MU'Ç
-6(:vxi+l)j]
*" -^^m 5ô du iU(iiiUM:nt. ' Equation (57 du manuscrit
+ 55g(|^)'[(i3e3Xi+63eSXi+135eXi+i49)(FX.)'
— 2 (46e3X I + 369e2X I + eOOeXi — 475 + 36X . e«X I
+ 468X,cXi -1- 48X.2cXi)(FX.)' + 4(100e3Xi -f 828cSX, — 705eXi +47 -|- 306X , c^Xi
+ i98X,eXi + 48X.'eXi)F'X,
— 24(64c3Xi — 42cSXi — 10eXi + 3 + 48X.c2Xi
— 6X eXi + 4XreXi)
— -A-.[(5c8X 1 — 27e2X I — 243eX i — 275) (PX , )'
— 4(4€3Xi-^72c«Xi— 2ÎHeXi— 46— 36X,eXi)(FX,)'
— (i3c8Xi + 765c2Xi + 969cXi- 127+288X.eXi)F X .
+12(2e3Xi + 42c3Xi -I- 4eXi— 3 + 12X . cXi;]J
+ etc. etc.
Cette formule offre la solution de cet important problème : Etant donné Tangle de projection <P. le coefficient de la résistance c et la portée horizontale X. déterminer la vitesse initiale.
Lorsque l'angle de projection <p est très-petit l'on peut négliger la troisième puissance et les puissances supérieures de sio^ devant la première; cos^ étant sensiblement égal à l'unité, la formule se réduit à
c 2sinç 2csin<Pcosq>
ou
2h X.FX, ^^/Xx
d'où
2sin2p
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé directement pour ce cas particulier (111).
Si la portée X est peu considérable, si en même temps le projectile est de fort calibre, c'est-à-dire si c est tros-grand. pourvu que l'angle de projection ne soit pas très-grand luinnéme.
i'r< — ^ — ou X. est une Irès-petile fraclion, alors aussi é^\
f'X,. FX,. peuvent éire regardés comme égaux à Tunilé; il en pM.lte que dans chacun des termes entre crochets [ ], facteurs 'J(^ Ji\crses puissances de sintp. les termes facteurs de X, et
•if . ainsi que les autres termes, se réduisent chacun en
,<r^' ulier â zéro : de sorte que la formule se réduit à
'isintip'
' '\n\ tr^t la vitesse qu'on obtiendrait dans le vide. Cela devait
:r : rR:ii^ il n'était pas inutile de s'en assurer, vu les nombreux
1 .!il, liLjtfurs numériques qui se trouvent dans cette formule.
\ . ' lant h* cette valeur de A = -— dans le cas particu-
r .'u milieu non résistant, la formule peut prendre une exprès-
28in? c
• 0 |.ius simple: remarquant que ;— - = , ,, , on aura
:i^îrFx:i*"^4V2ÂTx7/ ^""^'^TiVlJmr) f" "^
//FX.
I '.• f . :•»• r^rmule on n'a pas écrit les termes renfermés entre
> j I iU doivent être pris dans la foroïule précédente.
! \t Lrf*]urnr de Varc dont la projection est donnée. Français
• ' ^\L i iir la lungueur d'un arc de la trajectoire compris entre
;.'.' fi uu point dont l'abscisse est x, la relation suivante, dans
^ a (r>l unt* quantité arbitraire :
l'inclinaison est de même grandeur qu'au point de départ, mais en sens opposé, en changeant e^ en {^ + "— -")^'
La formule qui précède peut recevoir des modiGcatioos qui la rendent plus comparable à celle du mouvement dans le vide, ou à celle que nous avons obtenue pour les petits arcs. Pour cela.
CC771 \ — — is
— )*cos<?(e' — i)se 9 '
transforme en -Fm --] ; faisant subir cette transformation aux
autres termes, on aura l'expression suivante dans laquelle devront être substituées les quantités entre crochets [ ] de la formule précédente :
xi'-5^7i^«"-^'(i)-3Sr,7{5)w[''(é)]'
8 CCS
+etc. etc. J
Dans cette expression, le terme en dehors de Taccolade est la durée relative au mouvement qui aurait lieu en ligne droite sans l'efTet de la pesanteur; le terme entre accolades qui renferme Tangle de projection et le coefficient de la résistance de Tair
donne la durée due à Teffet de la pesanteur ; le terme — est
égal à
Ces divers résultats auxquels est arrivé Français sont très-
ntSiSTANCE l>ROPORT. AU CARRÉ DE LA VITESSE. 243
i"iijr.]u3l)lcs par leur symétrie, par les nombreux termes cal- ' iô et par la loi de leur formation. Ils ont acquis une nouvelle ^ :;>iiriié par l'emploi des caractéristiques que nous avons adop- (cf*^ H «{«'Nienoent plus facilement applicables au moyen des tables •;']>• n.'us avons données.
§iv.
til Méthodes d* approximation, La méthode d'Euler et les ' r 'j .1rs qui donnent par des séries les valeurs qu'on doit déler- • 1 dans les problêmes de balistique, exigeant des calculs trés- .^ 1rs géomètres ont cherché une autre voie et ont tâché :vnir des formules plus faciles et donnant en même temps '" 4;'pro\imalion suffisante.
T\ d*P ds
1/ i^r^ie de Borda. Borda*, considérant que l'équalion — = —
dp c
" ' !'So à l'intégration, a pris pour la densité de l'atmosphère, .. 'i.t.v dans le coefficient de la résistance, une fonction de l'in- - -'U telle que l'intégration devint possible et qu'en même ' ',^ la densité n'éprouvât pas d'anomalies trop considérables. ' '^> 'U:' voie dans laquelle sont entrés après lui plusieurs géo« " r-i qui y oDi apporté de grands perfectionnements. La fonc- > • '\i\ a conduit Borda aux équations les plus simples est
"Cl ^ dans laquelle « est une quantité arbitraire,
'iranl donc la densité S de l'air par ^ ou, - par
■ il di^termine « de manière qu'au point de projection
• = ung9 la densité qui résulte de la supposition soit égale j*;ié \érilable. c'est-è-dire qu'on ait , = 1. d'où
V •*••-• r#»< dé* V AcaiV*uMe des scirnces de Paris, pour Vannée '*'*. Hirla r4>url)e décrile ptr les boulets et les bombes, en ayant J a U rr*«i^tance de Tair.
résulte a = . Par là, la densité de l'air est variable en chaque
cos<^
cos6 point et égale à 5 .
Par la substitution de 7== à -, l'équation ci-dessus,
en remarquant que d« = rfxVl-hp\ devient
d'^p \ ds \ dx
et, par l'intégration. Borda a obtenu pour l'équation de la trajectoire
1 cos6
La force retardatrice •« est supposée exacte aux environs
ccos<?
du point de départ ; mais elle est trop grande dans la partie supérieure de la trajectoire ; elle redevient exacte dans ta branche descendante au point où la courbe a même inclinaison qu'au départ, puis elle est supposée trop petite dans la partie qui suit jusqu'au point de chute. Borda pensait par h que les erreurs étaient assez bien compensées ; cependant l'amplitude et la hauteur du jet sont trop petites. Mais si l'on calcule séparément la branche descendante, en partant de la vitesse au sommet qu'on peut calculer directement, on diminue l'erreur sur l'amplitude totale.
Cette formule de Borda peut être ramenée à celle que nous avons déjà donnée (110), en y introduisant la caractéristique F; elle devient alors
^ 4/ïcos*(p Vccosç/
145. Formule de Besotit. Besoul' est arrivé à des équations de même forme que celles qui résultent de la méthode précé-
• Cours de mathématiques à V usage du corps royal d'artillerie. — Mouvement des projectiles.
BÎSiSTANCB PROPORT. AU CARRÉ DB LA VITESSE. 845
d^'Dte. mais par des coDsidératioDS compliquées : elles reviennent I remplacer par une quantité constante une quantité qui est variable 2\rc rinclioaison des diverses parties de la trajectoire, c'est-à-dire que Besout représente par a la quantité
^ 4tang'|e + -;Vtang^^e + 7^tang^io+fttc.
1— tang'^o
ti qu'il choisit pour o la plus grande valeur qu'elle peut avoir, c «^t-â-dire t . L'équation qu'il obtient peut se ramener comme U précédeole i la forme suivante :
f/ = xtang^ — — ^-;-F(~).
4/icos'<^ \ c /
l! îTiontre ensuite que la quantité a est équivalente à
^séc^ + -i cot^log(45* +{9). 7J« nous avons représenté au moyen de la caractéristique ;
jr
Bfxjut donne ensuite une table de ces valeurs et il propose un c ;fn d'a\oir é^ard au changement de densité de l'atmosphère : Bii^. par ce moyen, l'erreur sur l'amplitude est plus grande que ')*.<cd on suppose la densité invariable.
UG. Méthode de Legendre, Legendre ' a proposé plusieurs r r.fid^ d*ap|iroximation pour obtenir l'équation de la trajec- '• r^. en faisant une supposition sur la variation de la densité
■' lair. La principale est fondée sur cette formule ,
cTu ds i
> fi' oo que dans Téquation — = — , on remplace - par
dp . c '^ c *
- -= uu î par À ce qui la transforme en celle-ci :
•vi4-^« v^l + K
(tp L
' ih^%' rt'ttttfti fur Ut tpnsttoH ife baHsti'pn' , profutst'C par ' *'i» rntr rtufitlr des tici4*ncrft rf b*'ffrs-f**ttrt'fi fi4> f^n^vsfc ^ pour
► . 'u '!♦• ilKl, par Legendre.
246 Section v.
11 délennioe oc de manière qu'au point de dépari où p = tango la densité soit exactement celle qu'on doit avoir, c'est-à-dire qu'il
1+atang> . cos<^
fait — =1 d ou a =
V^lH-tang'<> l + co8^
Par cette méthode, la densité supposée est égale à la densité réelle aux trois points où l'on a p = tang^. p = 0 et p = — tang<;>. Dans les autres positions, elle sera plus petite que la véritable.
Le mmimum aura heu au poml ou p = =
a COS^
et le rapport de la densité supposée à la densité réelle sera
V^l — tang^iç. quantité en général peu différente de l'unité; car. lorsque <^ est successivement 30**, 45o. 60**, ce rapport est respectivement inférieur à Tunité de jyj, ^V» -fi- Cela posé . l'équation cdp* = dpds, en y remplaçant d$ par
dx\^\ +p'. devient
cd^p = (1 -|- ap^)dx.dp.
De cette équation, en faisant B = - — ;; — htang^ + ô^'^S *• déterminant C par l'équation cubique rC* -hC — B = 0. faisaat
ensuite l/-C" + -= m. déterminant enfin les valeurs des 4 tx
angles A et P par les relations
tangA = — ~ et tangF = ,
on aura
C — P . cosP . 3C
et
On observera 1° que C doit être calculé avec précision au moyen des fausses positions. 2« que les logarithmes indiqué*
hli^ISTANCE PROrORT. AU CARRÉ DE LA VITESSE. S47
hbt hyperboliques et que A — P d<^signanl la longueur absolue ti t.Q irc. devra, après avoir été estimé en degrés, être multiplié
I iT ' — . Oo aura ainsi les valeurs de x et de ^ pour autant de
ultjrs de p que Ton voudra.
C^tie méthode et plusieurs autres que Legendre développe ont 1" Dicnie d'une grande exactitude ; mais on ne saurait disconver>«{ireiles n'ont pas la simplicité nécessaire dans les applications f-: ']u elles conduisent i des calculs trop pénibles.
L'^g'^ndre fait une application numérique et il compare sa for-
1 . •' à celle de Borda ; mais les données de Texemple qu'il choisit
^nni des limites de la pratique; car il prend' h=: 10c et
: ;!" de projection de 45*. Or. pour des bombes de 0"32 ou
^'^ii dt^ diamètre, la valeur A=10c indiquerait des vitesses
' -['iines d'environ 460™ et 360"* par seconde, qu'on ne peut
' ' 'iir avec les mortiers que dans des circonstances rares ; il ne
. / \*'d$ non plus être appliqué aux canons, vu qu'on ne les tire
<^ «"US drs angles aussi grands.
' *-.{ exemple était très-propre, sans doute, i faire ressortir
-^1 'itude relative des méthodes de Legendre et de Borda;
* s il induirait en erreur sur leurs valeurs réelles, considérées
' «^ le rapport des applications au tir des projectiles.
t iT Mrthotie de Français. Français \ tout en reconnaissant
■ rite de U fonction de densité employée par Legendre. lui
' <he de manquer d'homogénéité ou d'égalité de dimensions
-' rapport a p. entre le numérateur et le dénominateur, de sorte
i + ap*
«^unt iulîui. la fonction — === le devient elle-même. Par
•' r'inMd/*raii«in il lui préfère celle-ci .
> i '>n % supposait a = fr = 1 . elle serait rigoureusement
<>btrag^ rité, pa^e 21.
' l*"p%erchr* «iir le mouvement des projectiles dan» len milieuj' ' I» '«.p^r Fraiirnis; maniisrritde l'Éc. d'applic.,an XilLp. 13>i.
égale à l'unité. La condition principale à remplir étant que l*équa* tion c(2'p= (2/)ds devienne intégrable. après qu'on l'aura multipliée
membre à membre par l'équation 1 = ^ — ^ on
y satisfait en faisant b = ^a. Posant pour seconde condition, que cette fonction soit rigoureusement égale à l'unité pour p = tang9, on y satisfait en supposant
3 — V^9 — 8sin^<p
4sin'9
En remplaçant dans l'équation différentielle de la trajectoire
i 1 i + ap^ , , . ;
- par — ^ — ^ et ds par dxV 1 +p . on aura
c c Vi+Tap^Vi+p*
i + ap"^ , , cd^p = — 'dxdp.
Vi+^ap^
dp d'où l'on tire par l'intégration la valeur de -f- puis celles de dy
dx
et de dx et enfin celles de x eiie y; en faisant
représentant par ^ un angle constant tel que cot2)3 = k\^^, et ( et y des angles variables tels qu'on ait
^tang^ et
tang^pv'^o + V^l + ^atang*<P tangy = — — —
V'tang^
on aura'
= ccos ( ^ •— T ) V^sin2/a
Équation iiO, manuscrit cité.
. • g.r ^ « jangÇ . . cos(^--Ç).cos(p+Ç)l
^="^^°n^3;^'^ûs;i;+'"^cos(^^>).co8(p+v)J'
t*:. a ainsi les coordonDées x et j^ en fonctioo de la variable p.
La supposition de sin^ =::co8( rend les valeurs de x et de ;/ ir'aos négatives; cette hypotlièse répond à une asymptote de la tranche ascendante. Français fait remarquer que Tangle asymp- *. '. yc qu'on en déduit ne diffère de l'angle obtenu par les forn. .;*-$ exactes que de quelques secondes dans les cas les plus i ivnrables. ce qui atteste un grand degré d'approximation ; il t:.>ive de mcme Texistence d'une asymptote verticale dans la Lrjriche descendante et sa distance finie au point de départ ; il •r iu\e aussi les relations qui. dans cette hypothèse de la densité, i jr«<>Dt la portée horizontale, Tangle de chute et la durée du tra/L
I i)). Comparaiion entre le degré d* approximation des méthodes > Irgendre et de Français, On jugera du degré d'exactitude des il' >:.<Hies de Legendre et de Français, par la comparaison des ré- ^. liU numériques relatifs au cas discuté par Legendre. ^:=2 45^, : 'iT IfMjiiel on a dans son hypothèse a = 0,414i14 et dans celle '" Kran.;ais a = 0,618034; les valeurs des fonctions proposées '<r ces deux géomètres, lesquelles sont respectivement
i + «/îl ^j i + ap'
• II- calruh'cs pour des valeurs de ? de 5'' en ^^, et sont con- «-^ dans le tableau suivant :
Tableau des valeurs comparatives des fonctions de Legendre et de Français pour diverses inclinaisons.
VALEURS
de
