MOCVEMENT^ SOUS LES PETITS ANGLES
Eo tirant de la deuxième équation la valeur de x en f liviioo de v, on aura
o» <•'*= et op s= 2cIog-
I *o poorraît tirer des équations 33 et 34 la valeur de t en f nttion de t* ; mais on peut la déduire directement de
II valeur qu'on a déjà obtenue (art. 64, éq. 9), en y f .>ant « = i et remplaçant v, et V, par t; et V; on aura
C' tte équation permet aussi, lorsqu'on connaît la durée li in'jH entre deux points ou les vitesses sont connues, i' '«^luire le coefficient c qui dépend de Texpression de U r&i^tance de Tair, car on a
-.SI) 2c = î-
L trieur de retendue du trajet en fonction de la durée r -j'it^ra de féquation (33), mais elle ne peut être déduite :.> [or approximation. On y arrivera promptement par
* M. U };*^n«>ral IMobert était déjà arrivé à ces deax expressions > .1 ^ t|.-ir de I et de X en fonction de v, dans un Mémoire prét' ' - rn 1K{7 aa roncours pour le grand prix de mathématiques de
... : tut. pur MM. Piol>ert. Morin et Didion.
la substitution de valeurs successives de -- et au moyen
des parties proportionnelles, en mettant Téquation sous la forme
- = -OG)(aî,V).
Cette opération sera rendue très-facile au moyen de tables calculées des valeurs de (E)(a?,V) (tab. X et XII).
On obtiendra x en série en mettant pour F'(r-) son
développement, en prenant la valeur de -- au moyen du
retour des suites, et en remplaçant pour abréger - par Vo; on trouvera
^-ty\A ^+Vo^V , 2+5Vo+3Vo'/eVx« ^* L 2 2c"^ 2.5 \^}
6+26Vo + 23Vo'+i5W/fV\^ 2.3.4 UcJ
24+i54Vo + 340Vo'+315Vo^+i05Vu</tV \< ■^ 2.3.4.5 \5^j
^-etc. ,
Connaissant x on trouvera la vitesse du projectile au moyen de Féquation (34) ci-dessus.
On s'est assuré par des applications numériques que, dans le cas de courtes durées, cette formule est assez convergente pour que le nombre de termes donnés ci-dessus soit suffisant.
105. Les longueurs et les durées des trajets de deux projectiles différents qui passent d'une vitesse donnée à une autre vitesse donnée, sont proportionnelles au produit des
MOinrCIISNT sous LBS PKTITS AiNGLES. 181
diamHres par les densités. Dans les formules (â5 et 36) ]ui donneol x el < en fonction de la vitesse, et qui sont
U-s M\euTs de i; et de < sont proportionnelles à la quan- U[^ ic qui dé|)end du diamètre et de la densité du pro- /^tile, et d'une certaine fonction de la vitesse initiale et J*" la \ites2^ du projectile.
Supposons deux projectiles dont les demi -diamètres :• i'-nt rr>pectivement R et R', et les densités D et IV, et r-:j**lantqne le poids P a pour valeur P= J-tR'D, on .-ra ijk}}
3/WK'</ 3Ag 3 A^
N c«^ projectiles partent avec la vitesse commune V, '' ;-«;î;c leur vitesse sera réduite à r, ils auront parcouru t' i trajets dont les longueurs respectives x ei af seront
x = 2clob'— ^- et a/ = 8clog— —- ;
\r ra;*port de ces deux longueurs sera, vu que la valeur 1: A oe varie pas en passant d*un projectile ù Taulre, ou : ." la re^i<tancc de Tair est proportionnelle à la surface : un ^'mnd cercle,
X 2c j RD \
P " Se' ^^ jt' "" im* "
' M. le (r«'n»*ral Piobert avait dt'gà appliqué ce principe en 1835, uv* «H^ leroDK aui élèves de l*École d'application.
Si l et (' sont les durées de ces trajets, on aura également
f 2c RD ? "" 2c' "" R'D' '
d'où l'on déduit ce théorème important:
Lorsque deux projectiles différents partent avec la même vitesse et arrivent avec des vitesses égales, les longueurs et les durées des trajets sont proportionnelles au produit des diamètres des projectiles par leurs densités.
Si les densités sont les mêmes, comme lorsqu'il s'agit de boulets de même matière, les longueurs et les durées des trajets sont proportionnelles aux diamètres. Si les diamètres sont les mêmes, comme lorsqu'il s'agit de boulets et d'obus du même calibre, les longueurs et les durées des trajets sont proportionnelles aux densités ou aux poids.
Ce théorème fait voir immédiatement l'avantage que présente, sous le rapport des vitesses à diverses distances, la grandeur des diamètres ou des densités des projectiles. La vitesse des petits projectiles est promptement diminuée, à moins qu'ils n'aient une grande densité, comme celle du plomb des balles de fusil ; et l'on n'emploie les projectiles creux en fonte, dont la densité varie de nroitié à deux tiers de celle de ce métal, que sous le calibre des gros boulets.
106. Démonsiraiion directe. On peut démontrer ce théorème d'une manière élémentaire, sans passer par les formules du mouvement des projectiles, et l'on voit qu'il est indépendant de l'expression de la résistance en fonction de la vitesse, pourvu seulement que cette résistance soit proportionnelle a la superficie d'un grand cercle du projectile.
En effet , considérons un projectile animé de la vitesse initiale V, et soit V,, V,, V3.... , les vitesses qu'il conserve après avoir parcouru des trajets élémentaires suc-
