ÉTENDUE DES DIVISIONS DE LA TRAJECTOIRE
Coordonna»/ en des l
(abscisses, (ordonnées points I ry^ rabscisses.
déterminés ' (somnet) (ordonnées
rinclinaisonl (ordonnées
de la f ^- (abscisses.
trajectoire l (ordonnées
Portée horizontale • .
Angle de chute
lOû
L'examen des résultais de ces calculs permet de conclure ce qui suit ;
\o En comparant les coordonnées des points où l'inclinaison de la trajectoire est la même (soit SO*», 0^, —SQ^, — 67<^), on reconnaît que quand les divisions de la trajectoire sont de moins en moins étendues, les abscisses et les ordonnées sont moins grandes et que les trajectoires obtenues sont renfermées dans les précédentes. Il en est de même en ce qui regarde les portées horizontales. En
remarquant d*abord que si les divisions étaient de plus en \-\is multipliées on arriverait à la trajectoire exacte, et tr.^uiie qu'en passant successivement des arcs de 15® à • u\ de 10^ et de ceux de 10^ à ceux de &>, on n^obtient iju^ dof diminutions de moins en moins grandes, du :!^< ins en général, on peut conclure qu'en réduisant de ; . jï en plu> l'étendue des arcs on n'obtiendrait qu'une dif.iinution an peu moindre que celle que présentent entre *'i\ l^^s résultats correspondants aux arcs de 10<> et de ^.
Ainsi, pour la portée en particulier, la diminution qu'on « ; j^-at en passant des arcs de 10<> aux arcs de 5<> étant .' ?7(", on doit admettre qu'il n'y aurait pas une dimir. AujT] plus grande entre la dernière et la portée exacte, *î ']u^ celle-ci serait ainsi de 3970"". Les résultats obtei :^ [Mr In division en urcs de ï)^ ne présentent ainsi tout •j i lus qu'une erreur de 7^.
i^ 2v>us les mêmes inclinaisons les points correspon- . 'ts de la trajectoire sont plus élevés, et Ton peut con- . if»! que les distances horizontales et verticales du som- 71 sont respectivement 9400'" et 1430"*.
> De la diminution des distances et de l'élévation des : nt5 correspondanls aux mêmes inclinaisons, il résulte .'/3UI mêmes hauteurs les portées et les inclinaisons sont ; .> p/'titf's à mesure qu'on multiplie les divisions. Ainsi . iiniioution des angles de chute sur un plan horizontal T" d»'{ia>>ant pas 18' lorsqu'on passe de 10<> à 5®, l'on ;• ':t en conclure que l'angle de chute exact est à très-
;-u jTês 660 aor.
i* La vitesse du projectile au sommet de la trajectoire r-ie i très-peu prés la même, ou ne diminue que r<^rt ;<pa, quand on multiplie les divisions; il en est de même de b dorée totale de la portée horizontale; la légère :.ataotion correspond à la diminution de la portée. La vie^se véritable au sommet est donc à très-peu prés de
138 SECTION ni.
111***6; et la vitesse an point de chute sur le plan horizontal est 144»-»5.
&> La durée du trajet jusqu'au sommet, comme la durée totale, diminue avec l'étendue des divisions, en suivant ainsi la diminution des trajets ; on peut en conclure que la durée du trajet jusqu'au sommet est de 14*4 et la durée totale est de 33^3.
&^ La vitesse du projectile a un minimum qui est au delà du sommet de la trajectoire, ce point compris entre ceux où l'inclinaison est 15<> et ^Oo correspond à l'incli' naison de 19®, la vitesse en ce point est 105">3.
81. Trajectoire des bombes cotisidérée comme un arc unique. Dans les circonstances ordinaires du tir des projecliles, la solution sera plus facile que celle que l'on vient de donner, et Ton obtiendra une précision suffisante en considérant la trajectoire comme un arc unique. Tel est le cas du tir des bombes aux dislances habituelles ; il permet d'arriver très-facilement à des relations en termes finis entre les différentes quantités que l'on doit calculer.
Lorsque l'on considère la trajectoire comme un arc unique, celui-ci se termine en général sous un angle différent de l'angle de départ; la différence sera presque toujours assez faible, particulièrement si le point de chute est un peu élevé au-dessus du point de départ. La valeur de A dépendra donc de la distance et de la hauteur du point de chute. Cependant on pourra, de l'angle de départ seul, déduire et au moyen de la table des valeurs de
tfp = (tabl. V, 2«. partie); mais il sera mieux de
tang9 ^
prendre pour 9 une valeur moyenne entre l'angle de projection connu et l'angle de chute présumé ou déterminé par une première approximation.
Application. Déterminer la trajectoire d*une bombe de 0^27 projetée sous l'angle de 45*" avec une vitesse initiale de 138":*77.
MOLVCMENT DANS L'AIR. 139
Ea prenaot les données déjà adoptées (art. S6) A = 0.027 ; - = 0.0023 : 0 = 9-8088. et c=1655«; considérant d'abord
Irt arcs de 43« à 30^. de 50» à — 30« et de — 30* A —55». (« dernier étant l'angle de chute présumé, et considérant ensuite c. arc unique, on a les résultats contenus dans le tableau ci-après :
Url»-
4rb
zî-*« *«'
Fort
Projectioa 4t Pare
horiloatale
tertictle
SSI.SO
-Stl,5»
Dorée
do trajet partiel
»,8n7 0.74S8 S,SS6S
Yitefs*
da proJee-
Ule
En considérant la trajectoire sans divisions partielles, prenant >=r i . 1 47 77. correspondant A l'arc de H- 45<> à — 45"*, on trouve 1353*30 pour portée horizontale. 17*8322 pour durée du trajet, SI* 29^ pour angle de chute et 100*:*74 pour vitesse finale.
D'après cette application à un tir dans lequel la portée '!•» b bombe dépasse celles que Ton considère ordinairen^oC dans la pratique, on voit que la portée obtenue, en ne considérant la trajectoire que comme un seul arc, est ir^-pea diflerente de celle qu'on obtient en la consiJéfiOl comme divisée en trois arcs ; la dilTèrence, qui n'est que de 777, est négligeable dans la plupart des applica- \rjn$; la diflërence dans les durées, qui est de 777, ne s^jît pas appréciable dans des expériences ; In vitesse est on peo pins forte. Les angles de chute, calculés dans les i-ux cas, sont trés-peu diflërents. Il en serait de même Ht* cooséqoent des divers résultats que Ton voudrait •b« >air. On pourra donc, dans les cas ordinaires du tir des
140 SECTION nu
mortiers, calculer les résultats sans diviser la trajectoire en plusieurs arcs partiels.
82. SoliUion de divers problèmes sur le jet des bombes. — Portées. Si Ton connaît la vitesse et Tangle de projection d'un projectile dans l'air, on peut déterminer sa portée sur un plan horizontal élevé d'une quantité quelconque b au-dessus de la bouche à feu.
V étant la vitesse initiale et 9 l'angle de projection, on déterminera « comme on l'a dit (76). D'après la formule de la résistance de l'air (55), connaissant le poids et le diamètre du projectile, on aura r et c qui s'y rapportent (voir la table VI pour les projectiles en usage). On aura aussi
Vo = . La portée du projectile sera déterminée par
l'équation de la trajectoire y=:iclang9 ift,(jc, V)
4/icos'9
dans laquelle on devra faire y = b; on la résoudra au moyen de la table X des valeurs de i&(â:;, V), en la mettant sous la forme (art. 80, éq. 2)
« ° c 4/ia'cos'<p V c / ^ ' ^
atX
et essayant successivement plusieurs valeurs de — prises
dans la table X, comme on Ta déjà indiqué (art. 70 et 72), et cherchant ensuite la valeur plus exacte par les parties proportionnelles.
SS. Si le point de chute doit être sur le plan horizontal passant par la bouche à feu, le problème se simplifie; on fera alors y = 0; on aura deux valeurs de x dont l'une qui est a? = 0 peut être négligée parce qu'elle n'apprend rien ; quant à l'autre, en divisant par x, en remarquant que 4Atang9C0s*9 est égal à 2Asin29 et en appelant X la portée cherchée, on aura
2/i8in2<p = Xife(X,V).
MOUVEMCNT DANS l'aIR. 141
Poar résoudre cette équation on la met sous la forme
S*(a:, V) = 2hi8in29 = p. (4)
La ubie XV donne les produits de — i&(x,V) pour des
mx
rjl^ors de — ou «, croissant de 0,05 en 0,05 depuis 0,00
jisqa*à 2,00, et pour des valeurs de Vo, croissant par 0,0j depuis 0 jusqu'à 1 ,30.
On descend dans la première colonne jusqu'à la valeur «fe Tot puis on cherche dans la ligne horizontale corres- {• nJante le nombre égal à p et on trouve à l'entête la
tj cur de z ou — . Lorsque la valeur de Vo est comprise
^rire deux valeurs des tables, ce qui est le cas général, on ."'."nnine la valeur de z comme on Ta indiqué (art. 78) ; 'w remploi de la table XIV.
Aj^nt — , on le divisera par - et on aura X.
Appucation. Une i>ombe de 27» ayant un diamètre de 0^271 1 '. • t-iids de r/^kSO, pour laquelle c= 1655». étant projetée sous . ..i? 9=:43*> avec une vitesse initiale Vss83b**343. quelle *«• ^a \*or\ée sur un plan horizontal?
'.0 a sio 2^ = 1.0000; eus P = 0.7071; de 45« à 0*. comme .-. «J a i3\ on a «= 1.1478 (table V. I'« partie):
«V, 1,1478.83«343.0,7071 ^,, — = ^ =0,15ao;
•î'--.îeiUbleXV)
^ = 0,41G0 et X = i^0,4160 = 5y9n.C! , *3 noml^e rond. Xs=600".
Dans le tir du même projectile sous 30^ on aurait a = i.0531 ; — i = 0,1747, p = 0,3902,
de là.
— = 0,3410 et X = 535»9.
Sous l'angle de projection de 60^ on aurait
« =3 1,3802 et X = 518,25;
cette portée est plus petite que sous 30^.
Sans la résistance de Tair et sous l'angle de 4S<^, la portée de 600"" s'obtiendrait avec la vitesse initiale de 76™ '«Tî; avec cette vitesse, sous les angles de 30® et de 60^, les portées seraieol l'une et l'autre 51 9«60.
Ayant la portée X, on aura rindinaison et la vitesse au point de chute, ainsi que la durée du trajet, par les formules données plus haut (64). La valeur absolue de 6 ou de l'angle de chute, nécessairement négatif, qu'on trouvera par ces formules, sera toujours plus grande que 9-
84. Vitesse initiale d'un projectile qui doit avoir um portée déterminée. Si l'on veut déterminer la vitesse initiale que doit posséder un projectile pour êlre projeté à une distance donnée X, sur un plan horizontal, sous un angle «, il faudra tirer la valeur de V de l'équation
2Asin2? = Xifl,(X,V).
Mettant r- à la place de h et Stang^ cos'^ à la place de sin2^, se rappelant que V, = Vcos^, multipliant les deux membres de l'équation par -;, on aura
♦•2 Sr'tangipLV ^ *• / \ c J
MOUTEIIEIfT DANS L AIR. 143
D'où, en bisant pour simplifier,
CD aura, en remarquant que la vitesse doit élre positive fi m ne prenant que le signe plus devant le radical.
«C08? Q — M\ ^*^ ^ N' \cjj
On peut déterminer V beaucoup plus facilement au *. ^-0 de la table XVI. En eflet, en faisant y = 0 dans • -^juation de la trajectoire, divisant par X, remplaçant
aV,
i;^cos*f par V/ et — par Vp, on aura
Vo «1/ srX
<X,V) » *itang<p
' l'^nt la première édition de ce traiti^, j'ai donné des tables desi
otx
'i .'^ de N et de M qui ne sont que des fonctions de — seul. Je
*« '• u pa« reproduites dans cette édition parce que le calcul de
■ >'':> «)«-n de la table XVI est beaucoup plus simple. Parla même
*' ■ *. j^ n';ii pas publié une table des valeurs de i -f> ^^i -(- y * Ui\'\iU^mi la résolution de la seconde formule de V en y to*
^.Uiil^i^^F(-jpary.
La table XVI donne les quotients de Vo par \/a(X, V)
pour des valeurs de z ou — croissant par différences de
0,05, depuis 0 jusqu'à 1,00, et, pour les valeurs de Vo, par différence de 0,05, depuis 0,00 jusqu'à 1,30. On cherche dans la colonne verticale correspondant à la va-
leur donnée 2 = — le nombre a et Ton trouve sur la ligne
horizontale correspondante la valeur Vo cherchée.
ata?
Lorsque la valeur de — est comprise entre deux valeurs des tables, ce qui est le cas général, on cherche, dans la table, la valeur de z = — la plus voisine de la valeur don-
née, mais supérieure, et Ton descend jusqu'au nombre le plus voisin du nombre p, mais inférieur, et l'on note la valeur de Vo correspondante. On prend les différences avec les nombres voisins, à droite et au-dessous, et l'on continue l'opération comme on l'a indiqué pour l'emploi de la table XIV (art. 72). On remarquera cependant que pour une même valeur de Vo les nombres diminuant
quand — augmente, la différence doit être prise négati*
vement.
Exemple. Soit — = 0,4161, et 9 = 0.14314; partant de
2=0,40 et descendant jusqu'à 0.13860, sur la ligne Vo=0,15. appelant A l'excès de la valeur cherchée de Vo sur 0.15. on écrira réquation
d'où A =2222i^^?22Ë. 0,0500 = 0,00547 et ¥. = 0,1555.
UOUVEJIE.\T DANS L AIR. 145
Tour plus de facililé. on dispose Topératloo comme ci-après : Nombre proposé 0,14314
Somme égale 0.14314
•Le Dombre marqué d*uo astérisque se calcule comme si l'on T^i6aît I addition des trois nombres.)
Vo = 0,15 + 0,0055 = 0,1555v
AmjCATiOK. Quelle est la vitesse initiale d'une bombe de îl^ ;... m» l'angle de 45<», est portée i 600» sur un terrain bori-
Pour ce cas cael65S": ^=£45*; tang^=l; pour un arc i« 4Î* à 0» et de 0» â 43o. on a « = 1.1478: — = 0,4161 ;
. , !4^«/Î;^P = 0.14314: , raide le la table XVI
■2 trouve V, ou — = 0.1555, et Ton conclut de là
^j. Cas OÙ les portées sont peu considérables. Dans ^ cas où les valeurs de X sont peu considérables, avec •"•■ ^ros projecliles, pour lesquels la valeur de c est
"--pnnde, — aura une faible valeur el Ton pourra,
146 SECTION m.
en ne commettant que des erreurs négligeables, remplacer (67) ifc(X,V) par [(D,(X, V)p. Par suite, puisque
V" = 2(/fc et que (D.(a:,\') = (l + "-^) F(~)-^^,
réquation de la trajectoire (art. 63, éq. 7) deviendra
»="^'-âv&-,[('+--^)K£)-=^]'
En faisant dans cette équation y = 0, divisant par x et appelant X la portée horizontale et V la vitesse qui donnerait celte portée dans le vide et qui est V = i/ -^,
'^ siii29
on aura simplement
^-I^IS-^It*^*
Si l'on supposait la résistance de Fair proportionnelle
au carré de la vitesse, on aurait - = 0 et la vitesse cher-
chée se réduirait à V = VT( — ); on voit ainsi que le
premier facteur V donne la solution du problème dans le cas où la résistance de l'air est supposée nulle ; que le
facteur F f—j tient compte de la résistance du terme
proportionnel au carré de la vitesse et que le dénominateur tient compte du terme proportionnel au cube de cette même vitesse.
86. Projectile qui doit passer par un point donné. L'angle de projection étant donné, on peut trouver la vitesse que doit avoir un projectile pour passer par un point dont la position est donnée relativement au point
de départ. Soit a la distance horizontale et b la hauteur du but, ce point appartenant à la trajectoire» on devra a\oir (art. 63, éq. 7)
ûivisant les deux membres par a, représentant par t Tangle
KUi lequel le point à battre est vu de la bouche à feu,
ce qui revient à laire - = tangi, et, remplaçant Acos*<i>
par -— , on aura
Sr'dangt — tang»)L\ r J \c)
-<<^'^)^'{^hmi
b vil, en iaisant pour simplifier,
l(taiigf~UngO=:7, ï'(t)""^(£)-^'
^», en observant que la vitesse est nécessairement positive, *•* prenant en conséquence que le signe plus devant le r>:i<^l, on aura
On trouve aussi la valeur de V au moyen de la table XVI
fltV,
en faisant — = Vo et en mettant l'équation de la tra-
. . ,1. lfi)(a,V) 2r'(tang<p — tangO
lectoire sous la forme — ^ — - = — ^^ ou
Vo ^ * I / ^9
^^^ ••^fKa, V)""^*''^ 2(tangq)-.tang0"^*
et en opérant pour le reste comme lorsque le but est a hauteur de la bouche à feu (art. 84).
