VALEURS DES FONCTIONS

de Legendre.

de Français.

de Legendre.

de Français.

infini.

Les valeurs minima des fonctions de Legendre et de Français ont lieu respectivement pour <p = 32® 45' 54" et pour <p = 3l»43'3". et sont respectivement 0.985188 et 0.994412. On voit par là que dans l'intervalle de 0° à 45® la première diffère de Tunité de âV' ^^ ^^ seconde de 770 seulement. Au delà de 45®. la fonction de Legendre va en augmentant jusqu'à l'infini , celle de Français ne dépasse pas l'unité de plus de |. Celle-ci l'emporte donc sur la première pour l'exactitude, et elle marche de pair avec elle pour la simplicité.

149. Modificalion proposée. Les formules de Legendre et de Français sont encore susceptibles d'un peu plus d'exactitude. En effet, les valeurs de « et de a de ces formules étant déterminées de façon que la densité supposée soit égale à la densité réelle au point de départ et au sommet, il en résulte que dans tout le cours de la trajectoire, la densité supposée est inférieure à la densité véritable de quantités dont le maximum a été respectivement de ^ et 7^9 ; or. si l'on prend la moyenne de toutes les valeurs calculées de 5® en 5®. on trouve, d'après le tableau qui précède. 0,993135 pour les premières et 0.997 399 pour les secondes;

RESISTANCE rROPOHT. AU a^RRÉ DE LA VITESSE. 251

'>i qujQtités correspondent à une valeur du tableau, comprise r»-j'»ou\emenl entre 40» et 45® et entre 15» et 20»; elles seraient rnviruD 41* ^ et I7<* ; si donc on déterminait « et a par la condiun que la densité supposée s'accordât avec la densité réelle !''jr \**s valeurs correspondantes de p. la valeur moyenne de la '••!i« (ion serait ramenée à très-peu près à l'unité, et les plus .T-ni!.-«i dilTérences ne seraient plus que dVnviron la moitié de r/ qu'ollt^s sont respectivement dans les méthodes de Legendro H i)^ Français. Ces deux méthodes gagneraient ainsi en approxiffiUion.

\W, D'après ce qu'on vient d'exposer, les recherches des (:^i«iDètres sur la loi du mouvement des projectiles dans la suppAjtioD que la résistance de l'air est proportionnelle au carré de U vitesse, paraîtront sans doute assez complètes ; si elles n'ont \^i amené â des formules à la fois simples et exactes dans le cas ;• .'icral. cela tient àia nature même de la question et il ne paraît ^4$ |>u<>iblt*. au moins dans l'état actuel de l'analyse, d'arriver à Lr.e équation finie de la trajectoire, ni à l'expression également t'.f^des principales relations dont on aurait besoin^ Cependant : ^ iDrthtKies d'approximations qu'on possède seraient assez f\h[ii pour qu'on pût s'en contenter dans les applications les ' 3 prérises. si ce n'était encore la longueur des calculs numé- :. , '^. M.^is. si ces recherches n'ont pas présenté jusqu'à pré- ^T.i IVcird désirable avec les résultats de l'expérience, ce n'est (i« dans les formules qu'il faut en chercher la cause: elle gît ; rcripalement dans l'hypothèse de la proportionnalité de la résisu.Vf* de l'air au carré de la xitesse. hypothèse dont l'inexactitude r^i bien démontrée maintenant (sect. Il et art 114); elle tient ..^»i a d'autres causes (bcct. IX).

SECTION YI.

TBACÉ DES TBAJECTOUUSS

ET lOLOnOI ClAPHII^UB Bl SIfBU PMBUHII M BALUTIttUI.

Tracé des trajeetolres*

15t. Trajectoires des bombes. luOTsqix'nn point maténel, par Taction de forces motrices quelconques auxquelles il est soumis, décrit une courbe dans l'espace, on peut le considérer à chaque instant comme se mouvant suivant Tare de cercle osculateur de la courbe en ce point ; et la composante des forces motrices, prise suivant le rayon, qui est la force infléchissante, est égale à la force centrifuge qui résulte de la vitesse du point matériel et du rayon

du cercle osculateur à cet instant. Si V est la vitesse du

p point matériel, P son poids, - sa masse, g représentant

la gravité et y le rayon du cercle osculateur, la force cen-

infuge sera ; et, si 9 représente la composante des

9 y k ixes motrices suivant le rayon , on aura

''""J> et y-5"^- -.

Il représentant par h la hauteur— due à la vitesse V.

U longueur du rayon de courbure en un point étant

• '^nnue et sa direction devant être perpendiculaire à la lan- ,:' nie à la trajectoire, ou à la direction du mouvement du ':..l*tle en ce point, on aura la position du centre de Tare ■•-* 'ibteur; on pourra donc décrire cet arc et avoir ainsi le •!"niiQ que parcourt le mobile dans le premier instant.

La composante des forces motrices, prise suivant la i.r^p^ntc, a pour effet de retarder ou d'accélérer la vitesse •!i mobile suivant le sens dans lequel elle agit.

Appliquons au tracé d*une trajectoire les principes qui

• • nrient d'être rappelés '.

V'it 0 (Fig. 20) le point de départ, OA la ligne de : r< j^ctioa du mobile considéré comme un point matériel rJjii^i'ment aux dimensions de la courbe qu'il parcourt, c Tin'/le qu'elle fait avec Thorizontale OB , V la vitesse iMtiale du pn>jectile ; soit toujours g la pesanteur, h la hsoiAur due à la vitesse V, P le poids du projectile , 2R ^ n diamètre.

N au point 0 on élevé à OA une perpendiculaire OC, n aura la direction du ravon du cercle osculateur.

U-5 fon'os motrices qui agissent sur le mobile sont : la

M I'«'iii I lel a indiiiué rapplicatiou Uc ce priiu'ipo au traci^ de .. ♦. 1^. !«»iM» (l'un projcctiltî, dans les Lcrnnu de Mcnniiqur induS'

' vi il a faili s à M»»tz en 1828 ot 18'2î) (lithographiéos A Metz, \'Z* •l'-uxjffiM^ partie, page 5r>).

pesanteur, dirigée de haut en bas suivant la verticale, et la résistance de Fair qui agit sur le mobile suivant Ja direction OA du mouvement, par conséquent suivant la tangente à la trajectoire et dans le sens opposé à celui de ce mouvement, c'est-à-dire de A vers 0.

Soit pris, suivant la verticale, la longueur OD pour représenter le poids P, menons DF parallèle et DK perpendiculaire à la tangente OA , OF sera la composante q suivant le rayon du cercle osculateur. La résistance de Tair élant dirigée suivant la tangente OA, sa composante suivant le rayon OC est nulle , de sorte que q seul doit être égal à la force centrifuge et on aura

a = ou y = 2/i -.

Prenons OL = 2A et par le point L menons l'horizontale LC, le point C où elle rencontre le i*ayon sera le centre du cercle osculateur cherché ; en effet les deux triangles OLC et ODF étant rectangles et ayant l'angle 0 commun sont semblables et on a

OF q

maintenant, si du point C comme centre, avec un rayon OC, on décrit un arc de cercle, on aura la courbe que suivra le mobile dans le premier instant.

Dans le trajet , le mobile est soumis à l'effet de la résistance de Tair qui diminue sa vitesse. Soit i un temps très -court au bout duquel on veut avoir la position du mobile; au moyen des formules du mouvement des projectiles, abstraction faite de la pesanteur (104), on déterminera l'espace s parcouru en vertu de la vitesse initiale V et la vitesse v que conservera le mobile ; mais, pendant ce même temps, la pesanteur aurait communiqué au corps,

ililmclion faile de la résistance de Fair, une vitesse • v.ile à gl dont la composante suivant la tangente à la tr iMvioire est gt sin e ; de sorte que la vitesse du mobile, t['r.'> le temps <, sera v — gt s\n^ y que nous rcprésent.T-.ns par V.

Si la pesanteur eût agi seule elle eût de même fait firiijurir au mobile un chemin égal à {gt* suivant la ^'Tticale et égal à {gt^sixif suivant la trajectoire.

Cela fait, on portera sur l'arc de cercle, de 0 en C, MiP longueur égale à $ — ^«/fsin^; le point (V sera la f >ition du projectile après un temps t ; la vitesse sera V, j direction du rayon osculateur O^C ; la tangente sera ■'A' perpendiculaire a CC.

Hn évitera le calcul de gt s\n^ et de {gt*s\n<f> en pre- 'l'it sur OD des longueurs qui représentent gt et ^jf^, et '^r. :»»$ projetant sur OK, ou en mesurant la distance de .'Illimité de ces lignes au rayon OC.

(^ opérera au point CK comme on Ta fait au point de i ; art 0 ; on prendra sur la verticale une longueur CKL'

- // = — , on tracera l'horizontale VG ; du point C

mine cenire, on décrira Tare de cercle 0'(y, égal à ^---gt^iin^^ décrit en vertu de la vitesse V pendant le <• iij['S t ; la vitesse au point 0" sera égale à V'-^gtsinqf; 9' 'iiDt rinclinaison de la trajectoire au point CK.

(»o opérera de même à partir du point (/ et ainsi de

'U:'.*^ pour (les intervalles de temps consécutifs ( égaux ou

.. ^an, jusqu'à ce que la tangente à la trajectoire soit

' i^noe horizontale, ce qui comprendra toute la branche

' -odanle ; on continuera de même pour la branche des-

' lanle, jusqu'à ce que la trajectoire ail coupé la ligne

•moniale <>B ou toute autre ligne à laquelle devra se

•n. iner le trajet du projectile. On aura de cette manière

•jr chacun des points considérés (V, O'', 0*',..,., la

256 s^TioN vi.

vitesse du mobile, la durée du trajet , l'incIinaisoD de la trajectoire; on aura ces valeurs par interpolation pour les points intermédiaires. La trajectoire du mobile pourra donc être regardée comme entièrement déterminée dans les limites du tracé.

152. Modificaiion qui donne fins (T exactitude dans le tracé. Pour que le tracé qu'on vient de donner soit exact, il faut que la durée /, dont la grandeur est arbitraire, ne soit pas trop grande; autrement, la vitesse du projectile variant pendant la durée du trajet , le long de l'arc que

l'on décrit des points C, G', C", comme centres, le

rayon du cercle osculateur devrait changer lui-même avec celle vitesse. On peut tenir compte de cette variation, au moins approximativement. Pour cela, quand on a obtenu après le temps <, la vitesse finale V, les composantes <jr/sin9 et ^^fsinç, on considérera Tare comme parcouru en vertu de la vitesse moyenne ^Qf -+- V') ; on prendra la valeur de h et par suite le rayon de courbure qui y correspondent. De même, la valeur de 9 dans les composantes gt smq> et ^jffsincp sera remplacée par la valeur moyenne ^(9 + 9'); c'est-à-dire qu'au lieu de considérer la tangente au point de départ 0, on considérera la corde qui joint les points 0, O,... laquelle est sensiblement parallèle à la tangente moyenne. On opérera de même pour les points suivants. Pour ceux-ci, la différence entre les résultats successifs déjà obtenus permettra généralement de déterminer très-approximativement et par une seule opération, la vitesse moyenne à employer pour obtenir le rayon de courbure ; il en sera de même pour les valeurs de gtsiiKp et de ^gCsin<p. Par ce moyen on pourra prendre la valeur de tj égale à une demi-seconde ; on pourra la prendre d'une seconde quand l'échelle du dessin ne sera pas très-grande.

Les durées que l'on prend ainsi restant constantes,

TRACÉ DBS TRAJECTOIRES. 257

mI1.»s de gt et de ^gV le sont aussi; elles peuvent être p-Tlê^îs une fois pour toutes de 0 en D et de 0 eu c/, alors *jf<\ïï9, gtsinq/,... et {gi'sinfpy -jî/Csinç',.- sont donnés (or des perpendiculaires, comme DP, c//*, au rayon du «•'•rcie osculateur, ou, sans qu'il soit besoin de les tracer, [or une simple ouverture de compas.

La formule qui donne l'étendue du trajet en fonction d'.' la durée est plus compliquée que celle qui donne la •i'jrée en fonction de la longueur du trajet. Pour rendre rnoio^ longs les calculs numériques, on peut se donner la \\i'*Sf4i à la fin d'un trajet de peu d'étendue qui doit être J* crit avec un même rayon, chercher le rayon de courbure correspondant à la vitesse moyenne ^(V + V), détern.ioer l'étendue x et la durée t du trajet, dans l'hypothèse ■!i mouvement rectiligne (104, éq. 35 et 36) ; déterminer T.soile les composantes (//sin^ç + ç'), j-jf/'sinKç-f-ç'); •• rriger la vitesse finale et l'étendue du trajet, pour avoir .iîn>i rextn'^mité du premier arc décrit avec le rayon y. *'.' nlinuer de même pour les arcs suivants. Il est encore r..ieux de se donner la longueur z du trajet; d'en déduire !• temps écoulé / et la vitesse à la fin (104, éq. 33 et 34, *-t lab. XI et XIU), déterminer la hauteur h correspon- •ijole â la vitesse moyenne i(V + t;), décrire l'arc, déter- ■MDer j< sin 5 (9 + 9*) et ii/rsin|(9 4-9% retrancher la jrrmiére de v pour avoir V et la seconde de x pour avoir Ij longueur de l'arc. Dans ces deux cas gt et ^gi* n'étant ;l\is constants, les produits par sin ^(9-4-9') ne sont plus ':*.^>i (jciles à obtenir. Dans tous les cas, les longueurs des ip < doivent être portées par des ouvertures de compas l'-f-i [letites pour que les arcs et les cordes ne diflërent \ t- s^'n«iblemcnt. On simplifiera les opérations en calcu- ..'.t une petite table des vitesses et des durées, suivant ."* Xntjfi^ du projectile donné.

LVi. Traa* dans le cas de faible courlurc. Lorscjue la

258 SECTION YK

vitesse des projecliies est grande, ou que la direction de leur mouvemenl s'éloigne beaucoup de Thorizonlale, le rayon de courbure de la trajectoire est très-graud, et il devient difficile de tracer les arcs de cercle successifs comme éléments de la trajectoire ; c'est ce qui aurait lieu pour les obus et les boulets animés des grandes vitesses qu'on leur imprime dans le tir sous de petits angles audessus de l'horizon, ou, pour les bombes, dans la partie de la tr(](jectoire éloignée du sommet, et qui se rapproche de la verticale. Dans des cas semblables, il convient de tracer la trajectoire par points comme on va l'indiquer.

Soient 0 (Fig. 21) un point de la trajectoire, OP la ligne de projection ou la direction du mouvemenl du projectile, V sa vitesse. On calcule quel sera, après un temps très-court /, l'espace parcouru s et la vitesse du mobile v; on prend 0D = j^ et od=z^gi^; on mesurç d'après le tracé la composante OL ou DF prise parallèlement à OÂ ou perpendiculairement au rayon du cercle osculateur, et qui sont DF = jf^sin9 ei df=:{gCsin<p\ on les retranche des quantités déjà trouvées, si le projectile s'élève ; on les ajoute si le projectile s'abaisse audessous de l'horizon. On aura ainsi s — jgi*s\n<;> pour l'espace parcouru suivant la direction du mouvement, et on la portera de 0 en A; on aura de même v — gisinq^ pour la vitesse restante V. Mais, pendant le temps / et par l'effet de la pesanteur, le projectile se serait abaissé de ^gt^y si donc par le point À on mène une verticale AO' = Od = {gl\ on aura la position 0* du projectile après le temps t»

Sans connaître le rayon de l'arc de cercle, et sans qu'il soit nécessaire de le tracer, on sait qu'il doit être tangent à OP au point 0, et comme en même temps il doit passer par le point 0', 00' sera la corde du premier arc; si on divise cette corde en deux parties égales par une perpen-

liicubtre, ccllc-ct coupera OA en M; si on joint ce point ei le point iï^ MO'A' sera la tangente et la direction du mouvement au point (f après le temps /; la vitesse V est déjà connue et égale à t; — ^/sinç.

A partir du point & on opérera comme on vient de le (lire; en continuant ainsi, on aura une suite de points n, (>', O*..., la direction des tangentes et la vitesse en ('>5 points, et par conséquent tout ce qu'il faut pour tracer la trajectoire.

AQo que Topération soit plus exacte, et après une première opération au point 0, on calculera l'espace parc 'uru et la vitesse perdue en vertu de la vitesse^ moyenne, et !^ composantes de la pesanteur relatives à Tinclinai- >>n moyenne ; mais, pour les autres positions, on rendra I ['ération moins longue en déduisant à l'avance ces nMtvenoes par les différences entre les résultats successifs ! ]j calculés ; de cette manière, une seule opération suffira [•••ar chaque point.

Tte ce que les durées et les espaces OA, O'A' doivent f-ire |)^tils, la grandeur AO' étant petite aussi, il en résulte «l'j'ane Irés-faible erreur sur ces longueurs en produirait ij'i^ l>^ucoup plus sensible sur la direction de la tangente M'»". Pour éviter ces erreurs, on portera sur OP une quan- •..•»f l'vale à un certain nombre de fois OA, cl on prendra •ur la verticale menée par rextrémilé de cette ligne un : iml nombre de fois la valeur de ^gC; on continuera le 'r. '\ comme on Ta dit, et on aura une ligne à laquelle

• r: mrn^r.i par le point C une parallèle ; celte ligne sera 1 .linxtinn du mouvement en ce point.

pM«r tnircr Tare entre deux points 0, (V, on pourra

• • 'luver une règle plovanlc; mais on obtiendra très- . ; r.t\i(iinlt\oinent un nombre n de points intermédiaires

«•-' I grand qu'on voudra, par le procéda suivant: on divi- '4 o\ «Fig. "ii) en n parties égales OA,, A,A^, A,A,...

ot âO' en n' parties aussi égales enlre elles. On prendra 1, 2' ou 4, 3' ou 9... de ces parties qu'on portera de Â, en M,, de Â, en M,, de À, en M,...; les points M,, Mj, M, appartiendront à la parabole osculalrice en 0 qui passerait par le point CK.

154. Propriétés générales des trajectoires. Sommet; minimum de la vitesse et du rayon de courbure. Le tracé de la trajectoire d'une bombe permet de reconnaître dans ces courbes plusieurs propriétés qui ont déjà été indi« quées (73 et 75, 119 et 120), et de déterminer les points particuliers qui en jouissent.

Considérons les figures 23 et 23 (bis) qui représentent la trajectoire d'une bombe de 0™22, projetée sous l'angle de 450 avec une vitesse initiale de 120™'**, en prenant des intervalles de temps constants égaux à une demi-seconde; dans celte figure on a conservé les notations de la figure 20 (151).

La courbe C, C, C... qui passe par les centres des cercles osculateurs représente la développée de la trajectoire 0, 0', 0"...; elle a en G, un point de rebroussement qui correspond au maximum de courbure. Le rayon de courbure le plus petit passe par ce point, et il est tangent aux deux brancbcs de la développée.

Si on mène une ligne verticale ST tangente à la développée au point T, le point S où elle coupera la trajectoire sera le sommet de cette courbe; l'ordonnée SP donnera la plus grande bauteur du jet. On obtiendrait également celte hauteur en traçant une horizontale tangente à la trajectoire; mais le point de tangcnce étant difficile à apprécier exactement, l'abscisse du sommet serait déterminée d'une manière moins précise.

* Le tracé dft la figure résulte de coefficients de la résistance de l'air un peu différents de ceux qui sont actuellement adoptés.

TRACÉ DBS TRAiBCTOIRES. 2G1

Les Titesses en chacun des points (X, 0^, (T... ont été

détenninées à des intervalles de temps égaux pour le tracé

Je la trajectoire ; on peut donc reconnaître la position de

I arc sur lequel se trouve le point où la vitesse est un

miaimum ; on obtient également ce point par la compa-

raivon des valeurs de SA représentées par les lignes OL,

{)L\ {fV... Si on mène des tangentes à la trajectoire et

à b courbe L, L', L'..., les deux points 0,, L, sur la

mcroe verticale» qui jouiront de la propriété de donner

«K*ux tangentes parallèles, seront ceux ou les deux courbes

N'Ht le moins éloignées; la longueur 0,L, donnera la

(•lus petite valeur de SA» et par suite celle de V qui est

un minimum. On peut reconnaître que le point 0,, où la

\ite>^e Cbt un minimum» est plus éloigné du commet S que

I^ [Miiiit où le rayon de courbure est un minimum (120)«

La trajectoire, dans la partie qui est au-dessous de

I hi*rizontale passant par le point de départ» et où les

nujïïs de courbure sont très* grands» a été tracée par

(••inti au moyen du second des procédés indiqués (153).