V. = LHZ1|^^0^:HÎ
Or. dans b table XIV. on voit que dans la ligne horizontale V.^0.20. la valeur la plus voisine de p. mais plus petite, est
.2r>86 el qu'elle est dans la colonne 2=5 0.21 ; appelons A la :4ije pcofwrtioonelle cherchée qu'il faut ajouter ï 0.2 1 pour i-^^'T. avec Vo = 0.2482. la valeur de p donnée; on aura, en à 0.2386 les parties proportionnelles aux différences
relatives à « et à Vo, et qui sont respectivement 0,01 2 9 et 0.0013 ; on aura, disons-nous.
d'où l'on tire
ce qui donnera, pour la valeur cherchée.
t sr 0,2100 - 0,0005 =s 0,2095.
La valeur négative de A montre que la valeur de s. qui. à première vue, paraît devoir être comprise entre 0,21 et 0,22, est effectivement comprise entre 0,20 et 0.21 .
Pour plus de commodité, on dispose l'opération comnoe ciaprès, où le nombre marqué d'un astérisque est calculé, comme si l'on vérifiait l'addition.
Nombre proposé 0,2392
Somme égale 0.2392
d'où A = ^ = — 5 et de là 2=0.2095.
Si l'on eût opéré entre les valeurs % = 0,20 et s = 0.21 . l'opération eût été comme ci-après :
Nombre proposé 0.2392
Somme égaie 0.2292
et de li
IlOrVElfENT VAK6 l'AIB. 1S7
A = ,-^.0,(H23 = 0,OÛ96 et « = 0,2096; 1,28 ' ' ' •
c* résulut el le précédent oe diffèrenl que par suile de décimales Cf/liçées ou forcées.
De b valeur i ou — ss= 0.2095. on tire
cm la projectioo horitontale de l'arc compris entre les deux points 0*: i iLcJinaisoo de la trajectoire est respectivement 45* et 30*.
Uans le %idr. un arc de parabole entre les mêmes limites se* ai 31 <J*.
79. Calad des ares. Maintenant, on va montrer corn* Œeot on devra se servir des diverses formules pour ré- 5 'hire le problème de la trajectoire dans une application «' nuée. Nous le prenons d'abord dans toute sa généralité, r «> où il présente le plus de diflicullés.
Supposons qu'on connaisse Tangle de projection ^ • h^. Itî» et la vitesse initiale V, dont est animé un pro- / .*ile de diamètre et de poids connus, pour lequel on ( :nnait ainsi la valeur de c (table VI). Si la valeur de 9 e^t de 4>, par exemple , et que Ton veuille obtenir une ^ranJe précision , on divisera la trajectoire en trois arcs; 00 les choisira ainsi : le premier de 45<> à 30<^, de la tranche ascendante ; le second de 30<> de la branche ascendante, jusqu'à 30^ de la branche descendante ; le troisième de JO^ i 4&>, et au point de chute. On opérera ensuite de la manière suivante :
t« On déterminera les valeurs de « (tab. V, 3* partie) 1 J seront pour le premier et pour le troisième arc
g(45o)^f(30>) lMg45»-.Uog30«»^ ' **
• T^ur le deuxième
128 SEcnoN m.
2o Dans ]'équation (art. 78, éq. 1)
on fera 9 = 45®, 8 î=i SO», V. = Vcosç, 2Aco8> t= —
et on déterminera la valeur de x qui satisfait à Téqualion ; ce sera l'abscisse a^ du point extrême du premier arc ;
S^ Connaissant af on déterminera la valeur j^' de Tordonnée du point m' au moyen de la foimule
A^ On aura la composante horizontale V/ de la vitesse du projectile à l'extrémité m' de l'arc, au moyen de la formule
5*^ On aura la durée du trajet par la formule
Le premier arc Am' est ainsi complètement déterminé.
Pour déterminer le deuxième arc mW^ on opérera absolument de la même manière , en faisant 9 = 30^ 9 = — 30<> et en remplaçant V, par la valeur de V/ qu'on vient de déterminer : on obtiendra ainsi, rapportées au point m', les coordonnées afy y" du point de la branche descendante de la trajectoire où l'inclinaison est 9" = — 30o. On en déduira ensuite la composante horizontale V/' de la vitesse, et la durée /".
MOUVEMENT DANS L'aIR. 129
Pour déterminer le troisième arc m"m'"f on fera : ~ — 30® et 9 = — 45® et au moyen de la valeur V,"
• n 3ura, de la même manière que précédemment, les co- '■rloanéos x"' et y'" du point de la branche descendante •i- la trajectoire où l'inclinaison est — 45® (y*' sera r*^;nii\(). On déterminera aussi la valeur de V.'" et la
^le deniier point m!^ sera toujours plus élevé que le ' int de départ, et si Ton veut obtenir le point de chute -isT an plan KL (Fig. 16), situé à une certaine hauteur b y^-^^ssus du point de départ , on devra encore faire une iriii^re opération.
XU. L'rlévation du dernier point au^^dessus du plan de
• Mjie r^si éjrale à 1/ + j/* -+- j/"' — b; celle quantité pourra tf>' (K'^ilive ou négative: si elle est négative, c'est que le
p iot de chute est plus élevé que le dernier point m"'; il fait •^ ne [lartiedu dernierarcet il faudra faire y = y' -1- j/* — 6
Ln« l'êqualion y = xtang<p — -- — ;-ifc(^,V) qui s*y
r ;porte et déterminer la valeur de x qui y satisfait. On ' terminera x à l'aide de la table X des valeurs de r.</,V) et au moyen des parties proportionnelles; pour : Jï de facilité on mettra l'etpression de y sous la forme
i, •un^v ,^ ^———^A^ \ ^(a:,V) = y, m e 4/i« cos^9 \ c /
mx
. 'Q essayera successivement plusieurs valeurs de — prises
^^étii les tables.
<%! peut, après avoir déterminé ift>(a;,\') pour la valeur
, ou?
mme de \ et une valeur approchée de a: Ou de —, dé-
mx
-r-umer presque exactement la valeur de — en résolvant
iSO SECTION III.
réqualîon du deuxième degré relativement à cette variable. On trouvera par les formules précédentes les valeurs de t;, 6 et / qui y correspondent.
Si î/ -4- y" -4- î/*' — b est jpositif, le point de chute sera situé en dehors du troisième arc ; s'il doit être peu éloigné de m"', on le regardera comme sur le prolongement de ce troisième arc et on le calculera comme on vient de le dire ; mais s'il devait en être très-éloigné , on estimerait approximativement Fangle de chute sur le plan d'après la différence entre les deux hauteurs. Soit 9'* cette valeur approchée, on déterminera la valeur de J"^ qui est
tangç"— tang46o ^
tion de ce nouvel arc sera
Dans cette équation on fera <p = 9'", V, = V *,
2/tcos'9 = -^. On déterminera la valeur de x en met-
tant l'équation sous la forme de la précédente (2).
On obtiendra aussi la valeur de x en série, ou au moins une première approximation, par le retour des suites, en
faisant — sin<pcosç ou — sin29=:m; on trouvera alors
Tant que y sera petit et h assez grand , les termes calculés
MOUVESIENT DANS L*A1R. 131
lie Cf'tte série seront suffisanls pour une approximation. Un devra faire attention que dans le cas dont il s'agit y *^i négatif, de sorte que les termes où il entre à la pren.ière et à ta troisième puissance sont négatifs; il en est <«V même quant à m lorsque, comme ici , 9 est négatif.
Connaissant ainsi cette deraière valeur de x que nous li'-^ignerons par x*^, on aura comme précédemment la N :It'ur de Tangle final de l'arc , lequel sera ici l'angle de < i'Ute ; on aura aussi la vitesse finale et la durée /'* du I jrcours de Tare ; on aura enfin pour la portée totale
et, pour la durée totale,
T=zf+f* + f' + t^.
Tel est le problème de la trajectoire dans sa généralité ; il >e simplifie beaucoup dans les cas les plus ordinaires, ( rnme on le verra plus loin.
Appur.ATio?!. Nous donnons ici comoje application numérique' '•' rt-^uliat du calcul de la trajectoire de la bombe de 33^ de la 'T.ir.ue. tir^c dans le mortier à plaque à grande charge, c'est-à-dire 4 ti^ de poudre. L.es circonstances du tir sont les suivantes :
An?le de projection. ç=42<>30': poids de la bombe. P = 92^; . . i'ire. 2R=0"5206; vitesse initiale. V=420«=»; résistance
:- I iif. / = 0.027(1 + 0.0023 Vj; pesanteur, ^ =9»8088;
-. 'ft cuoclat e = 2151» : - =r 0.0004648. C'est une des tra-
rrf les plus étendues qu'on puisse avoir à considérer.
l'a premier calcul a été fait en divisant la trajectoire en arcs
.' V. a partir de 40^ jusqu'à — 65<^ au-dessous de l'horizontale.
' ;rrfBi«r arc étant seulement de 2^ 30'.
L^ c^ul numérique a été fait par M. le capitaine d^artillerie •.\^T, »Jj4»int au professeur du cours d*artillerie à TÉcole d'ap- . ^ «*«jo «le rartiUehe et du ^(*mc à Metz.
On a calculé, pour l'extrémité de chacun des arcs, le trajet horizontal x, , l'élévation y,, la vitesse v,, la durée t, de ce trajet, et l'on a déterminé les mêmes quantités rapportées au point de départ ; on a recherché ensuite ce qui se rapportait au point où le projectile couperait le plan horizontal qui passerait par le point de départ , le point oii Tinclinaison est zéro n'est autre que le sommet de la trajectoire et fournit la hauteur du jet.
On a repris le même calcul en considérant les arcs de 10*" en 10*'. à partir de 40^, et en les continuant de la même manière dans la branche descendante. On a ensuite calculé la trajectoire en considérant les arcs de 15« en '15<>. puis de 25» en 25"*.
Les résultats de ces calculs sont compris dans le tableau ci-après :
Trijfitnirt d'uive bombe de On32 de la marine, pour laquelle c = 215i», projetée sous l'anyle de 42» 30/, avec une vitesse iMfi'i/e de A'iO^'K
GbIsoI dM ans tft 6* ta S*.
it I* :« ts »
it
Sl«»6 .9iS33
AOtSC
001 Sf.
.•1%71 OtMT 0»30»
iats*«
ssao*
4«as'*
t iail4
Proji del
bofi* loaUle
*rtioB arc
verticale
Dorée
do trajet
de rare,
Vitesse
du projec-
Ule
Coordonnées
do
projectile
Dorée
do
trajet
