une parabole rapportée au sommet comme origine des coonlonnécs. Los coordonnées de ce sommet, par rapport à rorii^iiie primitive, sont 2/isin9Coso pour la distance horizonlnle, et Asin'ç pour hi hauteur au* dessus du point do départ. On voit inunédialemt'nt : 1^ que le sommet corre^pcmd au milieu de Tamplilude, puisque la courbe est symétrique par nipporl a la verticale du sommet (Fijî. 2); f2« que Télévalion du sommet, ou la hauteur du jet, est moitié de ronlonnée coiTOspondante a la ligne de projection, puisque rab>cisse e^t moitié de la sous-tangente ; r>que la branche ascendante AS et la