COS^ C0S

co8'^(tang^-tangc) = (8in^cosi-sincco$t) =7sin(9*c) ,

la valeur de V^ sera plus simplement

^ 2ain(<p — •)*cos?'

MOCVEHRNT DANS L'AIR. 149

et si l'oa sappose 6 = 0, alors < = 0 et

* n a alors V et par conséquent V comme lorsqu'on conil !ere la portée sur un plan horizontal (84).

88. Angle de projection. Si la vitesse est donnée, et ■]u' >D ail à chercher Tangle de projection , la solution -rira plus de difficultés que la recherche de la vitesse; îj valeur de « est une fonction de l'angle de projection tr 'p compliquée pour qu'on puisse obtenir des formules . •i.r^ii^ d'une utilité réelle, et d'ailleurs on n'a pas à r^ouilre ce problème dans le tir des bombes; si ce cas ^ fri^enlait, il faudrait déterminer approximativement Lr^le de projection 9, déterminer de même « et V, qui '"(rnt dans la valeur de ia>(x, V); celte fonction étant •i'.^i d''*terminée d*une manière approchée, l'on aurait, / lir le cas où le but est élevé au-dessus du point de

^; art, en remplaçant par (1 + tang'^), à résoudre

i<n:!on

& = oUng^-fil!^ili2(1 +tang«f),

•: j rt>n tirerait pour la valeur de tang^,

o\l&(«,V) ^ ifc(a,V)\,ft,(a,V) J \J

'^:> formate ne diffère de celle qui aurait lieu dans le • '- qu'en ce que h est remplacé par (art. 17,

l-f valeurs de « et celle de C0S9 qui entrent dans la

SECTION iir.

valeur iS^{Xf V) sont diiTérentes, suivant qu'on prend le signe plus ou le signe moins, et elles ne doivent point être confondues; l'une appartient à un angle plus petit que celui qui donnerait le maximum de portée, l'autre à un angle plus grand. La recherche de ces deux angles doit être faite séparément.

Cas où le b%U est à hauteur du point de projection. Si le point à battre est à la même hauteur que le point de projection, on fera y = 0 dans Téquation de la trajectoire (art. 63, éq. 7), et en observant que 4tangçcos'9 = 2sin29, on aura simplement

(42) sin29 = ,Jia>(:r,V).

Au moyen d'une valeur approchée de 9, et par suite d'une valeur approchée de *, on calculera '^{x,Y); puis on en retirera sinS^ et par suite ^. Au besoin, et pour plus d'exactitude, on se servirait de celte valeur comme seconde approximation pour obtenir une nouvelle valeur plus exacte.

Cette équation donne deux valeurs qui doivent être calculées séparément, et comme dans le cas précédent.

Application. Soit à calculer l'angle de projection d'une bombe de 27«"». poyr laquelle c = 1 655", et qui. partant avec une vitesse initiale de 83b:>343. a donné une portée de 535'"9 dans l'air supposé avoir la densité ordinaire.

Dans le vide on aurait sinSip = ' ' ' = 0,7568; d'où

<P = 24<»36', angle trop petit. Essayant ç = 25®, on a

« = 1.03514 et cosç = 0.9063: de là. —=0.3352: —

= 0.1797 et i&(:c.V)= {.l^MO: par suite.

sin-i. = ^^^QQ-^'^ .1,1446 = 0,860-2;

MOCVENENT DANS L AIR. 151

2?s:60«>l', et ♦ = 30».

Oo oblîeot ainsi la valeur cherchée avec toute l'approximation ^--^ rable sans qu'il soit nécessaire de recommencer l'opération. : *.^*it le résultat est confirmé par l'exemple de l'article 83.

89. Angle H vitesse de chutej durée du trajet. Dans rinque cas on peut calculer l'angle de chute, la durée du tr.ijet et la vitesse du projectile au but.

L'angle de chute S est donné par la formule (art. 64,

taiig0= t«ig9 -gr^j^5(x,V).

Dans le cas de Tapplication de l'article 83, X = GOOm, r = 450, V = 83«"343, et où l'on a —=0,4161, et

— = 0,1555, on trouve, à Taide de la table XII, à 'T 'là décimales

•i • il

i;',:V de chute dépasse ainsi l'angle de projection de

La «it^'^se de chute 1; est donnée par la formule (art. 65, ; M»

VC08^ f» = -.

T)(x, V).rosO

152 SECTION ItU

Dans l'exemple précédent on a V:^ 831^343 , cos^ = 0,7071, co8fl = 0,6501, t>(ar, V) =t 4,268, el par conséquent

La diminution sur la vitesse de départ est d'environ 12"'*. La durée du trajet est donnée par la formule (art. 64, éq. 44)

Dans les exemples précédents X = 600», V=: 83* •■343, cosf = 0,7074 el Q{x,\) = 4,429, et par conséquent

Deux autres problèmes peuvent être proposés, savoir: déterminer Tangle de projection et la vitesse initiale d'un projectile qui doit passer, soit \^ par un poini donné, la tangente à la trajectoire ayant en ce point une inclinaison déterminée; soit 2^ par deux points donnés. Cette application n'a pas d'utilité dans le cas du tir des bombes; mais elle en a beaucoup dans le tir à ricochet, nous en parlerons plus loin (section IV).

90. De V angle de plus grande portée. On sait que dans le vide l'angle de projection de 45^ est celui sous lequel des projectiles animés de la même vitesse initiale donnent les plus grandes portées (10). Il n'en est plus ainsi lorsque le projectile se meut dans un milieu résistant comme l'air, et il est facile de voir que dans ce cas l'angle de portée maximun doit être plus petit que 45*'.

En effet, la propriété essentielle du maximum d'une fonction quelconque, c'est que pour des différences très-

MOUVEMENT DAMS LAIR. 153

p^'dicâ, soi! en plas soit en moins dans la variable, la !• ui (tuD n*éprouve que des variations extrêmement petites n loQies dans le même sens. Dans le cas où le milieu

• ,[o^ une cerlaînc résistance au mouvement d'un projecti>e, ri'*qualfon Xa(X,\^ = 2/isin2;;» fait voir que, quand ! .'f'^le de projection devient un peu plus grand que 45<>» •! u\ caiise<; contribuent à la diminution de la portée, d'àl-nJ la diminution de sinâç, la seule valeur qui diminue la I -riêe dans le vide, et ensuite l'accroissement de « dans v^ X, V), par conséquent l'accroissement de l'effet de la ré- .•>:.ince de l'air par suite de la plus grande étendue de ' rc. Dans le cas où l'angle s'abaisse au-dessous de 45^, !) laleur de sin» va effectivement en diminuant, mais b dîaiinulion de l'étendue de l'arc ou de a produit une :« iiinution dans a(X, V) ou dans l'action du milieu résis- *w ni : cette dernière cause agissant dans un sens contraire ï U première, il en résulte qu'il y aura un certain angle, :iii sera plus petit que 45», pour lequel les deux effets •< niraires se contrebalanceront; cel angle sera celui qui ■' noera la portée maximum. On voit aussi, très-facileii***ot, que cel angle devra être d'autant plus petit que la r''M>i3nce du milieu se fera plus fortement sentir. De ces

• n^iJéraljons l'on conclut ce qui suit : dans un milieu r.^i5(aol l'angle de portée maximum est au-dessous de «>, et il s'en écarte d'autant plus que la résistance du : lieu est plus considérable ou que la vitesse initiale est ', ^ grande, ou qu'enfin le diamètre et la densité du pror tile sool plus petits.

Tour obtenir la relation qui donnerait la portée maxi- -:in, il faudrait prendre la différentielle de la portée •* jiivemeot à l'angle de projection et l'égaler à zéro ; "411 réqualion Xa(X, V) = 2Asin29 qui donnerait la por- '^<, eontient l'angle f d'une manière très-compliquée ; et - «eraii diflicile de remployer à calculer cette valeur. Le

154 8ECTI0N m.

moyen le plus facile est encore de (Calculer pour un projectile donné et pour une vitesse initiale aussi donnée, quatre ou cinq valeurs de X, correspondantes à autant de valeurs de ^, choisir de celles-ci, les unes au-dessus, les autres au-dessous des valeurs qui doivent donner la portée maximum : la comparaison de ces portées indiquera l'angle cherché avec toute l'approximation dont on aura besoin dans les applications. On devrait faire un semblable calcul pour une série de vitesses différentes et pour chaque espèce de projectile.

Application. Soit à calculer Fangle de plus grande perlée de la bombe de 0°>27 , projetée avec une vitesse initiale de 83m:8343 ^cette vitesse est celle qui. sous l'angle de projection de 45», donne la portée de 600»); on a 2«r=0»27i 1. P=50W; on en conclura, pour la densité moyenne de l'air, c=l 655""; en essayant divers angles entre 30^ et 60® plus resserrés aux environs de celui qui donne le maximum cherché, et en calculant pour chacun les portées sur un plan horizontal à hauteur de la bouche à feu, on trouve les résultats ci-après :

Angle de projection.' dû* 97»39»41*4S*48*4^ 45* 60» Portées 535»9, 583<»6, 693"d, 597*^, 599>9, 699^, 60(F8, 600^1, 518-S5.

D'après ces résultats on trouve que l'angle du maximum de portée de la bombe de 0"i27 est un peu plus petit que 44^; sous l'angle de 43^, la portée est plus grande que sous 450. On voit aussi, ce qu'on pouvait prévoir, que sous 60^ la portée est plus petite que sous 30^.

IM. Simplifications. Les formules qui se rapportent au tir des projectiles sous des angles de projection quel- .' nqoes au-dessus de rborizon, se simplifient lorsqu'on !' > applique au tir des canons et des obusiers ; l'on obu-nt, dans ce cas, une solution fncile des divers prol'-mes que roo peut avoir à résoudre.

On oe lait pas usage dans le service de rartiilerie du ur des boulets ou des obus de forme sphérique sous de tr "^-pasds angles de projection, particulièrement avec de ,T>Qdes vitesses, parce que, aux grandes dislances où :• neraieol les projectiles, l'irrégularité du tir résultant ' dn^rseâ causes déviatriccs serait très-grande. Les . .^ à rouages ne pourraient pas, d'ailleurs, résister aux -'^ u du tir des bouches à feu sous de très-grands angles : ;ri*j^rtion et avec de fortes charges; aussi ne permet- *"i-ib pas un tir au-dessus de i2o, et ce n'est que par :- h.-poNÎtions particulières des plates-formes qu'on peut ' '^r jusque sous des angles de 15<> à 16<^ au-dessus de

. mon. On peut donc regarder cette dernière inclinai-

son comme une limite extrême du tir des canons et des obusiers sur leurs affûts et celle de 12^ comme la limite la plus habituelle.

Sous les faibles inclinaisons, le rapport de Tare de la trajectoire à sa projection diffère très- peu de l'unité, il ne la dépasse (sect. III, art. 77) que de 0,00127 ou 57^ sous l'angle de 5®, de 0,00516 ou 7^ sous celui de 10*^, de 0,00745 ou 757 sous celui de 12© et enfm de 0,011 84 ou 75 sous celui de 15°. Ces quantités sont très-petites, et, comme elles n'influent que sur les termes qui tiennent compte de la résistance de l'air, elles pourront être presque généralement négligées, et plus particulièrement dans le cas des faibles vitesses et des gros projectiles. On se fera une idée exacte de leur degré d'importance si l'on remarque qu'en remplaçant par l'unité le rapport a de l'arc à sa projection, qui n'entre que comme diviseur des coefficients c et r relatifs à la résistance de l'air, c'est comme si la densité de l'air était réduite dans le même rapport ou comme si la pression barométrique était diminuée respectivement de 1 , 4, 6 ou 9 millimètres de hauteur de mercure; ces quantités sont.de celles qu'on néglige la plupart du temps dans les applications. Ou pourra donc négliger ces différences dans les formules; ou le pourra avec d'autant plus de raison que ce n'est, en général, que sous les plus petits de ces angles qu'on tire avec de grandes vitesses, et, que Ton ne s'approche de la limite supérieure que dans le cas du tir plongeant qui s'exécute toujours avec les plus lourds projectiles et avec de petites vitesses, circonstances dans lesquelles la résistance de l'air a le moins d'influence.

Cela posé; si Ton fait ttz=i\ dans les formules générales du mouvement des projectiles dans l'air (sect. 111) et si l'on conserve les mêmes notations que précédemment (art. 63 et 64) pour l'équation de la trajectoire, pour l'ex-

MOtVCllENT SOUS LES PETITS ANGLES. 157

pre:^sioa de rinclinaison, pour la durée du trajet et pour la \iie$de du projectile, c'est-à-dire si l'on nomme V la MieN^e initiale. A la hauteur due à cette vitesse, ç l'angle lie projection , a: et y l'abscisse et l'ordonnée d'un point «!•" la trajectoire, 9 l'inclinaison de cette trajectoire et v U Mlesse du mobile en ce même point, enfin t la durée M trajet; si Ton Tait Vcos:p = V,, t'cosS= t'i, on aura

il) y = xtang^-^^(^,V),

i^) tanga = tang^-2ii^^<^'^)'

<3) l = — i-.CD(aî,V),

(♦) r, =\, — ; — —. ou v^ — - — rr . r.

D'après ce qui a été exposé dans la section III pour le

•15 le plus général, la solution des divers problèmes de-

t'-ot très-simple. Nous considérerons d'abord le cas où

•^ bot est i une hauteur quelconque au-dessus de la

N 'jcfae à Teu, et ensuite celui où il est à même hauteur.

W. SiJuiion (Icf divers problèmes lorsque le but n*est

}'U à hauteur de la bouche à feu, — lllesse initiale. Le

: 4 o*étant pas à hauteur de la bouche à feu, soit a sa dis-

t-itce horizontale et 6 son élévation au-dessus du centre

'^ la bouche. Puisque la trajectoire doit passer par le

:* iot dont les coordonnées sont a et 6, on devra avoir,

' 'près l'équation (1),

a. ea divisant par a, remarquant que * est la tangente " , n'/inétrique de l'angle d'élévation sous lequel on voit

le bal ei qoe l'on désignera par t, c*est-à*dire en faisant

- = tangf ; remplaçant 2Acos*ç par — cos*<? ou par — , a 9 ^9

on aura

(6) tang^— tangi = ^^ .ifc(a, V),

ou, en mettant pour i&(ayV), ou pour ^(-^ -^) sa valeur développée (art. 63) et dans laquelle « devient égal à l'unité et disparait; puis, en divisant les deux membres par r% on aura

r ' 2r' (tang 9 — tang s)

Delà Ton peut tirer la valeur de-^. Celte valeur, en faisant

. 2r'(tangt — tangs) ^ ,, c* „ « »,

pour simplifier, — ^^ — ^ = 0, F F— = N

flra c 2c

et N — [F- lj = M, en remarquant que la vitesse

est nécessairement positive et en ne prenant en conséquence que le signe plus devant le radical, deviendra

— M^ ▼ Q — M^ Vq — M-

(7) V=.-!ll-J?^ + V-^ + f-AiV

Dans le cas où - serait peu considérable, on aurait plus simplement, comme on Ta indiqué à l'article 87, en