MOCVEMEXT DAN8 LE VIDE
itjîicho ilescendanle SB sont semblables; 4^ que Tangle J*' chute DBA est égal à l'angle de projection CAB.
On peut résoudre plusieurs questions fondées sur les [r ;.n»'iô> de la trajectoire.
7. Amplitude et hauteur du jet. Soit X Tamplitude du ]• ( «Ml la portée horizontale AB égale à 2AII (Fig. 2), et Y b I) lUteur IIS du jet.
Puur avoir la portée horizontale X, Faisons y = 0 dans !• luation de la trajectoire, elle deviendra
0 = Xlang94/icos'ç— X*.
r ::r» rqualion est satisfaite par X = 0, ce qui devait être, • : h «{('prend rien ; mais après avoir divisé par X et en r'!ijrt|uant que âsinicos^ = sinS^, on aura
^. La iiauleur du jet n'étant autre que la hauteur du :.. -t, on aura, d'après ce qu'on vient de voir (6),
Y = ft sin'^ .
^•ii arrive directement au même résultat, en égalant à : . • la valeur de — tirée de Téqualion de la trajectoire, ]a donne
0 = tang? — -7 --,
'■* tiileur substituée dans l'équation de la trajectoire '••* [• 'ur r(»nlonnée Ydu sommet la valeur déjà obtenue
Ys=2 /isin'?.
{u.ilion fait voir que la haiitcur du jet croît avec
Tangle de projection?, jasqa'à deTenir égale à A, lorsque le projectile est lancé verticalement ou que sinf ^1, ce qui devait être par la déiiDition même de h. Pour
9 = 45®, angle pour lequel sin ^ = V^^ , on a pour f = 30»,
ÂPPUCATiONS NusiÉRiQUES*. 1* Soit UQ projectile lancé sous l'angle de 45^ avec une vitesse initiale de -iS^-^ oo aura V=i8"":5;fc = îi7-44:f = 45*:tang9 = l;cos? = 0.707i; sin'^ = cos*ç = 0.500; l'équalion de la trnjectoire deviendra
t/ = X — -r TTzr-r: , =:X —
■ Dans les exemples numériques qu'on donnera dans ce Traité, on ne s'assujettira ordinairement qu au degré de précision utile dans les applications ; cela permettra d'employer dans les calculs les lignes trigonométriques naturelles avec quatre ou cinq décimales et d'éviter ainsi l'emploi des logarithmes. A cet effet , on a inséré dans ce Traité une table (Table 1) des sinus , tangentes et cosinus naturels.
La pesanteur g varie avec la latitude et avec l'élévation du lieu au-dessus du niveau de la mer. On en trouvera une table dans la section VIII. On a adopté dans les applications une valeur moyenne
égale à 9,800.
Pour passer facilement des valeurs de V à celles de /i = ~- et
réciproquement, on fera usage d'une table calculée à cet effet (Table 11).
On prendra pour unités le mètre , le kilogramme et la seconde sexagésimale ; les vitesses seront comptées en mètres parcourus par seconde et exprimées par m : s.
Quelques applications ont été faites à l'aide d'une règle à calcul de 0i"50 de longueur qui donne des résultats suffisamment exacts dans la plupart des cas , quoique laissant parfois de l'incertitude sur le dernier chiffre.
MOCVElfCNT DANS LE VIDE. 9
Ea fiisast y sx 0, on aura la portée horizontale X = 234"88 ou i'ùt^, en nombre rond. En prenant d'autres valeurs de x. on déuruiiùrra !•>$ ordonnées des points correspondants. Cette trajeci* I e se rappruche beaucoup de celle du globe du mortier éprou- \' .V pfur le cas d'une portée de 235°>. La hauteur du jet est ^ = U7.4lx0.5 = 58»72.
i* S.ii V=6i»-»70 et 9 = 45». on aura fc = 200"4, i« ^ T ss 1 ; et , pour l'équation de la trajectoire
•>& aura pour y = 0. la portée horizontale X = 400"*8. C'est le I «« qui se rapproche du tir ordinaire des bombes à 400». La t,...rur (lu jet est Y = 200-4 X 0,5 = 100"2.
> S-.it f = 12% V = 140-. on aura sin? = 0.20791 ; \;.;î=0.21i56. cos9sr0.978i. ft=999»: l'équation de la i'^^ rloire sera
XrsSli-^C. Col le cas qui se rapproche du tir plongeant des gros :- . .i.;-derarlillerie.LahauleurdujetestY=999. (0,20791)*
<•. S/«* (les anghs de projection également éloignés de T' , //< jtortrrs sont égales. Puisque X = ^/«sinçcosç,
• r* \»'d iiiiintMlijlement que si au lieu de ^ on prend son
• '..|-l*-riit>uty le binus se changera en cosinus et récipro- •. .ai'-fity et que la valeur de X restera la même; par
.«/'•]u^nl, sous des augles également éloignés de 45^, ' iirae :U^ et 60<> par exemple, les portées sont égales
• -lie elles (Fig. 4).
UK Angle de plus grande portée et valeur de cette por-
' ^ La «-aleur de la portée (éq. 4) mise sous la forme
\ = iA sin i^^ sera un maximum pour 2^ = 90^ ou pour
s=:4Cy*, c'est-à-dire pour sin29 = 1, et celle portée
'.ra X = ^ ou le double de la hauteur due à la vitesse
iniliale. Cette vitesse déduite de la portée sous ÂSù^ va que V* = 2yA et que par conséquent X = — sera
On arrive directement à Fangle de plus grande portée
dx
en égalant à zéro la valeur de — •
H . Propriétés de l'angle de plus grande portée. L'angle de plus grande portée est évidemment celui sous lequel on obtient une portée donnée avec la plus petite vitesse, n procure en outre cet avantage, que de petites variations dans l'angle de projection, soit en plus soit en moins, i:e produisent pas de différences notables dans les portées ; cette propriété a pour effet d'augmenter la justesse du tir.
12. Rapports entre les portées, les vitesses initiales ei les angles de projection. Si deux projectiles sont lancés sous le même angle 9, avec des vitesses différentes V et \\ les portées étant X et X', on aura
delà,
X=s2^8m2p=— 8in2p et r=s— sin2?,
Donc, sous le même angle, les portées sont entre elles comme les carrés des vitesses, et réciproquement les vitesses sont entre elles comme les racines carrées des portées.
Si X'' est la portée d'un projectile lancé avec la même vitesse* V que le premier , mais sous un angle qf^ on aura
X'' s -* 8in 2f ', et par conséquent , r^ = . ,^^ , g '^ ^ X" wn2f"
HOl'VEUENT DAKS LE TIDE. 11
cVl-à-Jire que les portées des projectiles lano^s avec b n.- m<- \iie$^e, sont entre elles comme les sinus du double lî- - aiii:l.-s de [irojeclion.
>i on ap)>clle \, ta portée sous l'angle de iî}", on aura X. = 2A et X''=X.!iii2f".
>i «'= 15" alors sin2^" ou sin.lO» = J, on en conclut i\ :•? h [f-rti-e F'ius \y> est moitié de la portée sous -45".
i>ii a aus.'i la ri'laliun ïiii3/ r= — , au moyen do
I -luille on déiemiincra l'iinfilfî de projection qui don- II' n an<> portée prupt'séc, lur^(|u'un connaîtra la portée
(,<-l sur fftte rfblion cnlrc les angles de tir et les I tl^'-s ()ii'i>nl élé ciilcuIé.'S k-s aiii'îentii's talili's de lir; ; 1 nn-yn d''r.'slaMrs,coiiiiai>.;iiit p:iruncé(ireuve ta por- *-■' »'-ii< un aii,:li; d>innc, on <I<''duisait l'^niilc qui, pour :.j n. ■■■[.<■ ilnrv** de poudre djns um' Itouchc à feu ou ; ;r II rotn-' »it''.-*e iiiili.d<>, rrpnndiiit à la portée proj ■' ■. 0 - t.jl<l<-s, autqui'tl.s on aurait pu substituer de <. ' ('l-'S l.d)l--< d>; Mnus, pouvaient présenter quelque u(i- '.:-. l. m qu'il ne s'aj-issailque de j-ros projectiles, comme ! • !- u\\-'f, bnréi's à de nioyeiinrs distances; elles étaient 1 ut à fjil ine\a<li'S dan* l<>* autres cns.
1.1. l'ifftte d'un yroyilile m »n ftoint qiiflrontjue de • 1 h-t'f.liinr. La \ile>se i; d*un mobile eu un point >;.'i.<-nque d>- sa trajectoire e.'-t la résultante des deux
< rtr-'t^nlea — cl , donttes vaictirssimt (art. 4. éq.l>
' dt rit \ ( T /
-- — Vcos9 et - - = — j/ + Viinf , On aura donc par
et comme (art. 4, éq. 2) y = — jj/f -i-\7sini>, on aura
»' = V— 2§ry on v = V^\^ — 2gy cuenfin r=V^2sr(/i— y).
On voil par là, que la vitesse du mobile ne dépend que de la hauteur y à laquelle il s'est élevé, et que celte vitesse est égale à celle d'un mobile tombant de la hauteur h — y.
Cette vitesse sera au minimum quand la valeur de y sera au maximum, c'est-à-dire au sommet de la trajectoire ; or, celle hauteur représentée par Y est égale (art. 8) à Asin'ç; on aura donc
V == >/V' — 2/i^sm> = Wl — sin'ç = Vcos^.
Celle valeur n'est autre que la composante horizontale de la vitesse V ; ce qui devait être.
Application. Dans les trois exemples cités plus haut (art. 8). la vitesse au sommet: 1** pour V = 48™:s et 9 = 45<». sera 48.0.7071 = 54m"s94; 2" pour V=6-2°»-s70et (P = 45°. sera 62.70 X 0.7071 =i\^'^ôA; 3« pour V=14C"»=». <P = 12«. sera 140». 0.9781 = 130°» -593.
14. Inclinaison de la trajectoire. L'inclinaison de la trajectoire ou celle de la tangente à celle courbe en un point déterminé est donnée par le rapport de l'accroissement de l'ordonnée à celui de l'abscisse ou par la valeur
dy
de — tirée de l'équation 3 (art. 5) de celte courbe ; en appelant 9 cet angle, on aura
(5) * tangO = lang<f —
2/1 ces' 9
Sur un terrain horizontal la portée ayant pour valeur (art. 7, éq. 4) X = 4/isinçcos9, en la substituant à a: et
- sin ^ A
en reropbçanl par tangç, on aura langS = — tangç,
« *»>l-à-dii-e que l'angle de chule est égal à l'angle de pro- ;*'• tion, et qu'il a l'ouverture dirigée dans le sens opposé.
15. Durée du mouvement. Déterminer la durée du mou- \»rn»^nt.
La première des équations 2 (art. 4) qui est, a?=: V^cosç,
■i «nne
V cos V
U durée totale du trajet s'obtiendra en mettant pour / b \tdeur de la portée totale X (éq. 4); en appelant T "lie durre, on aura
Applk.\tion. Dans les trois exemples cit(*s plus haut : !• pour
